直观理解P问题，NP问题，NP-hard问题，NP-Complete问题

P和NP问题

首先，他们都是对算法问题的复杂程度进行归类的。也就是比较时间复杂度。直观理解，目的在于评价问题的难度。哪些比哪些更难？

首先我们先要定义什么是难，什么是简单？

时间复杂度：随着输入规模（n）变大，所需要的操作数的增速。
如O(n^2)表示随输入规模，所需要的操作数平方地增长。其中O表示这个算法的时间复杂度不高于某某（也就是最差不会差于）
假如O里面是一个多项式，比如
$a_0+a_1{n}^1+a_2{n}^2+...$
就称复杂度是多项式时间的。假如某个问题存在多项式时间内求解的算法，就认为这个算法是简单的。

P（polynomial）问题：可在多项式时间求解的问题。

NP（Non-determinisc Polynomial）问题：可在多项式时间内验证的问题。

NP问题的回答只是YES or NO，就是给定一个解，判断是不是对的。

字面理解的话，Non-determinisc的意思就是非确定性的，也就是不是给出一个确定的解，而只是验证解。

首先，P问题肯定要比NP问题简单，因为既然已经得到了解，那么很容易就能验证那个解了。此外，所有的P问题都是NP问题，即P问题包含于NP问题。

但是NP问题不一定是P问题。N==NP?是世界七大难题之一。

NP-hard和NP-complete问题

在某次研讨会上，有位数学家大佬给出了一堆证明，证明了所有的NP问题都可以在多项式时间内转化为某一个问题。

NP-hard问题：存在某个问题，所有的NP问题都可以在多项式时间内转化为该问题，这个问题被称为NP-hard问题。

为什么叫NP-hard呢？因为假如所有NP问题都能转化为该问题，那么当该问题得到解决以后，所有的NP问题都被解决了。但是目前就人类的水平来说，仍然存在着许多不能解决的NP问题。有人就猜测，它们之所以不能被解决的原因，正是由于这个NP-hard问题是难的，所以其他问题才没法解决。也就是说，NP-hard比其他所有NP问题都难，或者至少一样难。（直观的理解，NP-hard这个问题是所有NP问题的难点所在。）

但是应该指出，NP-hard问题本身不一定是NP问题。所以就引出了NP完全问题。

NP完全问题（NP-Complete）：存在某个NP问题，所有的NP问题都可以在多项式时间内转化为该问题，这个问题被称为NP完全问题。

所以NP完全问题只是比NP-hard多了一个条件，即它自己也得是NP问题。

他们的包含关系大致是这样的（不一定正确）：