假设检验(Hypothesis Test)

假设检验(Hypothesis Test)

一、双边检验

1.1 U检验：${\sigma }^2$已知，关于$\mu$的检验

假设检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

统计量

$$U=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$

拒绝域

根据定义，对于一个给定的置信区间$\alpha$，我们可以在正态分布两端取到分位点$\pm u_{\frac{\alpha }{2}}$,既
$$P\left\{\left|U\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}=\alpha$$
如果统计量的值u，$\left|u\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}$，则意味着发生了小概率事件，因此原假设$H_0$为小概率事件，拒绝原假设
故拒绝域为
$$W_1=\left\{\left|u\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}$$

1.2 T检验：${\sigma }^2$未知，关于$\mu$的检验

假设检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

统计量

$$T=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$$

$S^2$为${\alpha }^2$的无偏估计

拒绝域

$$W_1=\left\{\left|t\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\right\}$$
t分布和正态分布的曲线类似，所以拒绝域的计算方式也类似，不同的是方差未知我们只能用$S^2$来代替${\alpha }^2$

1.3 卡方${\chi }^2$检验：$\mu$未知，关于${\sigma }^2$的检验

假设检验

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$

统计量

$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

拒绝域

$$W_1=\left\{{\chi }^2\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)或者{\chi }^2\ge {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)\right\}$$
标准卡方分布${\chi }^2$分布的左右两边不对称，所以将两边分开

二、单边检验

2.1 U单边检验：${\sigma }^2$已知，关于$\mu$的检验

假设检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0(或\mu <{\mu }_0)$$

统计量

$$U=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$

拒绝域

根据定义，对于一个给定的置信区间$\alpha$，我们可以在正态分布取到单个分位点$u_{\alpha }$,既
$$P\left\{U>u_{\alpha }\right\}=\alpha (或P\left\{U<-u_{\alpha }\right\}=\alpha )$$
如果统计量的值u，$u>u_{\alpha }(或u<-u_{\alpha })$，则意味着发生了小概率事件，因此原假设$H_0$为小概率事件，拒绝原假设
拒绝域为
$$W_1=\left\{u>u_{\alpha }\right\}(或W_1=\left\{u<-u_{\alpha }\right\})$$

2.2 T单边检验：${\sigma }^2$未知，关于$\mu$的检验

假设检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0(或\mu <{\mu }_0)$$

统计量

$$T=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$$
$S^2$为${\alpha }^2$的无偏估计

拒绝域

$$W_1=\left\{t>t_{\alpha }(n-1)\right\}(或W_1=\left\{t<-t_{\alpha }(n-1)\right\})$$
t分布和正态分布的曲线类似，所以拒绝域的计算方式也类似，不同的是方差未知我们只能用$S^2$来代替${\alpha }^2$

2.3 卡方${\chi }^2$单边检验：$\mu$未知，关于${\sigma }^2$的检验

假设检验

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2(或{\sigma }^2<{\sigma }_0^2)$$

统计量

$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

拒绝域

$$W_1=\left\{{\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n-1)\right\}(或W_1=\left\{{\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)\right\})$$

三、两个独立正态分布总体均值与方差的检验

设$X_1,X_2,X_3,...X_{n_1}$为总体$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$的样本,
设$Y_1,Y_2,Y_3,...Y_{n_2}$为总体$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$的样本

3.1 U检验：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$已知，关于${\mu }_1,{\mu }_2$的检验

假设检验

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

统计量

$$U=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$

拒绝域

虽然统计量的计算方程变了，但拒绝域形式不变
$$W_1=\left\{\left|u\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}$$

3.2 T检验：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$未知，但已知${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$，关于${\mu }_1,{\mu }_2$的检验

假设检验

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

统计量

$$T=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)其中S_w=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$
$S^2$为${\alpha }^2$的无偏估计

拒绝域

$$W_1=\left\{\left|t\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)\right\}$$

3.3 T检验：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$未知，但已知${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$，关于${\mu }_1,{\mu }_2$的检验

假设检验

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

统计量

$$T=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{\frac{S_1}{n_1}+\frac{S_2}{n_2}}}\sim t(f)其中f=\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}{)}^2}{\frac{(S_1^2/n_1{)}^2}{n_1-1}+\frac{(S_2^2/n_2{)}^2}{n_2-1}}$$
$S^2$为${\alpha }^2$的无偏估计

拒绝域

$$W_1=\left\{\left|t\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n_1+n_2-2)\right\}$$

3.4 F检验(方差齐性检验)：${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,{\mu }_1,{\mu }_2$未知，关于${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$的检验

从两研究总体中随机抽取样本，要对这两个样本进行比较的时候，首先要判断两总体方差是否相同，即方差齐性。若两总体方差相等，则直接用t检验，若不等，可采用秩和检验等方法

假设检验

$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$$

统计量

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

拒绝域

$$W_1=\left\{f\ge F_{\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)或者f\le F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n_1-1,n_2-1)\right\}$$

四、非参检验

秩和检验

T-检验：平均值的成对二样本检验

学必求其心得，业必贵其专精