深度强化学习CS285 lec13-lec15 基础知识：变分推断VI与GAN

概述

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• Lec1-Lec4 RL Introduction

1. 介绍传统Imitation Learning的背景、算法、难点.IL学习的方式是通过Supervised Learning以state-action直接建立策略$\pi (a|s)$的mapping，因此只能拟合数据与label的相关性.
2. 引入额外监督信息$r(s,a)$，尝试添加因果性，因此增加了灵活性（多solution应对更复杂的任务）的同时，付出了复杂度增大的代价（credit-assignment、exploration与exploitation）.
3. 对RL监督信息的来源、问题的建模、算法的大致分类进行了抽象介绍.

• Lec5-Lec9 Model-free RL

1. 假设 无环境dynamics model，已知reward function、且为MDP的情况下，基于与真实环境交互得到的样本trajectory来估计梯度$\nabla J(\theta )$或值函数$Q^{\ast }(s,a)$，从而进行策略优化PI（Policy Improvement）.
2. 讨论了Policy Gradient、Value-based（V与Q）、Actor-Critic三大类型的model-free算法大致原理.
3. 根据状态state、动作action的离散(discrete)或连续(continuous)、高维(high-dim)或低维(low-dim)进行Model-free算法选型.

• Lec10-Lec12 LQR framework

1. 主要介绍了LQR、iLQR、DDP三种规划（planning）算法
2. 在LQR应对deterministic dynamics system，iLQR应对stochastic dynamics system，DDP是对dynamics model以及cost function都做了quadratic approximation的LQR扩展形态

• Lec10-Lec12 Model-based RL

1. 引入了dynamics model $p(s^{\prime }|s,a)$或$f(x_t,u_t)$ ，分为deterministic与stochastic两种，介绍了Model-based RL的基本算法（当然有进阶版）
2. 介绍了Stochastic Optimizatin、MCTS和LQR framework三种经典规划算法planning，也统称Trajectory Optimization在已有dynamics model上怎么去做Optimal Control，得到较优控制序列
3. 怎么更好的拟合dynamics model，引入DAgger、MPC replan、Uncertainty-Award、Latent Model来相应解决Distribution Mismatch、Compound Error、Diverse Exploration in State Space、State Representation的问题
4. 介绍了通过dynamics model来辅助Policy学习的General Dyna-Style算法以及Divide and Conquer RL中的比较经典的Guided Policy Search.

本文主要是为推导较繁琐的lec14-Reframe Control As Inference与lec15-Inverse Reinforcement Learning进行基础铺垫，介绍变分推断VI、对抗生成网络GAN的理论基础，减轻一些负担，是是是，我知道这个都很常见啦，当回顾一下。
本文安排：

• 回顾一些信息论的概念，如信息量、熵Entropy、交叉熵Cross Entropy、KL散度、JS散度等.
• 介绍Latent Variable Model、EM算法、变分推断VI
• 介绍GAN的理论基础，这跟逆强化学习IRL联系很！很！很紧密！

一、简要回顾信息论

1.1 概念与公式

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假设：$p(x)$为真实分布，$q(x)$为模型分布.

• 信息量
  $$I_{x_0\sim p(x)}(x_0)=-logp(x_0)$$

$p(x_0)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$
$logp(x_0)$	$-log2$	$-log3$	$-log6$
$I(x_0)$	$log2$	$log3$	$log6$

说明：概率越小，信息量越大.

（啰嗦的缘由是希望从数值上得到直观印象，直接将$-logp(x_0)$就看成一个整体，避免自己老是$p(x_0)$小，$logp(x_0)$小，$-logp(x_0）$就大，像个呆板的沙雕=.=）

• 熵(Entropy)
  $$H(p)=\sum _{x_0\sim p(x)}p(x_0)[-logp(x_0)]=\int p(x)[-logp(x)]dx=E_{x_0\sim p(x)}[-logp(x_0)]$$

  说明：真实分布$p$的信息量$-logp(x)$在自身的期望，熵越低分布越deterministic，熵越高分布越stochastic.
  用途：用来衡量一个分布自身的随机程度，类似于数据中的方差variance.
  （啰嗦的缘由是建立$p(x)$与$-logp(x)$的直观印象，$p(x)$小，$-logp(x)$大，即该样本$x$属于真实分布的概率小，则信息量$-logp(x)$大）

