李宏毅机器学习 误差和梯度下降
误差和梯度下降
误差
误差的来源
在前面的测试集数据来看，Average Error随着模型复杂度增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果，而这些Error的主要来源有两个，分别是偏差bias和方差variance。它们的差别可以参考机器学习中的 Bias（偏差）、Error（误差）、Variance（方差）有什么区别和联系？
估测
假设真实的模型为 f ^ \hat{f} f^，该模型 f ^ \hat{f} f^是未知的，我们在上一节通过收集Pokemon精灵数据，通过step1-step3训练得到我们的理想模型 f ∗ f^* f∗， f ∗ f^* f∗只是 f ^ \hat{f} f^的一个预估。
整个过程类似于打靶， f ^ \hat{f} f^就是靶心， f ∗ f^* f∗是我们投掷的结果。其中 f ^ \hat{f} f^和 f ∗ f^* f∗的差距就是偏差bias和方差variancee导致的。
估测变量x的偏差和方差
1.评估x的偏差
- 假设 x x x的平均值是 μ \mu μ，方差 σ 2 \sigma^2 σ2
评估平均值的做法：
- 首先取 N N N个样本点： x 1 , x 2 , . . . , x N {x^1, x^2, ..., x^N} x1,x2,...,xN
- 计算平均值 m m m，得到 m = 1 N ∑ n x n ≠ μ m = \frac{1}{N}\sum_nx^n \neq \mu m=N1∑nxn=μ
然后计算很多组的 m m m并求 m m m的期望：
E [ m ] = E [ 1 N ∑ x n ] = 1 N ∑ n E [ x n ] = μ E[m] = E[\frac{1}{N}\sum x^n] = \frac{1}{N}\sum_nE[x^n] = \mu E[m]=E[N1∑xn]=N1n∑E[xn]=μ
这个估计就是无偏估计(unbiased)。
然后计算 m m m分布对 μ \mu μ的离散程度（方差）：
V a r [ m ] = σ 2 N Var[m] = \frac{\sigma^2}{N} Var[m]=Nσ2
2.评估x的方差
估测不同模型的偏差和方差
假设有100个平行宇宙，在不同的平行宇宙中收集10组数据，分别使用不同的model训练了100个结果，如下：
1.不同模型的方差
简单模型（一次模型）的方差比较小，也就是是比较集中，离散程度较小。而复杂模型（五次模型）的方差就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。
所以用比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。
这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。
2.不同模型的偏差
这里假设图中的黑色曲线为真实的 f ^ \hat{f} f^，由结果可知，简单模型（一次模型）的 f ˉ \bar{f} fˉ没有复杂模型（五次模型）的好，虽然复杂模型的整理结果离散程度很高。
直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 f ^ \hat{f} f^
偏差 v.s. 方差
将系列02中的误差拆分为偏差和方差。简单模型（左边）是偏差比较大造成的误差，这种情况叫做欠拟合，而复杂模型（右边）是方差过大造成的误差，这种情况叫做过拟合。
欠拟合和过拟合问题
1.怎么判断
如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合。
如果模型很好的训练训练集，即在训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。
对于欠拟合和过拟合，使用不同的方式进行处理。
2.偏差大-欠拟合
此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含 f ∗ f^* f∗。可以：
- 将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。
- 考虑更多次幂、更复杂的模型。
如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。
3.方差大-过拟合
但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。
模型验证
1.不推荐的做法
用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。
2.交叉验证
图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。（心里难受啊，大学数模的时候就回去调，来回痛苦折腾）
上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。
3.N-折交叉验证
将训练集分成N份，比如分成3份。
比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。
梯度下降
Review：梯度下降法
在回归问题的第三步中，需要解决如下最优化问题：
θ ∗ = arg min θ L ( θ ) (1) \theta^* = \underset{\theta}{\operatorname{\arg \min}} L(\theta) \tag{1} θ∗=θargminL(θ)(1)
- L L L：损失函数loss function
- θ \theta θ：参数parameters
这里的 θ \theta θ指一系列参数，如前文提到的 w w w和 b b b
我们要找一组参数 θ \theta θ，让损失函数越小越好，这个问题可以使用梯度下降法解决：
假设 θ \theta θ有两个参数 θ 1 , θ 2 \theta_1, \theta_2 θ1,θ2，随机选取初始值如下：
θ 0 = [ θ 1 0 θ 2 0 ] (2) \theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \\ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2 θ0=[θ10θ20](2)
然后分别计算初始点处，两个参数对 L L L 的偏微分，然后 θ 0 \theta^0 θ0 减掉 η \eta η 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法， ▽ L ( θ ) \triangledown L(\theta) ▽L(θ) 即为梯度。
η \eta η 叫做Learning rates（学习速率）
改良梯度下降：调整学习速率
降低学习速率
上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。
虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。
