机器学习期中考试

1、使用KNN算法对两个未知类型的样本进行分类（冰川水或者湖泊水），其中K=3，即选择最近的3个邻居。（20分）
样本 Ca+浓度 Mg+浓度 Na+浓度 Cl-浓度 类型
A 0.2 0.5 0.1 0.1 湖泊水
B 0.4 0.3 0.4 0.3 冰川水
C 0.3 0.4 0.6 0.3 湖泊水
D 0.2 0.6 0.2 0.1 湖泊水
E 0.5 0.5 0.1 0 冰川水
F 0.3 0.3 0.4 0.4 冰川水
G 0.3 0.3 0.1 0.2 ？冰川水
H 0.1 0.4 0.2 0.2 ？湖泊水

学生答案：
解：
Distance(G,A)2=0.1; Distance(G,B)2=0.03; Distance(G,C)2=0.11
Distance(G,D)2=0.12; Distance(G,E)2=0.16; Distance(G,F)2=0.05
G的三个最近的邻居为B,F,A，因此G的分类为冰川水
Distance(H,A)2=0.03; Distance(H,B)2=0.18; Distance(H,C)2=0.22
Distance(H,D)2=0.03; Distance(H,E)2=0.21; Distance(H,F)2=0.16
H的三个最近的邻居为A,D,F，因此H的分类为湖泊水
2、使用CART决策树算法对两个未知类型的样本进行分类。（使用ID3决策树算法对两个未知类型的样本进行分类。）（20分）
Ca+浓度 Mg+浓度 Na+浓度 Cl-浓度 类型
低 高 高 高 冰川水
高 低 高 高 冰川水
低 高 低 低 冰川水
高 高 低 低 冰川水
低 低 低 低 湖泊水
高 低 低 低 湖泊水
低 高 高 低 湖泊水
高 低 高 低 湖泊水
低 高 高 低 ？湖泊水
高 高 低 高 ？冰川水
CART算法：
对样本集S，计算其在各个属性划分上的基尼指数。
1）
Gini(S,Ca+浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]+4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]
= 0.5
2）
Gini(S,Mg+浓度)=4/8 [1-(3/4)^2-(1/4)2 ]+4/8 [1-(1/4)^2-(3/4)2 ]
= 0.375
3）
Gini(S,Na+浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]+4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]
= 0.5
4）
Gini(S,Cl-浓度)=4/8 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]+4/8 [1-(4/4)^2 ]
= 0.25
Cl-浓度属性的基尼指数最小，将Cl-浓度属性作为第一个划分属性，将集合S划分为以下两个子集：
S1(高)：
Ca+浓度 Mg+浓度 Na+浓度 类型
低 高 高 冰川水
高 低 高 冰川水

S2(低)：
Ca+浓度 Mg+浓度 Na+浓度 类型
低 高 低 冰川水
高 高 低 冰川水
低 低 低 湖泊水
高 低 低 湖泊水
低 高 高 湖泊水
高 低 高 湖泊水

对样本集S1，所有样本均属于同一类型：冰川水。
对样本集S2，计算其在各个属性划分上的基尼指数：
1）
Gini(S2,Ca+浓度)=2/6 [1-(1/2)^2-(1/2)2 ]+4/6 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]
= 0.5
2）
Gini(S2,Mg+浓度)=2/6 [1-(2/2)^2 ]+4/6 [1-(3/4)^2-(1/4)2 ]
=0.25
3）
Gini(S2,Na+浓度)=2/6 [1-(2/2)^2 ]+4/6 [1-(2/4)^2-(2/4)2 ]
=0.333
可以看出Gini(S2,Mg+浓度)最小，所以应该选择Mg+浓度属性作为测试属性。
Mg+浓度属性将样本集划分为两个子集:
1）S21
Ca+浓度 Na+浓度 类型
低 低 冰川水
高 低 冰川水
低 高 湖泊水

2）S22
Ca+浓度 Na+浓度 类型
低 低 湖泊水
高 低 湖泊水
高 高 湖泊水

对样本集S21，计算其在各个属性划分上的基尼指数：
1）
Gini(S21,Ca+浓度)=2/3 [1-(1/2)^2-(1/2)2 ]+1/3 [1-(1/1)^2 ]
=0.333
2）
Gini(S21,Na+浓度)=2/3 [1-(2/2)^2 ]+1/3 [1-(1/1)^2 ]
=0
可以看出Gini(S2,Na+浓度)最小，所以应该选择Na+浓度浓度属性作为测试属性。
Na+浓度属性将样本集划分为两个子集, 并且各个子集中的样本都属于同一个类型。