• 交叉熵(Cross Entropy)

  $$H(p,q)=\sum _{x_0\sim p(x)}p(x_0)[-logq(x_0)]=\int p(x)[-logq(x)]dx=E_{x_0\sim p(x)}[-logq(x_0)]$$说明：模型分布$q$的信息量$-logq(x)$在真实分布$p$下的期望，Cross Entropy越大p与q越不相似，Cross Entropy越小p与q越接近
  用途：衡量模型分布与真实分布之间的相似程度，$H(p)=H(p,p)$
  （又来啰嗦了，该样本$x$属于模型分布$q$的概率小，则信息量$-logq(x)$大，若属于真实分布$p$的概率大，则$p(x)[-logq(x)]$大，于是在该点$x$上，$p,q$越不相似，一高一低）

• KL散度(Kullback–Leibler divergence)
  $$KL(p,q)=\sum _{x_0\sim p(x)}p(x_0)log\frac{p(x_0)}{q(x_0)}=\int p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}dx=E_{x_0\sim p(x)}\left[log\frac{p(x)}{q(x)}\right]$$
  $$\begin{array}{rl}KL(p,q)& =\int p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}dx\\ & =\int p(x)[[-logq(x)]-[-logp(x)]]dx\\ & =E_{p(x)}[I(q)-I(p)](1)\\ & =\int p(x)logp(x)dx+\int p(x)[-logq(x)]dx\\ & =-H(p)+H(p,q)\ge 0(2)\end{array}$$

  说明：两者越相似，$\frac{p(x)}{q(x)}\to 1,log\frac{p(x)}{q(x)}\to 0$，$KL(p,q)$越小；
  用途：$KL(p,q)$是用来衡量两个分布之间的差异.
  （突然啰嗦症晚期，由$(1)$可知，KL散度可看作两个分布信息量的差在真实分布$p$上的期望，两者相等时，期望为0；两者相差越远时，如在样本点x上，$q(x)$小，$p(x)$大，则两者信息量差距越大。由$(2)$可知，KL散度=交叉熵-熵.）

• JS散度(Jensen-Shannon)
  $$\begin{array}{rl}JS(p||q)& =\frac{1}{2}KL(p||\frac{p+q}{2})+\frac{1}{2}KL(q||\frac{p+q}{2})\\ & =\frac{1}{2}\int [p(x)log\frac{2p(x)}{p(x)+q(x)}+q(x)log\frac{2q(x)}{p(x)+q(x)}]dx\end{array}$$

1.2小总结

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一般数据来源为真实分布，算法拟合的为模型分布。

• $H(q)$衡量拟合数据的模型分布的随机程度，对于策略$\pi (a|s)$，一般希望其随机利于探索，则可在目标中添加${\max }_{\theta }H({\pi }_{\theta }(a|s))$即${\min }_{\theta }-H({\pi }_{\theta }(a|s))$
• $H(p,q)$与$KL(p,q)$主要区别是，当p为真实分布时，$H(p)$为常数，所以有$minKL(p,q)=minH(p,q)-H(p)\equiv minH(p,q)$。所以监督学习时，一般数据是真实分布，最小化KL散度等价于最小化交叉熵，可以算少一点。若要衡量两个模型分布的差异，则需要使用KL散度，如Knowledge Distillation，如TRPO中施加的约束，希望更新的Policy与之前的Poilcy差异不要太大$D_{KL}({\pi }_{\theta }(a|s)||{\pi }_{\bar{\theta }}(a|s))\le ϵ$
• JS散度是为了解决KL散度不对称性提出的一个指标。

二、 变分推断(Variational Inference)

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2.1背景

现在有一个可看作从真实分布$p$采样的数据集$D=\{x_1,x_2,...,x_N\}$，$x_i$表示第$i$个样本，label为$\{y_1,y_2,...,y_N\}$，先忽略分类的label，用模型参数$\theta$去拟合数据本身的概率密度$p(x)$

最大似然目标为：

$$\theta \leftarrow \underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\frac{1}{N}\sum _{i}log{p}_{\theta }(x_i)$$

