序列 DP
文章目录
- [813. 最大平均值和的分组](https://leetcode.cn/problems/largest-sum-of-averages/)
- [1478. 安排邮筒](https://leetcode.cn/problems/allocate-mailboxes/)
- [2463. 最小移动总距离](https://leetcode.cn/problems/minimum-total-distance-traveled/)
813. 最大平均值和的分组
dp[i][j] 表示 nums 在区间 [0,i) 被切分成 j 个子数组的最大平均值和，显然 i ≥ j，计算分两种情况讨论：
当 j = 1 时，dp[i][j] 是对应区间 [0, i) 的平均值；
当 j > 1 时，可以将区间 [0, i - 1] 分成 [0, x) 和 [x, i ) 两个部分，其中 x > j，那么 dp[i][j] 等于所有这些合法的切分方式的平均值和的最大值。
因此转移方程为：
dp [ i ] [ j ] = { ∑ r = 0 i − 1 nums [ r ] i , j = 1 max x ≥ j − 1 { d p [ x ] [ j − 1 ] + ∑ r = x i − 1 nums [ r ] i − x } , j > 1 \textit{dp}[i][j] = \begin{cases} \dfrac{\sum_{r = 0}^{i - 1}\textit{nums}[r]}{i}, & j = 1 \\ \max\limits_{x \ge j - 1} \{dp[x][j - 1] + \dfrac{\sum_{r = x}^{i - 1}\textit{nums}[r]}{i - x}\}, & j > 1 \end{cases} dp[i][j]=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧i∑r=0i−1nums[r],x≥j−1max{dp[x][j−1]+i−x∑r=xi−1nums[r]},j=1j>1
假设数组 nums 的长度为 n，那么 dp[n][k] 表示数组 nums 分成 k 个子数组后的最大平均值和，即最大分数。
class Solution:
def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], k: int) -> float:
n = len(nums)
acc = list(accumulate(nums, initial=0))
dp = [[0.0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
dp[i][1] = acc[i] / i
for j in range(2, k + 1):
for i in range(j, n + 1):
for x in range(j - 1, i):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[x][j - 1] + (acc[i] - acc[x]) / (i - x))
return dp[n][k]
由于 dp[i][j] 的计算只利用到 j−1 的数据，因此也可以使用一维数组对 dp[i][j] 进行计算，在计算过程中，要注意对 i 进行逆序遍历。
class Solution:
def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], k: int) -> float:
n = len(nums)
prefix = list(accumulate(nums, initial=0))
dp = [0.0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
dp[i] = prefix[i] / i
for j in range(2, k + 1):
for i in range(n, j - 1, -1):
for x in range(j - 1, i):
dp[i] = max(dp[i], dp[x] + (prefix[i] - prefix[x]) / (i - x))
return dp[n]
动态规划，1478题、最近周赛的2463题都是类似的题目，属于把一个数组分成k段求一个最值属性。套路比较统一，dp[i][k]表示将nums[0:i]分成k份的最大平均值和。枚举一个能使dp[i][k]取最大值的分割点j，0j分成k-1份，j+1i单独一份。一般j+1~i段的那个属性可以利用某些预处理在常数时间得到，本题只需要预处理出来前缀和就能快速计算子数组的平均值。
const int N = 110;
double dp[N][N];
class Solution {
public:
double largestSumOfAverages(vector<int>& nums, int K) {
int n = nums.size();
memset(dp, 0, sizeof dp);
vector<int> s(n);
s[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < n; i++) {
s[i] = s[i - 1] + nums[i];
}
for(int i = 0; i < n; i++) dp[i][1] = s[i]*1.0 / (i + 1);
for(int i = 1; i < n; i++) {
for(int k = 2; k <= min(i + 1, K); k++) {
for(int j = 0; j < i; j++) {
dp[i][k] = max(dp[i][k], dp[j][k - 1] + windowSum(s, j + 1, i)/(i - j));
}
}
}
double ans = 0;
for(int k = 1; k <= K; k++) ans = max(ans, dp[n - 1][k]);
return ans;
}
double windowSum(vector<int>& s, int left, int right) {
return s[right] - (left? s[left - 1]: 0);
}
};