算法时间复杂度计算

2022.5.12

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分析

算法中所有语句的频度之和记为T(n),它是该算法问题规模n的函数。
对于一个算法来说，循环体和递归是时间复杂度的重灾区，在这里先分析循环体的时间复杂度。

预备知识：
1.常见渐进时间复杂度

O(1)2)3)n)n)

2.计算时间复杂度时，系数可省略，O记法只看加项的最高阶

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一、简单循环及其变种

[例1]

void fun(int n)
{
int i=1;         //语句频度1，后期可以忽略
while(i<=n)      //i<=n是循环条件
i=i*2;           //i=i*2控制循环次数
}

这里我们计算时间复杂度需要计算的就是循环体的语句频度。
设循环次数：t
根据循环体可得：2^t<=n，此时循环可以继续下去
接下来只需求解出：t<=log₂n,即可得到T(n)=O(log₂n)
此时的t对应的就是语句的频度。

[例2]

void fun(int n)
{
int i=1;             //语句频度1，后期可以忽略
while(i*i*i<=n)      //i*i*i<=n是循环条件
i++;                 //i++和i*i*i控制循环次数
}

这里我们依旧计算循环体的语句频度。
设循环次数：t
根据循环体可得：t=i，t³<=n，此时循环可以继续下去
接下来只需求解出：t<=³√n ,即可得到T(n)=O(³√n)
此时的t对应的就是语句的频度。

[例3]

void fun(int n)
{
int x=2;             //语句频度1，后期可以忽略
while(x<n/2)         //x
x=2*x;               //x=2*x和n/2控制循环次数
}

这里我们依旧计算循环体的语句频度。
设循环次数：t
根据循环体可得：2^t+1 接下来只需求解出：t2n-2 ,即可得到T(n)=O(log₂n)
此时的t对应的就是语句的频度。

[例4]

void fun(int n)
{
int x=0;                      //语句频度1，后期可以忽略
while(n>=(x+1)*(x+1))         //n>=(x+1)*(x+1)是循环条件
x=x+1;                        //x=x+1和(x+1)*(x+1)控制循环次数
}

这里我们依旧计算循环体的语句频度。
设循环次数：t
根据循环体可得：(t+1)²<=n，此时循环可以继续下去
接下来只需求解出：t<=√n-1 ,即可得到T(n)=O(√n)
此时的t对应的就是语句的频度。

[例5]

void fun(int n)
{
int count=0;                   //语句频度1，后期可以忽略
for(k=1;k<=n;k*=2)             //k<=n是循环条件
for(j=1;j<=n;j++)              //j<=n是循环条件
count++;                       //k*=2和j++控制循环次数
}

这里我们依旧计算循环体的语句频度。
设循环次数：t₁和t₂
根据循环体可得：2^t1<=n且t₂<=n，此时循环可以继续下去
接下来只需求解出：t₁<=log₂n和t₂<=n ,总循环次数t=t₁xt₂，即可得到T(n)=O(nlog₂n)
此时的t对应的就是语句的频度。

二、层层影响循环

[例6]

void fun(int n)
{
for(i=n-1;i>1;i--)             //i>1是循环条件
for(j=1;j<i;j++)               //j
if(A[j]>A[j+1];                //i--和j++控制循环次数
A[j]与A[j+1]互换;
}

这里的循环体是多层嵌套且相互关联的，所以在计算时要采用其它方式。
由循环体可以列出：
$$T(n)=\sum _{i=2}^{n-1}\sum _{j=1}^{i-1}1=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$$
直接得到T(n)=O(n²)

[例7]

void fun(int n)
{
int m=0,i,j;                 //语句频度1，后期可以忽略
for(i=1;i<=n;i++)            //i<=n是循环条件
for(j=1;j<=2*i;j++)          //j<=2*i是循环条件
m++;                         //2*i和i++和j++控制循环次数
}

由循环体可以列出：
$$T(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{2i}1=\frac{(2n+2)n}{2}$$
直接得到T(n)=O(n²)

[例8]

void fun(int n)
{
int m=0;
for(i=1;k<=n;i++)          //k<=n是循环条件
for(j=1;j<=i;j++)          //j<=i是循环条件
for(k=1;k<=j;k++)          //k<=j是循环条件
m++;                       //k++和i++和j++控制循环次数
}

由循环体可以列出：
$$T(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^{j}1=[\frac{(n+1)n}{2}+1]\ast n/2$$
直接得到T(n)=O(n³)

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总结

所有题目来自王道书。
可以对比例5和后面几个多层循环，当不同的层互不影响时，就能够将不同层分开计算。