假设数据有隐变量：$p(x)=\int p(x|z)p(z)dz$

$$\theta \leftarrow \underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\frac{1}{N}\sum _{i}log\int p_{\theta }(x_i|z)p(z)dz$$

由于关于隐变量的积分是intractable的，回顾一下EM算法：

$$\begin{array}{rl}logp(x_i)& =log\int p_{\theta }(x_i|z)p(z)dz\\ & =log\int p_{\theta }(x_i,z)dz\\ & =log\int p_{\theta }(x_i,z)\frac{q_i(z)}{q_i(z)}dz\\ & =log{E}_{z\sim q_i(z)}\left[\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{q_i(z)}\right](1)\\ & \ge E_{z\sim q_i(z)}\left[log\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{q_i(z)}\right](2)\\ & =\int q_i(z)log\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{q_i(z)}dz\\ & =\int q_i(z)[-log{q}_i(z)]dz+\int q_i(z)log{p}_{\theta }(x_i,z)dz\\ & =E_{z\sim q_i(z)}[log{p}_{\theta }(x_i,z)]+H(q_i)\end{array}$$

$(1)$到$(2)$使用了$logE[f]\ge E[logf]$，且等号成立条件为$\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{q_i(z)}=c$，且$\int q_i(z)dz=1,c$为常数，有

$$\begin{gathered} \int q_i(z)dz=\int \frac{p_{\theta }(x_i,z)}{c}dz=1 \\ \int p_{\theta }(x_i,z)dz=p_{\theta }(x_i)=c \\ {q}_i(z)=\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{c}=\frac{p_{\theta }(x_i,z)}{p_{\theta }(x_i)}=p_{\theta }(z|x_i) \end{gathered}$$

所以在EM算法中的最大似然目标变化如下：
$$\begin{array}{rl}\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i}log{p}_{\theta }(x_i)& =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i}log\int p_{\theta }(x_i,z)dz\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _i{E}_{z\sim p_{\theta }(z|x_i)}[log{p}_{\theta }(x_i,z)]\end{array}$$
(解释一下，由上面推导可知$log{p}_{\theta }(x_i)\ge E_{z\sim q_i(z)}[log{p}_{\theta }(x_i,z)]+H(q_i)$，而等号成立时有$q_i(z)=p_{\theta }(z|x_i)$，所以相当于优化下界，EM算法流程为：
输入观察数据$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_N)$，联合分布$p_{\theta }(x,z)$，条件分布$p_{\theta }(z|x)$，迭代次数$J$

1. 初始化参数${\theta }_0$
2. For j=1 to J 开始EM算法迭代：
   E-step：
   $$\begin{gathered} q_i(z_i)=p(z_i|x_i,{\theta }_j) \\ L(\theta ,{\theta }_j)=\sum _{i=1}^N\sum _{z\sim q_i(z)}{q}_i(z)log{p}_{\theta }(x_i,z) \end{gathered}$$
   M-step:
   $${\theta }_{j+1}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}L(\theta ,{\theta }_j)$$
3. 直到${\theta }^{j+1}$收敛，输出模型参数$\theta$

可参见刘建平的EM算法总结
算法是这样没有错，但细究一下，$p(z|x,\theta )$这个真实隐变量分布，如果不人为设定的话，应该如何计算呢？
这时候就需要变分推断通过迭代的方式，使$q(z|x)$迭代地近似$p(z|x)$这个分布了。因为数据复杂的时候，根本不清楚隐变量是什么情况呀，简单的时候可以假设每个样本$x_i$服从一个隐变量高斯分布$q_i(z)=N(u_i,{\sigma }_i)$，但复杂的时候，只能拟合隐变量的分布了。
总结：算法里已知的是观察数据，未知的是隐含变量$z$和模型参数$\theta$，在E步，我们所做的事情是固定模型参数的值${\theta }_j$，优化隐含数据的分布$p(z|x_i,{\theta }_j)$，而在M步，我们所做的事情是固定隐含数据分布，优化模型参数的值

