矩阵论笔记（一） —— 线性空间与线性变换
一、简要概括本节内容
1.集合与映射
本节首先介绍了**集合、数域、映射**的一些概念，其中数域是包含0、1，且对加减乘除法封闭的数集。所以显然偶数集、整数集不是数域，有理数域、实数域、复数域是数域，且任何数域都包含有理数域。
2.线性空间及性质
定义1.1: 讲述了线性空间的定义，在V中定义加法、数乘，如果对这两个运算封闭、且满足加法的4个条件（结合律、交换律、存在0元素、存在负元素）和数乘的4个条件（数因子分配律、结合律、分配律、乘1等于本身），则称V是K的线性空间。
定理1.1:V的零元素、负元素是唯一的
定义线性无关：如果存在不全为0的一组数，使得这些向量的加权和=0，则称这些向量线性无关。
定义1.2 : 定义了基的概念，满足两个条件：线性无关，V的任意元素均可由基线性表示。
定义1.4:定义X在一组基下的坐标表示，且表示是唯一的
3.基变换与坐标变换
线性空间V的两组基之间可以相互转换，坐标也可以相互转换。
4.线性子空间
定义1.5:定义了线性子空间，若V1是V的子集，且V1对加法、数乘封闭，则V1是V的子集
生成子空间：V的一组向量的加权求和构成的空间是由这组向量生成的子空间。可证明这个空间满足1.5的定义。
定义1.6:对于一个矩阵来说，它的列向量张成的子空间记为A的值域，列向量线性无关的个数就是矩阵A的秩。A的值域可以写成上个生成子空间的形式AX。
定义1.7:满足AX=0的集合是A的零空间。
结论：矩阵的秩+零度=A的列向量个数
定理1.3:子空间的基可以扩充为V的一组基。
5.子空间的交与和
定理1.4:两个子空间的交也是V的子空间
定理1.5:两个子空间的和也是V的子空间
定理1.6（维数公式）：V1的维数 + V2的维数 = (V1+V2)的维数 + (V1交V2)的维数
二、手写笔记