对样本集S22，所有样本均属于同一类型湖泊水。
决策树构造完毕，如下图所示。

图1 选择Na+浓度作为节点
由上面决策树，得第一个待识别样本类型为湖泊水；第二个待识别样本类型为冰川水。
3、如下表所示的数据集，其在二维空间中的分布情况如图1所示，用户输入ε=1，MinPts=5，采用DBSCAN算法对表中数据进行聚类。(20分)
序号 属性1 属性2 序号 属性1 属性2
1 1 0 7 4 1
2 4 0 8 5 1
3 0 1 9 0 2
4 1 1 10 1 2
5 2 1 11 4 2
6 3 1 12 1 3
第一类：{1,3,4,5,10}
第二类：{2,6,7,8,11}

4、已知数据集如表1所示，使用朴素Bayes算法预测气候状况为雨天，高温，湿度中等。微风时，是否适合户外运动？（20分）
表1 数据集信息
天气情况x1 温度情况x2 湿度情况x3 风力情况x4 户外运动Y
晴朗 高 大 微风 不适合n
晴朗 高 大 强风 不适合n
阴天 高 大 微风 适合y
下雨 中 大 微风 适合y
下雨 低 中等 微风 适合y
下雨 低 中等 强风 不适合n
阴天 低 中等 强风 适合y
晴朗 中 大 微风 不适合n
晴朗 低 中等 微风 适合y
下雨 中 中等 微风 适合y

解：
即求X={下雨，高，中等，威风}的户外运动为可以的后验概率P(Y=y|X)和为不可以的后验概率P(Y=n|X)两者值中较大者为X的预测值。
根据Bayes定理，P(Y=y|X)= P(X|Y=y)P(Y=y)=P(x1|Y=y) P(x2|Y=y)* P(x3|Y=y)*
P(x4|Y=y)P(Y=y)
这里，P(x1|Y=y)= P(x1=下雨|Y=y)=3/6
P(x2|Y=y)= P(x2=高|Y=y)=1/6
P(x3|Y=y)= P(x3=中等|Y=y)=4/6
P(x4|Y=y)= P(x4=微风|Y=y)=5/6
P(Y=y)= 6/10
因此，P(Y=y|X)= 3/61/64/65/66/10=1/36
同理，计算P(Y=n|X)= P(X|Y=n)P(Y=n)=P(x1|Y=n) P(x2|Y=n) P(x3|Y=n)*
P(x4|Y=n)P(Y=n)
其中，
P(x1|Y=n)= P(x1=下雨|Y=n)=1/4
P(x2|Y=n)= P(x2=高|Y=n)=2/4
P(x3|Y=n)= P(x3=中等|Y=n)=1/4
P(x4|Y=n)= P(x4=微风|Y=n)=2/4
P(Y=n)= 4/10
因此，P(Y=n|X)= 1/42/41/42/4*4/10=1/160
因为P(Y=y|X)> P(Y=n|X)，故气候状况为雨天，高温，湿度中等，微风时，户外运动应为适合。

5、假如空间中的五个点{A,B,C,D,E}，各点之间的距离关系如表2所示，设初始聚类中心点为{A,B}，根据所给的数据对其运行K-中心点算法实现第一次迭代后的聚类划分结果及相应的两个中心点（k=2）。（20分）
样本点 A B C D E
A 0 1 2 3 4
B 1 0 3 5 2
C 2 3 0 1 4
D 3 5 1 0 6
E 4 2 4 6 0

根据已知条件，当两个初始中心点为{A,B}时，所得划分为{A,C,D}和{B,E}。
第一次迭代：
假定中心点{A,B}分别被非中心点{C,D,E}替换，根据K-中心点算法需要计算下列代价：TCAC、TCAD、TCAE、TCBC、TCBD和TCBE。其中TCAC表示中心点A被非中心点C代替后的总代价。下面以TCAC为例说明计算过程。
当A被C代替后，看各对象的变化情况。
A：因A离B近，CAAC=d(A,B)-d(A,A)=1-0=1。
B：B不受影响，CBAC=0。
C：CCAC=d(C,C)-d(C,A)=0-2=-2。
D：CDAC=d(D,C)-d(D,A)=1-3=-2。
E：CEAC=0。
于是，TCAC= CAAC+ CBAC+ CCAC + CDAC+ CEAC=1+0-2-2+0=-3。同理，可以计算出：TCAD=-3，TCAE=2，TCBC =-1，TCBD=-1，TCBE=-1。
选取最小代价，有两种选择。
选取TCAC为最小代价时，则两个中心点为{B,C}，样本被重新划分为{ A,B,E}和{C,D}两个簇。
选取TCAD为最小代价时，则两个中心点为{B,D}，样本被重新划分为{ A,B,E}和{C,D}两个簇。