2.2 Variational Inference

由上一节可知，对于每一个样本有：
$$logp(x_i)\ge E_{z\sim q_i(z)}[log{p}_{\theta }(x_i,z)]+H(q_i)$$

$$记L_i(p,q_i)=E_{z\sim q_i(z)}[log{p}_{\theta }(x_i,z)]+H(q_i)$$

先下结论：
$$logp(x_i)=L_i(p,q_i)+KL(q_i(z)||p(z|x_i))$$

然后证明：

$$\begin{array}{rl}KL(q_i(z)||p(z|x_i))& =\int q_i(z)log\frac{q_i(z)}{p(z|x_i)}dz\\ & =\int q_i(z)log{q}_i(z)dz-\int q_i(z)logp(z|x_i)dz\\ & =-H(q_i)-\int q_i(z)log\frac{p(x_i,z)}{p(x_i)}dz\\ & =-H(q_i)-E_{z\sim q_i(z)}logp(x_i,z)+\int q_i(z)logp(x_i)dz\\ & =-L_i(p,q_i)+logp(x_i)\end{array}$$

因此有：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{i}log{p}_{\theta }(x_i)\equiv \underset{\theta }{\mathrm{argmax}}L(p,q_i)同时\underset{q_i}{\mathrm{argmin}}KL(q_i||p(z|x_i))$$

对于每一个样本$x_i$（或一个batch）：
\quad 计算${\nabla }_{\theta }{L}_i(p,q_i)$：
\quad \quad 从简单分布$q_i(z)$中采样隐变量$z$
\quad \quad ${\nabla }_{\theta }{L}_i(p,q_i)\approx {\nabla }_{\theta }log{p}_{\theta }(x_i|z)$
\quad 参数更新：$\theta \leftarrow \theta +\alpha {\nabla }_{\theta }{L}_i(p,q_i)$
\quad 然后更新近似分布：$q_i\leftarrow \underset{q_i}{\mathrm{argmax}}{L}_i(p,q_i)$

那用来近似真实分布$p(z|x_i)$的$q_i$应该是什么比较好呢？

如果是高斯分布有，$z\sim N(u_i,{\sigma }_i)$，如果每个样本一个高斯分布，那就有$N\times (|u_i|+|{\sigma }_i|)$个参数，那可以选择GMM模型来拟合隐变量分布，即$N$个样本用$M<N$个高斯分布来拟合隐变量分布，嗯，这样需要按照经验来选择M，也可以。下面用神经网络为模型结构拟合高斯分布的参数吧～

我们需要建模的有$p_{\theta }(x|z),q_{\varphi }(z|x)$，用$\theta$代表隐变量下模型参数，用$\varphi$代表隐变量分布结构的参数
于是流程变为
对于每一个样本$x_i$（或一个batch）：
\quad 计算${\nabla }_{\theta }L(p_{\theta }(x_i|z),q_{\varphi }(z|x_i))$：
\quad \quad 从简单分布$q_{\varphi }(z|x_i)$中采样隐变量$z$
\quad \quad ${\nabla }_{\theta }L\approx {\nabla }_{\theta }log{p}_{\theta }(x_i|z)$
\quad 更新模型参数：$\theta \leftarrow \theta +\alpha {\nabla }_{\theta }L$
\quad 更新近似分布：$\varphi \leftarrow \varphi +\alpha {\nabla }_{\varphi }L$

${\nabla }_{\varphi }L$的计算方式有两种：

• Policy Gradient形式
  $${\nabla }_{\varphi }{L}_i=\underset{J(\varphi )}{E_{z\sim q_{\varphi }(z|x_i)}[log{p}_{\theta }(x_i|z)+logp(z)]}+H(q_{\varphi }(z|x_i))$$

$$记r(x_i,z)=log{p}_{\theta }(x_i|z)+logp(z)$$

所以采样估计期望有：
$$\nabla J(\varphi )\approx \frac{1}{M}\sum _j{\nabla }_{\varphi }log{q}_{\varphi }(z_j|x_i)r(x_i,z_j)$$
$\nabla H(q_{\varphi }(z|x_i))$可看作对高斯分布的熵求导，即

若$p(x)=\frac{1}{(2\pi {\sigma }^2{)}^{\frac{1}{2}}}exp\{-\frac{(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}\}$，则$H(p)=\frac{1}{2}(log2(\pi {\sigma }^2)+1)$，仅与方差相关。
$${\nabla }_{\varphi }{L}_i=\nabla J(\varphi )+\nabla H(q_{\varphi }(z|x_i))$$