解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。
自适应学习率
一个简单的做法：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率
- 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
- update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
- 如 η t + 1 = η t t + 1 \eta^{t+1} = \frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} ηt+1=t+1ηt， t t t 是次数。随着次数的增加， η t \eta^t ηt 减小
这里需注意：不同的参数需要不同的学习率
Adagrad算法
1.介绍
每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：
普通的梯度下降为，其中的 g t g^t gt表示第 t t t次的梯度：
w t + 1 ← w t − η t g t η t + 1 = η t t + 1 w^{t+1} \leftarrow w^t - \eta^tg^t \\ \eta^{t+1} = \frac{\eta^t}{\sqrt{t + 1}} wt+1←wt−ηtgtηt+1=t+1ηt
- w w w是一个参数
Adagrad 可以做的更好：
w t + 1 ← w t − η t σ t g t g t = ∂ L ( θ t ) ∂ w σ t = 1 t + 1 ∑ i = 0 t ( g i ) 2 w^{t+1} \leftarrow w^t - \frac{\eta^t}{\sigma^t}g^t \\ g^t = \frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \\ \sigma^t = \sqrt{\frac{1}{t+1}\sum_{i=0}^t(g^i)^2} wt+1←wt−σtηtgtgt=∂w∂L(θt)σt=t+11i=0∑t(gi)2
- σ t \sigma^t σt :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的
3.举例
这里给出一个参数的更新过程
讲Adagrad的式子进行化简：
4.分析
在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。
直观的解释：
正式的解释：
比如初始点在 x 0 x_0 x0，最低点为 − b 2 a −\frac{b}{2a} −2ab，最佳的步伐就是 x 0 x0 x0 到最低点之间的距离 ∣ x 0 + b 2 a ∣ \left | x_0+\frac{b}{2a} \right | ∣∣x0+2ab∣∣，也可以写成 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣2a2ax0+b∣∣。而刚好 ∣ 2 a x 0 + b ∣ |2ax_0+b| ∣2ax0+b∣ 就是方程绝对值在 x 0 x_0 x0 这一点的微分。
这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。
结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。
这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。
多参数下的结论
对比不同的参数
上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w 1 w_1 w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w 2 w_2 w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 a a a 和 b b b，结论1-1是成立的，同理 c c c 和 b b b 也成立。但是如果对比 a a a 和 c c c，就不成立了， c c c 比 a a a 大，但 c c c 距离最低点是比较近的。
所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。
之前说到的最佳距离 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣2a2ax0+b∣∣，还有个分母 2 a 2a 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：
∂ 2 y ∂ x 2 = 2 a \frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a ∂x2∂2y=2a
所以最好的步伐应该是：
一 次 微 分 二 次 微 分 \frac{一次微分}{二次微分} 二次微分一次微分
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：
Adagrad进一步的解释
对于 ∑ i = 0 t ( g i ) 2 \sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2} ∑i=0t(gi)2 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）
改良梯度下降：随机梯度下降法
之前的梯度下降：
L = ∑ n ( y ^ − ( b + ∑ w i x i n ) ) 2 θ i = θ i − 1 − η ▽ L ( θ i − 1 ) L = \sum_n(\hat{y} - (b + \sum w_ix_i^n))^2 \\ \theta^i = \theta^{i-1} - \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) L=n∑(y^−(b+∑wixin))2θi=θi−1−η▽L(θi−1)
而随机梯度下降法更快：
损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 x n x^n xn
L = ( y ^ − ( b + ∑ w i x i n ) ) 2 θ i = θ i − 1 − η ▽ L n ( θ i − 1 ) L = (\hat{y} - (b + \sum w_ix_i^n))^2 \\ \theta^i = \theta^{i-1}-\eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) L=(y^−(b+∑wixin))2θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)
