《R的极客理想——高级开发篇 A》一一1.5 R语言的导数计算

本节书摘来华章计算机出版社《R的极客理想——高级开发篇 A》一书中的第1章，第1.5节，作者：张丹 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.5　R语言的导数计算

问题
如何用R语言进行导数计算？

引言
高等数学是每个大学生都要学习的一门数学基础课，同时也可能是考完试后最容易忘记的一门知识。我在学习高数的时候绞尽脑汁，但始终都不知道为何而学，生活和工作基本用不到，就算是在计算机行业和金融行业，能直接用到高数的地方也少之又少，学术和实际应用真是相差太远了。
不过，R语言为我打开了一扇高数应用的大门，R语言不仅能方便地实现高等数学的计算，还可以很容易地把一篇论文中的高数公式应用于产品的实践中。因为R语言我重新学习了高数，让生活中充满数学，生活会变得更有意思。本节并不是完整的高数计算手册，仅介绍了导数计算和偏导数计算的R语言实现。
1.5.1　导数计算
导数（derivative）是微分学的基本概念，其定义为，若函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增加Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx趋于0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f?'(x0)，即

（1.33）

也记作y'|x=x0，dy/dx|x=x0或df(x)/dx|x=x0。
通过R语言可以使用deriv()函数直接进行导数的计算，比如要计算y=x3的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=3x2，当x=1时，y'=3，当x=2时，y'=12。
本节的系统环境是：
Windows 7 64bit
R: 3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)
用R语言程序实现导数计算，代码如下。

dx <- deriv(y ~ x^3, "x") ; dx # 生成导数公式
expression({

.value <- x^3
.grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
.grad[, "x"] <- 3 * x^2
attr(.value, "gradient") <- .grad
.value

})
mode(dx) # 查看dx变量类型

[1] "expression"

x<-1:2 # 给自变量x赋值
eval(dx) # 运行求导计算

[1] 1 8 # 原函数的计算结果
attr(,"gradient") # 使用梯度下降法，导函数的计算结果

  x

[1,] 3 # x=1,dx=3*1^2=3
[2,] 12 # x=2,dx=3*2^2=12
用R语言程序计算的结果，与我们手动计算的结果是一致的。但计算过程其实是有很大区别的，我们手动计算时是通过给定的导数计算公式，变形后完成计算。而用计算机程序计算时，是使用梯度下降法来计算一阶导数，是一种最优化的近似算法。对于手动计算导数时，如果函数比较复杂而且比较难应用可变形的公式，那么手动计算就会有非常大的困难，而计算机程序的方法是一般的导数计算方法，不会受到公式难于变形的影响。
我们使用deriv（expr, name）函数时通常要传2个参数，第一参数expr就是原函数公式，用～号来分隔公式的两边，第二参数name用于指定函数的自变量。deriv()函数会返回一个表达式expression类型变量，再用eval()函数运行这个表达式就可得到计算结果，如上面的代码实现。
如果希望以函数的形式调用计算公式，那么你还需要传第三个参数func，并让func参数为TRUE，参考下面的代码实现。
计算正弦函数y=sin(x)的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=cos(x)，当x=π时，y'=-1，当x=4π时，y'=1。

dx <- deriv(y ~ sin(x), "x", func= TRUE) ; dx # 生成导数公式的调用函数
function (x)

{

.value <- sin(x)
.grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
.grad[, "x"] <- cos(x)
attr(.value, "gradient") <- .grad
.value

}

mode(dx) # 检查dx的类型
[1] "function"
dx(c(pi,4*pi)) # 以参数作为自变量，进行函数调用

[1] 1.224606e-16 -4.898425e-16
attr(,"gradient")

  x                    # 导函数的计算结果

[1,] -1 # x=pi,dx=cos(pi)=-1
[2,] 1 # x=4pi,dx=cos(4pi)=1
1.5.2　初等函数的导数公式
对基本的初等函数求导数，通过导数计算公式是可以直接手动完成计算的。下面为一元初等函数的导数计算公式，其中y是原函数，x是y函数的自变量，y'是y函数的导函数。C,n,a为常数，ln表示以自然常数e为底的对数。
函数 原函数 导函数
常数函数 y=C y'=0
幂函数 y=xn y'=nxn-1
指数函数 y=ax y'=axlna