（$q_{\varphi }(z|x)$拟合的是高斯分布的均值与方差，即$u_{\varphi },{\sigma }_{\varphi }$)

• Reparameterization trick

$$\begin{array}{rl}J(\varphi )& =E_{z\sim q_{\varphi }(z|x_i)}[r(x_i,z_j)]\\ & =E_{ϵ\sim N(0,1)}[r(x_i,u_{\varphi }(x_i)+ϵ{\sigma }_{\varphi }(x_i))]\end{array}$$
于是网络图如下：

目标函数为：

$$\underset{\theta ,\varphi }{\max }\frac{1}{N}\sum _i\log p_{\theta }\left(x_i|{\mu }_{\varphi }\left(x_i\right)+ϵ{\sigma }_{\varphi }\left(x_i\right)\right)-D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}\left(q_{\varphi }\left(z|x_i\right)\Vert p(z)\right)$$

这个就是Variational AutoEncoder，总体梳理可以参见CS236的总结文章中的VAE。

三、GAN

3.1 原始GAN

• GAN的优化目标如下：
  $$\underset{\theta }{\min }\underset{\varphi }{\max }V\left(G_{\theta },D_{\varphi }\right)={\mathbb{E}}_{\mathbf{x}\sim {\mathbf{p}}_{\text{data }}}\left[\log D_{\varphi }(\mathbf{x})\right]+{\mathbb{E}}_{\mathbf{z}\sim p(\mathbf{z})}\left[\log \left(1-D_{\varphi }\left(G_{\theta }(\mathbf{z})\right)\right)\right]$$

• 对于判别器D的优化目标：
  $$\begin{array}{rl}\underset{D}{\max }V(G,D)& =E_{x\sim p_{data}}[logD(x)]+E_{x\sim P_G}[1-logD(x)]\\ & =\int p_{data}(x)logD(x)+p_G(x)(1-logD(x))dx\end{array}$$

  固定G，优化D时，$E_{x\sim p_{data}}[logD(x)]$将属于$p_{data}$的样本$x$尽可能判为正例，将属于$p_G$的样本x尽可能判为负例。
  对$D$求导得最优判别器：
  $$D^{\ast }(x)=\frac{p_{data}(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}$$

  说明最优的判别器，对一个样本$x$，其属于G或者data的概率是一样的，则为$\frac{1}{2}$。
  代入生成器G的优化目标：
  $$\begin{array}{rl}\underset{G}{\min }V(G,D)& =E_{x\sim p_{data}}\left[log\frac{p_{data}(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}\right]+E_{x\sim P_G}[1-log\frac{p_{data}(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}]\\ & =E_{x\sim p_{data}}\left[log\frac{2p_{data}(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}\right]+E_{x\sim P_G}\left[log\frac{2p_{data}(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}\right]-2log2\\ & =2JS(p_{data}(x)||p_G(x))-2log2\end{array}$$

最优的生成器就是$p_G(x)=p_{data}(x)$即$JS(p_{data}(x)||p_G(x))=0$

所以训练流程为：

1. 从数据集$D$中采样m个样本$x^{(1)},x^{(2)}...,x^{(m)}$

2. 从隐变量先验分布$p(z)$中采样m个noises$z^{(1)},z^{(2)}...,z^{(m)}$

3. 更新生成器$G$参数：$${\nabla }_{\theta }V(G_{\theta },D_{\varphi })=\frac{1}{m}{\nabla }_{\theta }\sum _{i=1}^{m}log(1-D_{\varphi }(G_{\theta }(z^{(i)})))$$

4. 更新判别器$D$参数：$${\nabla }_{\varphi }V(G_{\theta },D_{\varphi })=\frac{1}{m}{\nabla }_{\varphi }\sum _{i=1}^m[log{D}_{\varphi }(x^{(i)})+log(1-D_{\varphi }(G_{\theta }(z^{(i)})))]$$