此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。
常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）
改良梯度下降：特征缩放
比如有个函数：
y = b + w 1 x 1 + w 2 x 2 y = b + w_1x_1 + w_2x_2 y=b+w1x1+w2x2
两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。
分析
上图左边是 x 1 x_1 x1 的scale比 x 2 x_2 x2 要小很多，所以当 w 1 w_1 w1 和 w 2 w_2 w2 做同样的变化时， w 1 w_1 w1 对 y y y 的变化影响是比较小的， x 2 x_2 x2 对 y y y 的变化影响是比较大的。
坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w 1 w_1 w1 对 y y y 的变化影响比较小，所以 w 1 w_1 w1 对损失函数的影响比较小， w 1 w_1 w1 对损失函数有比较小的微分，所以 w 1 w_1 w1 方向上是比较平滑的。同理 x 2 x_2 x2 对 y y y 的影响比较大，所以 x 2 x_2 x2 对损失函数的影响比较大，所以在 x 2 x_2 x2 方向有比较尖的峡谷。
上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。
对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。
怎么缩放
方法非常多，这里举例一种常见的做法：
上图每一列都是一个例子，里面都有一组特征。
对每一个维度 i i i（绿色框）都计算平均数，记做 m i m_i mi；还要计算标准差，记做 σ i \sigma _i σi。
然后用第 r r r 个例子中的第 i i i 个输入，减掉平均数 m i m_i mi，然后除以标准差 σ i \sigma _i σi，得到的结果是所有的维数都是 0 0 0，所有的方差都是 1 1 1
梯度下降的理论基础
当用梯度下降解决问题：
θ ∗ = arg min θ L ( θ ) \theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) θ∗=θarg minL(θ)
每次更新参数 θ \theta θ，都得到一个新的 θ \theta θ，它都使得损失函数更小。即：
L ( θ 0 ) > L ( θ 1 ) > L ( θ 2 ) > ⋅ ⋅ ⋅ L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta^2)>··· L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅
上述结论正确吗？显然不正确，在前文中讲过，如果学习速率过大，那么很可能中间会出现损失函数变大的情况。
比如在 θ 0 \theta^0 θ0 处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 θ 1 \theta^1 θ1，不断的这样去寻找。
接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？
泰勒展开式
若 h ( x ) h(x) h(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：
h ( x ) = ∑ k = 0 ∞ h k ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k = h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) + h ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . \begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \\ &= h(x_0)+h'(x_0)+\frac{h''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... \end{aligned} h(x)=k=0∑∞k!hk(x0)(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)+2!h′′(x0)(x−x0)2+...
当 x x x 很接近 x 0 x_0 x0 时，有 h ( x ) ≈ h ( x 0 ) + h ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) h(x)≈h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0) h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0)
这就是函数 h ( x ) h(x) h(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 点附近关于 x x x 的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。
如：
图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 s i n ( x ) sin(x) sin(x)。
多变量泰勒展开式
下面是两个变量的泰勒展开式：
利用泰勒展开式简化
回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：
将问题进而简化为下图：
不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量 ( △ θ 1 , △ θ 2 ) (\triangle \theta_1,\triangle \theta_2) (△θ1,△θ2) 和 ( u , v ) (u,v) (u,v) 的内积，那怎样让它最小，就是和向量 ( u , v ) (u,v) (u,v) 方向相反的向量
然后将u和v带入。
发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。
所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。
式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。
梯度下降的限制
容易陷入局部极值 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点
References
- 误差从哪来？
- 梯度下降
- 机器学习中的 Bias（偏差）、Error（误差）、Variance（方差）有什么区别和联系？