Matlab图像处理系列4———图像傅立叶变换与反变换

注：本系列来自于图像处理课程实验，用Matlab实现最基本的图像处理算法

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1.Fourier变换

（1）频域增强

除了在空间域内可以加工处理图像以外，我们还可以将图像变换到其他空间后进行处理，这些方法称为变换域方法，最常见的变换域是频域。

使用Fourier变换把图像从空间域变换到频域，在频域内做相应增强处理，再从频域变换到空间域得到处理后的图像。

我们这里主要学习Fourier变换和FFT变换的算法，没有学过通信原理，我对信号、时域分析也不是很清楚。

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2.FFT算法

（1）离散Fourier变换，DFT

函数的计算式为：

的FFT算法。

（2）快速Fourier变换，FFT

快速傅立叶变换FFT是利用单位复数根的特殊性质（消去引理和折半引理，见《算法导论》（第3版中文版）P532详细论述），在时间内计算出DFT的一种快速算法。

FFT有两种基本实现方式：

• 递归FFT
• 迭代FFT，也叫FFT蝶式运算

递归FFT由于递归栈开销大且容量有限等缺陷（但理解容易），一般计算采取迭代FFT实现。

（3）迭代FFT

直接给出算法导论版本的迭代FFT算法：

其中求逆序数拷贝的函数为：

FFT采用折半迭代的思想，因此速度能降低到。

（4）迭代FFTMatlab实现

Matlab有fft函数，我们也可以自己实现：

function [ fft_m ] = IterativeFFT( vec )
    clear i;

    n = length(vec);

    fft_m = BitReverseCopy(vec);
    for s = 1 : log2(n)
        m = power(2, s);
        wm = exp(- 2 * pi * i / m);

        for k = 0 : m : n - 1
            w = 1;
            for j = 0 : m / 2 - 1
                t = w * fft_m(k + j + m / 2 + 1);
                u = fft_m(k + j + 1);
                fft_m(k + j + 1) = u + t;
                fft_m(k + j + m / 2 + 1) = u - t;
                w = w * wm;
            end
        end
    end
end
 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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BitReverseCopy函数如下：

function [ copy ] = BitReverseCopy( vec )
    n = length(vec);
    copy = zeros(1, n);

    bitn = log2(n);

    for i = 0 : n - 1
        revi = bin2dec(fliplr(dec2bin(i, bitn)));
        copy(revi + 1) = vec(i + 1);
    end
end
 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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需要特别注意的是:

• 一般给出的FFT算法伪代码都是基于下标从零开始的数组，写在Matlab需要考虑映射关系
• clear i是为了怕之前有变量i和复数记号i混淆，清楚Matlab workspace中的缓存
• 默认vec是double类型的！因为中间采用许多double类型运算

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3.图像的二维Fourier变换

（1）二维DFT

二维DFT定义公式为：

的时间，效率很低。

（2）将二维DFT分解为两个一维DFT

Fourier变换的变换核（公式中和

再对变换后的矩阵的每一行做一维DFT：

的时间完成二维傅立叶变换。

（3）用一维FFT实现二维FFT

同样的我们可以用两个一维FFT实现二维FFT，时间复杂度：

function [ mfft2 ] = JCGuoFFT2( data )
    h = size(data, 1);
    w = size(data, 2);
    mfft2 = data;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('JCGuoFFT2 exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        for i = 1 : h
            mfft2(i, :) = IterativeFFT(mfft2(i, :));
        end

        for j = 1 : w
            mfft2(:, j) = IterativeFFT(mfft2(:, j));
        end
    end
end

 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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代码很简单，先做FFT行变换再做FFT列变换。之前忘记提到，我这里实现的都是长度必须是2的次方的Fourier变换，因此有时候会做一些长度规范检查。

（4）变换结果

经过JCGuoFFT2的二维傅立叶变换，我们可以得到复平面内各个点的复数值，那么显示在图像中需要先求出幅值：

pic1_fft = JCGuoFFT2(double(pic1));
pic1_fft_amp = abs(pic1_fft);
 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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在对幅值做一次log变换得到较好的频域图像：

pic1_fft_amp_log = log(1 + pic1_fft_amp);
 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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绘制结果如下图：

（5）低频信号移到图像中心点

由于复数运算的周期特性，图像的Fourier变换在复平面上是完全对称的，可以想象平面是由无限多个上图（右）频域图像拼接而成的二维阵列。一般研究频域图像是把低频部分，也就是变换后的边缘部分移到图像中心点，Matlab提供fftshift函数完成平移。