        y=ex            y'=ex

对数函数 y=logax y'=1/(xln(a)) (a>0,且a!=1,x>0)

        y=ln(x)            y'=1/x

正弦函数 y=sin(x) y'=cos(x)
余弦函数 y=cos(x) y'=-sin(x)
正切函数 y=tan(x) y'=sec2(x)=1/cos2(x)
余切函数 y=cot(x) y'=-csc2(x)=1/sin2(x)
正割函数 y=sec(x) y'=sec(x)*tan(x)
余割函数 y=csc(x) y'=-csc(x)*cot(x)
反正弦函数 y=arcsin(x) y'=1/ ()
反余弦函数 y=arccos(x) y'=-1/ ()
反正切函数 y=arctan(x) y'=1/(1+x2)
反余切函数 y=arccot(x) y'=-1/(1+x2)
反正割函数 y=arcsec(x) y'=
反余割函数 y=arccsc(x) y'=
接下来，我们分别对这些一元初等函数进行一阶导数的计算。设y为原函数，x是y函数的自变量，且只有一个自变量。
1.?常数函数
计算函数y=3+10x的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=0+10x，常数项3的导数为0，当x=1时，y'=10。

dx<-deriv(y~ 3+10*x,"x",func = TRUE) # 以函数形式生成导数公式
dx(1) # 传入自变量，并计算
[1] 13 # 原函数计算结果y=3+10*1=13

attr(,"gradient")

  x

[1,] 10 # 导函数计算结果y'=10*1=10
2.?幂函数
计算y=x4函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=4x3，当x=2时，y'=32。

dx<-deriv(y~x^4,"x",func = TRUE)
dx(2)
[1] 16

attr(,"gradient")

  x

[1,] 32 # 导函数计算结果y'=4x^3=42^3=32
3.?指数函数
计算y=4x函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=4xln(4)，当x=2时，y'=22.18071。
0> dx<-deriv(y~4^x ,"x",func = TRUE)

dx(2)
[1] 16

attr(,"gradient")

        x

[1,] 22.18071 # 导函数计算结果y'=4^xlog(4)=42^3=22.18071
计算y=ex函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=ex，当x=2时，y'=y=7.389?056。

dx<-deriv(y~exp(1)^x ,"x",func = TRUE)
dx(2)
[1] 7.389056

attr(,"gradient")

        x

[1,] 7.389056 # 导函数计算结果y'=exp(1)^x=exp(1)^2=7.389056
4.?对数函数
计算y=ln(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=1/x，当x=2时，y'=0.5。

dx<-deriv(y~log(x),"x",func = TRUE)
dx(2)
[1] 0.6931472

attr(,"gradient")

  x

[1,] 0.5 # 导函数计算结果y'=1/x=1/2=0.5
计算y=log2x函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=
1/xlna，当x=3时，y'=0.480?898?3。但用R语言编程时，只能计算以自然常数为底的对数的导数，对于原函数不是以自然常数为底的对数，首先要变换成以自然常数为底的对数再进行导数计算，根据对数的换底公式，把以2为底的对数转换为以自然常数为底的对数y=log2x=，

dx<-deriv(y~log(x)/log(2),"x",func = TRUE)
dx(3)
[1] 1.584963

attr(,"gradient")

        x

[1,] 0.4808983 # 导函数计算结果y'=1/(xlog(2)=1/(3log(2)=0.4808983
5.?正弦函数
计算y=sin(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=cos(x)，当x=π时，y'=-1。

dx<-deriv(y~sin(x),"x",func = TRUE)
dx(pi)
[1] 1.224606e-16

attr(,"gradient")

  x

[1,] -1 # 导函数计算结果y'=cos(x)=cos(pi)=-1
6.?余弦函数
计算y=cos(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=-sin(x)，当x=π/2时，y'=-1。

dx<-deriv(y~cos(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/2)
[1] 6.123032e-17

attr(,"gradient")

