突然火起来的diffusion model是什么？

模型起源

2015年的时候，有几位大佬基于非平衡热力学提出了一个纯数学的生成模型 (Sohl-Dickstein et al., 2015)。不过那个时候他们没有用代码实现，所以这篇工作并没有火起来。

直到后来斯坦福大学(Song et al., 2019) 和谷歌大脑 (Ho et al., 2020) 有两篇工作延续了15年的工作。再到后来2020年谷歌大脑的几位大佬又把这个模型实现了出来(Ho et al., 2020)，因为这个模型一些极其优秀的特性，所以它现在火了起来。

扩散模型可以做什么？呢它可以做一些。条件生成和非条件生成。在图像、语音、文本三个方向都已经有了一些应用，并且效果比较突出。

比较出圈的工作有我刚介绍的text to image的生成工作比如

• OpenAI的GLIDE和 DALL-E 2

• 谷大脑的 ImageGen

• 德国海德堡大学的Latent Diffusion

什么是扩散模型？

Diffusion model 和 Normalizing Flows, GANs or VAEs 一样，都是将噪声从一些简单的分布转换为一个数据样本，也是神经网络学习从纯噪声开始逐渐去噪数据的过程。 包含两个步骤：

• 一个我们选择的固定的（或者说预定义好的）前向扩散过程 qqq ，就是逐渐给图片添加高斯噪声，直到最后获得纯噪声。

• 一个需要学习的反向的去噪过程 pθp_\thetapθ​，训练一个神经网做图像去噪，从纯噪声开始，直到获得最终图像。

前向和反向过程都要经过时间步ttt，总步长是TTT（DDPM中T=1000T=1000T=1000)。

你从t=0t=0t=0开始，从数据集分布中采样一个真实图片x0x_0x0​。比如你用cifar-10，用cifar-100，用ImageNet，总之就是从你数据集里随机采样一张图片作为x0x_0x0​。

前向过程就是在每一个时间步ttt中都从一个高斯分布中采样一个噪声，将其添加到上一时间步的图像上。给出一个足够大的TTT，和每一时间步中添加噪声的表格，最终在TTT时间步你会获得一个isotropic Gaussian distribution。

我要开始上公式了！

我们令q(x0)q(x_0)q(x0​)是真实分布，也就是真实的图像的分布。

我们可以从中采样一个图片，也就是x0∼q(x0)x_0 \sim q(x_0)x0​∼q(x0​) 。

我们设定前向扩散过程q(xt∣xt−1)q(x_t|x_{t-1})q(xt​∣xt−1​)是给每个时间步ttt添加高斯噪声，这个高斯噪声不是随机选择的，是根据我们预选设定好的方差表（0<β1<β2<...<βT<10 < \beta_1 < \beta_2 < ... < \beta_T < 10<β1​<β2​<...<βT​<1）的高斯分布中获取的。

然后我们就可以得到前向过程的公式为：

q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI).q({x}_t | {x}_{t-1}) = \mathcal{N}({x}_t; \sqrt{1 - \beta_t} {x}_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}).q(xt​∣xt−1​)=N(xt​;1−βt​​xt−1​,βt​I).

N(xt;1−βtxt−1,βtI)就是xt∼N(1−βtxt−1,βtI).\mathcal{N}({x}_t; \sqrt{1 - \beta_t} {x}_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}) 就是{x}_t \sim \mathcal{N}( \sqrt{1 - \beta_t} {x}_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}).N(xt​;1−βt​​xt−1​,βt​I)就是xt​∼N(1−βt​​xt−1​,βt​I).