平移的思路有两个

• 通过Fourier变换平移定理先把原始图像做变换再做FFT
• 先做FFT后再根据频域图像的对称性做对称变换

查阅Matlab文档发现它是采用第二种方法，对图像做以下子矩阵交换：

那么我们可以很容易的写出自己的fftshift：

function [ after ] = FFTShift( before )
    h = size(before, 1);
    w = size(before, 2);

    after = before;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('FFTShift exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        hh = h / 2;
        hw = w / 2;
        after(1 : hh, 1 : hw) = before(hh + 1 : h, hw + 1 : w);
        after(1 : hh, hw + 1 : w) = before(hh + 1 : h, 1 : hw);
        after(hh + 1 : h, 1 : hw) = before(1 : hh, hw + 1 : w);
        after(hh + 1 : h, hw + 1 : w) = before(1 : hh, 1 : hw);
    end
end

 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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将低频部分平移到中心点后结果为：

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4.图像的二维反Fourier变换

（1）一维逆DFT和一维逆FFT

一维离散傅立叶变换的逆变换是将e的指数部分变号，然后整体除以长度N（Fourier变换与逆变换关于符号、系数有很多种组合的定义，但他们都是等价且对称的。这里的定义配合Matlab做fft实际效果。）：

同样我们可以根据iDFT的定义推演iFFT的算法，其迭代版本的Matlab实现如下：

function [ ifft_m ] = IterativeIFFT( vec )
    clear i;
    n = length(vec);
    ifft_m = BitReverseCopy(vec);
    for s = 1 : log2(n)
        m = power(2, s);
        wm = exp(2 * pi * i / m);

        for k = 0 : m : n - 1
            w = 1;
            for j = 0 : m / 2 - 1
                t = w * ifft_m(k + j + m / 2 + 1);
                u = ifft_m(k + j + 1);
                ifft_m(k + j + 1) = u + t;
                ifft_m(k + j + m / 2 + 1) = u - t;
                w = w * wm;
            end
        end
    end
    ifft_m = ifft_m ./ n;
end

 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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（2）二维逆FFT

二维逆FFT和二维FFT的思路一致，对所有行和列分别作一次iFFT即可：

function [ mifft2 ] = JCGuoIFFT2( data )
    h = size(data, 1);
    w = size(data, 2);
    mifft2 = data;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('JCGuoIFFT2 exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        for i = 1 : h
            mifft2(i, :) = IterativeIFFT(mifft2(i, :));
        end

        for j = 1 : w
            mifft2(:, j) = IterativeIFFT(mifft2(:, j));
        end
    end
end

 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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（3）逆FFT结果

对之前Rect1.bmp用JCGuoFFT2变换的到的Fourier变换（非shift和log之后、非仅幅度部分）作FFT2逆变换可以直接得到原图像：

这幅图有多个结果，可以看title知道每个结果的含义，图2-1是用JCGuoIFFT2做傅立叶反变换的结果，得到的图像和原图像、和Matlab ifft2反变换后的图像都是一致的。

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5.幅频特性与相频特性

（1）对振幅和相位单独做逆FFT

如果我们只把图像Fourier变换的振幅部分和相位部分单独做二维逆FFT，可以直观的感受人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

复数的幅度/振幅定义为：

相位角和相位定义为：

对相位反变换需要在乘以一个系数（我是调出来的，针对图像，肯定可以自动的做均衡化）：

pic2_fft_angle = angle(pic2_fft);
clear i;
tmp = 10000 * exp(i * pic2_fft_angle);
pic2_ifft_angle = uint8(JCGuoIFFT2(tmp));

 
   
   
   
   

 
   
   
   
   

    
    
    
    
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对振幅和相位单独做逆FFT结果如下：

（2）人眼敏感度

观察上图，幅频特性主要涵盖了图像颜色的分布，相频特性主要刻画了图像的边界信息。人眼对图像的相频特性更加敏感，看相频特性能够大概知道图像内容。

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6.Fourier变换的旋转定理

（1）Fourier变换旋转定理

（2）结果

Rect2.bmp是Rect1.bmp旋转45度的示意图（注：原Rect2.bmp是二值的，做了预处理，但其本身边界不平滑，导致效果不太好，但不影响观察旋转定理）：

我们可以看到幅度FFT正变换和相位FFT你变换都是旋转了45度，但是幅度FFT逆变换区别较大。

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