PCA原理分析及实现

PCA即主成分分析，是用一个超平面对所有样本进行恰当表达的方法，思想是将n维特征映射到k维上（k

一、概念解释

这里引用了两篇博文，由于一直做独立收藏，无法找到原作者，故仅提供云笔记链接：主成分分析（PCA） 。该文章写得清晰明了，这里也就不过多说明，到算法实现时再详细介绍求解步骤。

二、算法实现

算法目的：将N维特征转化为K维特征。拿到多维数据之后算法步骤如下（为了说明算法使用下面简单的数据）：

特征A	特征B
1	1
1.1	3
0.9	5

1. 首先对数据的每项特征做取均值化处理 

故所得

特征A	特征B
0	-2
0.1	0
-0.1	2

2. 求特征的协方差矩阵

协方差的求法如下：

对多维随机变量，我们往往需要计算各维度两两之间的协方差，这样各协方差组成了一个的矩阵，称为协方差矩阵。协方差矩阵是个对称矩阵，对角线上的元素是各维度上随机变量的方差。我们定义协方差矩阵为，这个符号与求和相同，需要根据上下文区分。矩阵内的元素为

                                                                                      

这个矩阵为

                                                                             

故所得

                                                                                          

3. 求该协方差矩阵的特征值和特征向量

我们使用numpy来计算矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np

a = np.array([[0.02, -0.2],[-0.2, 8]])

b = np.linalg.eig(a)

其中b[0]保存的是矩阵a的特征值，b[1]保存的是矩阵的特征向量​​​​​​​

[0.01499061 8.00500939]

[[-0.99968647  0.02503908]

[-0.02503908 -0.99968647]]

4. 求前K个最大的特征值，将其对应的特征向量组成新的矩阵

在本例中最大的特征值为8，对应的特征向量为[-0.02503908 -0.99968647]

5. 将样本点投影到选取的特征向量上

将原本去均值化的特征矩阵乘上由特征向量（按列组合）组成的矩阵，就可得到最终的结果：

                                  

这样，就将原始样例的n维特征变成了k维，这k维就是原始特征在k维上的投影。该特征基本上代表了这两个特征。

三、使用sklearn库来实现PCA

利用上面的例子，我们实现用sklearn来实现PCA，代码如下：

import numpy as np

from sklearn.decomposition import PCA

X = np.array([[1, 1], [1.1, 3], [0.9, 5]])

pca = PCA(n_components=1)

pca.fit(X)

print(pca.transform(X))

需要注意的地方： 

• PCA对象属性 
  components_：返回具有最大方差的成分。 
  explained_variance_ratio_：返回 所保留的n个成分各自的方差百分比。 
  n_components_：返回所保留的成分个数n。
• fit(X,y=None) 
  fit()可以说是scikit-learn中通用的方法，每个需要训练的算法都会有fit()方法，它其实就是算法中的“训练”这一步骤。因为PCA是无监督学习算法，此处y自然等于None。 
  fit(X)，表示用数据X来训练PCA模型。函数返回值：调用fit方法的对象本身。比如pca.fit(X)，表示用X对pca这个对象进行训练。 
  fit_transform(X) 
  用X来训练PCA模型，同时返回降维后的数据。 
  newX=pca.fit_transform(X)，newX就是降维后的数据。 
  inverse_transform() 
  将降维后的数据转换成原始数据，X=pca.inverse_transform(newX) 
  transform(X) 
  将数据X转换成降维后的数据。当模型训练好后，对于新输入的数据，都可以用transform方法来降维。

参考网址：

https://blog.csdn.net/happyxghero/article/details/92846614