有限差分matlab工具箱,拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现

第2l卷第3期 2008年6月 四川理工学院学报(自然科学版) V01．21 No．3 JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF SCIENCE＆ENGINEERING(NATURAL SCIENCE EDITION 1 Jun．2008 文章编号：1673-1549(2008)03-0001-02 拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现 谢焕田，吴艳 (临沂师范学院数学系，山东临沂276005) 摘要：文章基于区域转化的思想，通过MATLAB编程实现了四分之一圆域上拉普拉斯方程的有限差分方法，数值实验表明了方法的可行性和正确性． 关键词：拉普拉斯方程；有限差分；Matlab 中图分类号：0241．82 文献标识码：A 众所周知，拉普拉斯方程争+等=o 是最简单的椭圆型偏微分方程之一，其定解问题的数值解法主要有有限元法和有限差分法等，传统上人们认为有限元法擅长计算复杂区域上椭圆型偏微分方程的定解问题但有限元法计算步骤较为复杂和抽象，功能强大 的成熟软件MATLAB弥补了这一缺点但其中的PDE工具箱仅能计算边界条件为常数的边值问题，鉴于以上情况，本文考虑如下边值问题 等+等=0(x，y)E力 (1) 10。仁，们∈力且x=0 “∞力={矿似纠E力且y=0 (2) 【16矿一20x3+5x，似纠∈力且x+y=l 其中Irb{G，力舻+严≤1，且x>o，)，>o}。 首先利用区域转化的思想通过极坐标对求解区域进行转化，进而通过MATLAB编程实现了上述边值问题的极坐标下的有限差分方法，数值实验结果表明了此方法的可行性和正确性。 1有限差分法的介绍 有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一，其基本思想是把连续问题离散化，即首先对求解区域作网格剖分，用有限个网格节点代替连续区域；其次将微分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题，解方程组就可以得到原问题在离散点 上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。参照文献【1】，给出有限差分法数值计算的基本步骤： (1)区域的离散或子区域的划分。 (2)插值函数的选择。 (3)方程组的建立。 (4)方程组的求解。 2问题的转化 首先，将不规则求解区域力转换为规则区域，令庐 rcosO,y=rsinO，则直角坐标系下的四分之一单位圆域lf2 就转化为如下的带状区域 ，=f(r，日)10sr冬1，0≤口s儡r／2l 其次，将x=rcosO,y=rsinO带入方程(1)进行化简，此时拉普拉斯方程形如 一[}参(r等)+}告】一 c3， 3问题的分析 按照有限差分法的求解步骤，首先将带状区域厂_ f(r，们IOsrsl,0_<0