3.2 “-log D trick”的GAN

原始GAN在判别器D训练得比较好时，生成器G的优化目标变成：

$$\underset{G}{\min }V(G,D^{\ast })=2JS(p_{data}(x)||p_G(x))-2log2$$

当$p_{data}$与$p_G$重叠部分可忽略时，会出现JS散度为常数，导致训练过程中的梯度消失现象。

于是把G的优化目标魔改一下：

$$\underset{G}{\min }V(G,D)=\underset{G}{\min }{E}_{x\sim P_G(x)}[log(1-D(x))]\to \underset{G}{\min }{E}_{x\sim P_G(x)}[-logD(x)]$$

写得详细点的话如下：
$$\underset{G}{\min }V(G,D)=\underset{G}{\min }{E}_{z\sim p(z)}[log(1-D_{\varphi }(G_{\theta }(z)))]\to \underset{G}{\min }{E}_{z\sim p(z)}[-log{D}_{\varphi }(G_{\theta }(z))]$$

固定$D$，调整$\theta$，使得生成出来的样本$x=G_{\theta }(z)$，让优化目标$E_{z\sim p(z)}[-log{D}_{\varphi }(G_{\theta }(z))]$更小，即让$-logD(x)$更小，$D(x)$更大，从而直观上使得G生成的样本尽可能让D判别为正例。

我们已知：

$$\begin{array}{r}{E}_{x\sim p_{data}}[log{D}^{\ast }(x)]+E_{x\sim p_G(x)}[log(1-D^{\ast }(x))]=2JS(p_{data}(x)||p_G(x))-2log2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}KL(p_G||p_{data})& =E_{x\sim p_G}\left[log\frac{p_G(x)}{p_{data}(x)}\right]\\ & =E_{x\sim p_G}\left[log\frac{\frac{p_G(x)}{p_G(x)+p_{data}(x)}}{\frac{p_{data}(x)}{p_{data}(x)+p_G(x)}}\right]\\ & =E_{x\sim p_G}\left[log\frac{1-D^{\ast }(x)}{D^{\ast }(x)}\right]\\ & =E_{x\sim p_G}[log(1-D^{\ast }(x))]+E_{x\sim p_G}[-log{D}^{\ast }(x)]\end{array}$$

所以更换G的目标函数后有：
$$\begin{array}{rl}\underset{G}{\min }V(G,D^{\ast })& =\underset{G}{\min }{E}_{x\sim p_G}[-log{D}^{\ast }(x)]\\ & =\underset{G}{\min }KL(p_G||p_{data})-E_{x\sim p_G}[log(1-D^{\ast }(x))]\\ & =\underset{G}{\min }KL(p_G||p_{data})-[2JS(p_{data}(x)||p_G(x))-2log2-E_{x\sim p_{data}}[log{D}^{\ast }(x)\left]\right]\\ & \equiv \underset{G}{\min }KL(p_G||p_{data})-2JS(p_{data}(x)||p_G(x))（最后两项与G无关）\end{array}$$

于是对于第二种目标函数，在D比较优的情况下：

1. 第一项最小化$KL(p_G||p_{data})$将生成器G拉近$p_{data}$
2. 第二项最小化$-JS(p_{data}(x)||p_G(x))$将生成器G推远$p_{data}$

所以这种情况下会出现梯度不稳定，而且

1. 对于一个G生成的样本$x$而言，当$p_G(x)\to 0,p_{data}(x)\to 1$时，$KL(p_G||p_{data})\to 0$。说明明明G生成了一个很接近真实分布的$x$，但是当前G还很差，使得$p_G(x)$接近0，此时这个目标函数竟然接近0！这对G的参数$\theta$几乎没改变。概括为“该优化目标会使得G没能生成真实样本”。
2. 对于一个G生成的样本$x$而言，当$p_G(x)\to 1,p_{data}(x)\to 0$时，$KL(p_G||p_{data})\to +\infty$。说明此时G生成了一个很符合自身的样本$x$，但几乎不可能属于真实分布$p_{data}$，然而目标函数很大！概括为“该优化目标使得G生成了不真实的样本”

所以这种情况下会出现多样性不足即mode collapse的问题。

具体参考郑华滨的知乎文章

小结

上面是两种最原始的GAN，最核心的思想是G与D的对抗性训练，使G具备生成众多样本的特性。

这种对抗性训练也是IRL中的核心思想。

由最原始GAN的问题，由此衍生了一系列GAN的变种以及训练技巧，具体可参见下两个资料。

GAN Zoo Github
Tricks To Train GAN