回想一下哦。一个高斯分布（也叫正态分布）是由两个参数决定的，均值μ\muμ和方差σ2≥0\sigma^2 \geq 0σ2≥0。

然后我们就可以认为每个时间步ttt的图像是从一均值为μt=1−βtxt−1{\mu}_t = \sqrt{1 - \beta_t} {x}_{t-1}μt​=1−βt​​xt−1​、方差为σt2=βt\sigma^2_t = \beta_tσt2​=βt​的条件高斯分布中画出来的。借助参数重整化（reparameterization trick）可以写成

xt=1−βtxt−1+βtϵ{x}_t = \sqrt{1 - \beta_t}{x}_{t-1} + \sqrt{\beta_t} \mathbf{\epsilon}xt​=1−βt​​xt−1​+βt​​ϵ

其中ϵ∼N(0,I)\mathbf{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})ϵ∼N(0,I)，是从标准高斯分布中采样的噪声。

βt\beta_tβt​在不用的时间步ttt中不是固定的，因此我们给β\betaβ加了下标。对于βt\beta_tβt​的选择我们可以设置为线性的、二次的、余弦的等(有点像学习率计划)。

比如在DDPM中β1=10−4\beta_1 = 10^{-4}β1​=10−4,βT=0.02\beta_T = 0.02βT​=0.02，在中间是做了一个线性插值。而在Improved DDPM中是使用余弦函数。

从x0x_0x0​开始，我们通过x1,...,xt,...,xT\mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_t, ..., \mathbf{x}_Tx1​,...,xt​,...,xT​,最终获得xT{x}_TxT​ ，如果我们的高斯噪声表设置的合理，那最后我们获得的应该是一个纯高斯噪声。

现在，如果我们能知道条件分布p(xt−1∣xt)p({x}_{t-1} | {x}_t)p(xt−1​∣xt​)，那我们就可以将这个过程倒过来：采样一个随机高斯噪声xtx_txt​，我们可以对其逐步去噪，最终得到一个真实分布的图片x0x_0x0​。

但是我们实际上没办法知道p(xt−1∣xt)p({x}_{t-1} | {x}_t)p(xt−1​∣xt​)。因为它需要知道所有可能图像的分布来计算这个条件概率。因此，我们需要借助神经网络来近似(学习)这个条件概率分布。 也就是pθ(xt−1∣xt)p_\theta ({x}_{t-1} | {x}_t)pθ​(xt−1​∣xt​)，其中, θ\thetaθ是神经网络的参数，需要使用梯度下降更新。

所以现在我们需要一个神经网络来表示逆向过程的(条件)概率分布。如果我们假设这个反向过程也是高斯分布，那么回想一下，任何高斯分布都是由两个参数定义的:

• 一个均值μθ\mu_\thetaμθ​;
• 一个方差Σθ\Sigma_\thetaΣθ​。

所以我们可以把这个过程参数化为

pθ(xt−1∣xt)=N(xt−1;μθ(xt,t),Σθ(xt,t))p_\theta (\mathbf{x}_{t-1} | \mathbf{x}_t) = \mathcal{N}(\mathbf{x}_{t-1}; \mu_\theta(\mathbf{x}_{t},t), \Sigma_\theta (\mathbf{x}_{t},t))pθ​(xt−1​∣xt​)=N(xt−1​;μθ​(xt​,t),Σθ​(xt​,t))

其中均值和方差也取决于噪声水平ttt。

从上边我们可以知道，逆向过程我们需要一个神经网络来学习（表示）高斯分布的均值和方差。

带DDPM中作者固定方差，只让神经网络学习条件概率分布的均值。

First, we set Σθ(xt,t)=σt2I\Sigma_\theta ( \mathbf{x}_t, t) = \sigma^2_t \mathbf{I}Σθ​(xt​,t)=σt2​I to untrained time dependent constants. Experimentally, both σt2=βt\sigma^2_t = \beta_tσt2​=βt​ and σt2=β~t\sigma^2_t = \tilde{\beta}_tσt2​=β~​t​ (see paper) had similar results.

之后再Improved diffusion models这篇文章中进行了改进，神经网络既需要学习均值也要学习方差。

通过重新参数化平均值定义目标函数

为了推导出一个目标函数来学习逆向过程的均值，作者观察到qqq和pθp_\thetapθ​可以看做是一个VAE模型 (Kingma et al., 2013).

因此，变分下界（ELBO）可以用来最小化关于ground truthx0x_0x0​的负对数似然。

这个过程的ELBO是每个时间步ttt的损失总，L=L0+L1+…+LL=L_0+L_1+…+L_L=L0​+L1​+…+LT​。

通过构建正向过程和反向过程，损失的每一项(除了L0L_0L0​)是两个高斯分布之间的KL散度，可以明确地写为关于平均值的L2L_2L2​损失!