  x

[1,] -1 # 导函数计算结果y'=-sin(x)=-sin(pi/2)=-1
7.?正切函数
计算y=tan(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=sec2(x)= 1/cos2(x)，当x=π/6时，y'=1.333?333。

dx<-deriv(y~tan(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/6)
[1] 0.5773503

attr(,"gradient")

        x

[1,] 1.333333 # 导函数计算结果y'=1/cos(x)^2=1/cos(pi/6)^2=1.333333
8.?余切函数
计算y=cot(x)函数的导数，由于R语言没有cot()函数，所以根据三角公式我们手动变形原函数为y=cot(x)=1/tan(x)后再进行导数计算，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=-csc2(x)=-1/sin2(x)，当x=π/6时，y'=-4。

dx<-deriv(y~1/tan(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/6)
[1] 1.732051

attr(,"gradient")

  x

[1,] -4 # 导函数计算结果y'=-1/sin(x)^2=-1/sin(pi/6)^2=-4
9.反正弦函数
计算y=arcsin(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=1/，当x=π/6时，y'=1.173?757。

dx<-deriv(y~asin(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/6)
[1] 0.5510696

attr(,"gradient")

        x

[1,] 1.173757 # 导函数计算结果y'=1/sqrt(1-x^2)=1/sqrt(1-(pi/6)^2)=1.173757
10.?反余弦函数
计算y=arccos(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=
-1/，当x=π/8时，y'=-1.087?35。

dx<-deriv(y~acos(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/8)
[1] 1.167232

attr(,"gradient")

        x

[1,] -1.08735 # 导函数计算结果y'=-1/sqrt(1-x^2)=-1/sqrt(1-(pi/8)^2)=-1.08735
11.?反正切函数
计算y=arctan(x)函数的导数，根据导数计算公式，用于手动计算的变形结果为y'=
1/(1+x2)，当x=π/6时，y'=0.784?833?5。

dx<-deriv(y~atan(x),"x",func = TRUE)
dx(pi/6)
[1] 0.4823479

attr(,"gradient")

        x

[1,] 0.7848335 # 导函数计算结果y'= 1/(1+x^2) = 1/(1+(pi/6)^2)=0.7848335
1.5.3　二阶导数计算
当我们对一个函数进行多次连续求导计算，就会形成高阶导数。一般地，函数y=f(x)的导数y'=f?'(x)仍然是x的函数，我们就把y'=f?'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y''，即

（1.34）

一阶导数的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数，N-1阶导数的导数叫做N阶导数，习惯上把二阶以上的导数称之为高阶导数。
下面计算函数y=sin(ax)的二阶导数y''，其中a为常数。根据导数计算公式，用手动计算的变形结果，一阶导数为y'=acos(ax)，对y'再求导公式变形为，y''=-a2sin(ax)
用R语言进行程序实现

a<-2 # 设置a的值
dx<-deriv(y~sin(a*x),"x",func = TRUE) # 生成一阶导数公式
dx(pi/3) # 计算一阶导数
[1] 0.8660254

attr(,"gradient")

  x

[1,] -1 # 导函数计算结果y'= acos(ax)=2cos(2pi/3)=-1

dx<-deriv(y~acos(ax),"x",func = TRUE) # 对一阶导函数求导
dx(pi/3)
[1] -1

attr(,"gradient")

        x

[1,] -3.464102 # 导函数计算结果y'= -a^2sin(ax)=-2^2sin(2pi/3)=-3.464102
上面二阶导数的计算，我们是手动划分为两次求导进行计算的，利用deriv3()函数其实合并成一步计算。

dx<-deriv3(y~sin(a*x),"x",func = TRUE) # 生成二阶导数公式
dx(pi/3) # 计算导数
[1] 0.8660254

attr(,"gradient")

  x

[1,] -1 # 一阶导数结果
attr(,"hessian")
, , x

         x

[1,] -3.464102 # 二阶导数结果
我们再计算另外一个二阶导数，计算y=ax4+bx3+x2+x+c，其中a, b, c为常数，a=2, b=1, c=3，根据导数计算公式，手动计算的变形结果，一阶导数为y'=(2x4+x3+x2+x+3'?)=?8x3+3x2+
2x+1，当x=2时，y'=81，对y'再求导公式变形为，y''=24x2+6x+2，当x=2时，y''=110。

dx<-deriv3(y~ax^4+bx^3+x^2+x+c,"x",func=function(x,a=2,b=1,c=3){})

                        # 通过func参数，指定常数值

dx(2)
[1] 49

attr(,"gradient")

  x

[1,] 81 # 一阶导数结果
attr(,"hessian")
, , x

   x

[1,] 110 # 二阶导数结果
这样就直接完成了二阶导数的计算，在R语言中二阶导数是可以直接求出的，想计算更高阶的导数就需要其他的数学工具包了。
1.5.4　偏导数计算
在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂得多。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数的算子符号为?。记作?f/?x或者f?'x。偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率，在向量分析和微分几何中是很有用的。
在xOy平面内，当动点由P(x0, y0)沿不同方向变化时，函数f(x, y)的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究f(x, y)在点(x0, y0)处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习函数f(x, y)在xOy平面沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f(x, y)的变化率。
x方向的偏导数：设有二元函数z=f(x, y)，点(x0, y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量Δx，相应地函数z=f(x, y)有增量（称为对x的偏增量）Δz=f(x0+Δx, y0)-f(x0, y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x, y)在(x0, y0)处对x的偏导数（partial derivative）。记作f?'x(x0, y0)。
y方向的偏导数：函数z=f(x, y)在(x0, y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0（看成常数）后，一元函数z=f(x, y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量Δy，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x, y)在(x0, y0)处对y的偏导数。记作f?'y(x0, y0)。
同样，我们可以通过R语言的deriv()函数进行偏导数的计算。下面我们计算一个二元函数f(x, y)=2x2+y+3xy2的偏导数，由于二元函数曲面上每一点都有无穷多条切线，描述这个函数的导数就会相当困难。如果让其中的一个变量y取值为常数，那么就可以求出关于另一个自变量x的偏导数了，即?f/?x。
下面我们分别对x, y两个自变量求偏导数，设变量y为常数，计算x的偏导数?f/?x= 4x+3y2，当x=1, y=1时，x的偏导数?f/?x=4x+3y2=7。设变量x为常数，计算y的偏导数?f/?y= 1+6xy，当x=1, y=1时，y的偏导数?f/?x=1+6xy=7。R语言程序实现如下。

fxy = expression(2x^2+y+3x*y^2) # 二元函数公式
dxy = deriv(fxy, c("x", "y"), func = TRUE)
dxy
function (x, y)

{

.expr4 <- 3 * x
.expr5 <- y^2
.value <- 2 * x^2 + y + .expr4 * .expr5
.grad <- array(0, c(length(.value), 2L), list(NULL, c("x","y")))
.grad[, "x"] <- 2 * (2 * x) + 3 * .expr5
.grad[, "y"] <- 1 + .expr4 * (2 * y)
attr(.value, "gradient") <- .grad
.value

}

dxy(1,1) # 设置自变量
[1] 6

attr(,"gradient")

 x y                    # 计算结果，x的偏导数为7，y的偏导数为7

[1,] 7 7
偏导数的程序计算结果与手动计算结果是一致的。
下面我们再求一个复杂函数的偏导数，计算一个二元函数f(x, y)=x?y+exy+x2-2xy+ y3+sin(xy)在点(1, 3)和点(0, 0)的偏导数。R语言程序实现如下。

fxy = expression(x^y + exp(x y) + x^2 - 2 x y + y^3 + sin(xy))
dxy = deriv(fxy, c("x", "y"), func = TRUE)
dxy(1,3) # 设置自变量
[1] 43.22666

attr(,"gradient")

       x        y

[1,] 56.28663 44.09554 # 计算结果，x的偏导数为56.28663，y的偏导数为 44.09554

dxy(0,0)
[1] 2

attr(,"gradient")

  x    y

[1,] NaN -Inf # 计算结果，x的偏导数无意义，y的偏导数负无穷大
对于计算结果有异议的同学，可以尝试手动计算。
本节我们学习了用R语言做高等数学的导数计算，真的是非常方便，这下更有动力学习高数了。