因为高斯分布的特性，我们不需要在正向qqq过程中迭代ttt步就可以获得xtx_txt​的结果：

q(xt∣x0)=N(xt;αˉtx0,(1−αˉt)I)q({x}_t | {x}_0) = \cal{N}({x}_t; \sqrt{\bar{\alpha}_t} {x}_0, (1- \bar{\alpha}_t) \mathbf{I})q(xt​∣x0​)=N(xt​;αˉt​​x0​,(1−αˉt​)I)

其中αt:=1−βt\alpha_t := 1 - \beta_tαt​:=1−βt​ and αˉt:=Πs=1tαs\bar{\alpha}_t := \Pi_{s=1}^{t} \alpha_sαˉt​:=Πs=1t​αs​。

这是一个很优秀的属性。这意味着我们可以对高斯噪声进行采样并适当缩放直接将其添加到x0x_0x0​中就可以得到xtx_txt​。请注意，αˉt\bar{\alpha}_tαˉt​是方差表βt\beta_tβt​的函数，因此也是已知的，我们可以对其预先计算。这样可以让我们在训练期间优化损失函数LLL的随机项（换句话说，在训练期间随机采样ttt就可以优化LtL_tLt​）。

这个属性的另一个优美之处this excellent blog post) 在于对均值进行参数重整化，使神经网络学习(预测)添加的噪声(通过网络ϵθ(xt，t)\epsilon_\theta(x_t，t)ϵθ​(xt​，t))，在KL项中构成损失的噪声级别ttt。这意味着我们的神经网络变成了噪声预测器，而不是直接去预测均值了。均值的计算方法如下:

μθ(xt,t)=1αt(xt−βt1−αˉtϵθ(xt,t)) {\mu}_\theta({x}_t, t) = \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \left( {x}_t - \frac{\beta_t}{\sqrt{1- \bar{\alpha}_t}} {\epsilon}_\theta({x}_t, t) \right)μθ​(xt​,t)=αt​​1​(xt​−1−αˉt​​βt​​ϵθ​(xt​,t))

最后的目标函数LtL_tLt​ 长这样，给定随机的时间步 ttt 使ϵ∼N(0,I){\epsilon} \sim \mathcal{N}({0}, {I})ϵ∼N(0,I) ):

∥ϵ−ϵθ(xt,t)∥2=∥ϵ−ϵθ(αˉtx0+(1−αˉt)ϵ,t)∥2. \| {\epsilon} - {\epsilon}_\theta({x}_t, t) \|^2 = \| {\epsilon} - {\epsilon}_\theta( \sqrt{\bar{\alpha}_t} {x}_0 + \sqrt{(1- \bar{\alpha}_t) } {\epsilon}, t) \|^2.∥ϵ−ϵθ​(xt​,t)∥2=∥ϵ−ϵθ​(αˉt​​x0​+(1−αˉt​)​ϵ,t)∥2.

其中x0x_0x0​是初始图像，我们看到噪声ttt样本由固定的前向过程给出。ϵ\epsilonϵ是在时间步长ttt采样的纯噪声，ϵθ(xt，t)\epsilon_\theta(x_t，t)ϵθ​(xt​，t)是我们的神经网络。神经网络的优化使用一个简单的均方误差(MSE)之间的真实和预测高斯噪声。 训练算法如下

1. 从位置且复杂的真实数据分布q(x0)q(x_0)q(x0​)中随机采样x0x_0x0​，
2. 我们在1和TTT之间均匀采不同时间步的噪声，
3. 我们从高斯分布采样一些噪声，并在t时间步上使用前边定义的优良属性来破坏输入分布，
4. 神经网络根据损坏的图像xtx_txt​进行训练，目的是预测施加在图片上的噪声，也就是基于已知方差表βt\beta_tβt​作用在x0x_0x0​上的噪声

所有这些都是在批量数据上完成的，和使用随机梯度下降法来优化神经网络一样。