基于密度的聚类算法（3）——DPC详解
基于密度的聚类算法（1）——DBSCAN详解
基于密度的聚类算法（2）——OPTICS详解
基于密度的聚类算法（3）——DPC详解
1. DPC简介
2014年，一种新的基于密度的聚类算法被提出，且其论文发表Science上，引起了超级高的关注，直至今日也是一种较新的聚类算法。相比于经典的Kmeans聚类算法，其无需预先确定聚类数目，全称为基于快速搜索和发现密度峰值的聚类算法(clustering by fast search and find of density peaks, DPC)。DPC在论文中的数据聚类结果非常优秀，但也有人认为DPC只适用于某些数据类型，并非所有情况下效果都好。
论文链接：https://www.science.org/doi/abs/10.1126/science.1242072；
官网链接：https://people.sissa.it/~laio/Research/Res_clustering.php；包含源代码程序及相关数据。
此外，还有一些基于DPC的改进算法被提出。可参见相关的论文。
该算法基于两个基本假设：
1）簇中心（密度峰值点）的局部密度大于围绕它的邻居的局部密度；
2）不同簇中心之间的距离相对较远。为了找到同时满足这两个条件的簇中心，该算法引入了局部密度的定义。
DPC的优缺点分析如下：
优点：1）对数据分布要求不高，尤其对于非球形簇；2）原理简单，功能强大；
缺点：1）二次时间复杂度，效率低，大数据集不友好；2）不适合高维；3）截断距离超参的选择。
2. DPC算法流程及matlab实现
在官方网站下载相应的数据及代码后，可直接在matlab里运行。
此外，运行过程中需要2个操作，得到最终的聚类结果。1）输入数据文件名：example_distances.dat；2）得到决策图之后选中偏右上角的几个点（说明其值较大，也是此次聚类的中心点），即可得到最终的聚类结果，代码及结果图如下：
clear all
close all
disp('The only input needed is a distance matrix file')
disp('The format of this file should be: ')
disp('Column 1: id of element i')
disp('Column 2: id of element j')
disp('Column 3: dist(i,j)')
%% 从文件中读取数据
mdist=input('name of the distance matrix file\n','s');
disp('Reading input distance matrix')
xx=load(mdist);
ND=max(xx(:,2));
NL=max(xx(:,1));
if (NL>ND)
ND=NL; %% 确保 DN 取为第一二列最大值中的较大者，并将其作为数据点总数
end
N=size(xx,1); %% xx 第一个维度的长度，相当于文件的行数（即距离的总个数）
%% 初始化为零
for i=1:ND
for j=1:ND
dist(i,j)=0;
end
end
%% 利用 xx 为 dist 数组赋值，注意输入只存了 0.5*DN(DN-1) 个值，这里将其补成了满矩阵
%% 这里不考虑对角线元素
for i=1:N
ii=xx(i,1);
jj=xx(i,2);
dist(ii,jj)=xx(i,3);
dist(jj,ii)=xx(i,3);
end
%% 确定 dc
percent=2.0;
fprintf('average percentage of neighbours (hard coded): %5.6f\n', percent);
position=round(N*percent/100); %% round 是一个四舍五入函数
sda=sort(xx(:,3)); %% 对所有距离值作升序排列
dc=sda(position);
%% 计算局部密度 rho (利用 Gaussian 核)
fprintf('Computing Rho with gaussian kernel of radius: %12.6f\n', dc);
%% 将每个数据点的 rho 值初始化为零
for i=1:ND
rho(i)=0.;
end
% Gaussian kernel
for i=1:ND-1
for j=i+1:ND
rho(i)=rho(i)+exp(-(dist(i,j)/dc)*(dist(i,j)/dc));
rho(j)=rho(j)+exp(-(dist(i,j)/dc)*(dist(i,j)/dc));
end
end
%
% "Cut off" kernel
%
%for i=1:ND-1
% for j=i+1:ND
% if (dist(i,j)<dc)
% rho(i)=rho(i)+1.;
% rho(j)=rho(j)+1.;
% end
% end
%end
%% 先求矩阵列最大值，再求最大值，最后得到所有距离值中的最大值
maxd=max(max(dist));
%% 将 rho 按降序排列，ordrho 保持序
[rho_sorted,ordrho]=sort(rho,'descend');
%% 处理 rho 值最大的数据点
delta(ordrho(1))=-1.;
nneigh(ordrho(1))=0;
%% 生成 delta 和 nneigh 数组
for ii=2:ND
delta(ordrho(ii))=maxd;
for jj=1:ii-1
if(dist(ordrho(ii),ordrho(jj))<delta(ordrho(ii)))
delta(ordrho(ii))=dist(ordrho(ii),ordrho(jj));
nneigh(ordrho(ii))=ordrho(jj);
% 记录 rho 值更大的数据点中与 ordrho(ii) 距离最近的点的编号 ordrho(jj)
end
end
end
%% 生成 rho 值最大数据点的 delta 值
delta(ordrho(1))=max(delta(:));
%% 决策图
disp('Generated file:DECISION GRAPH')
disp('column 1:Density')
disp('column 2:Delta')
fid = fopen('DECISION_GRAPH', 'w');
for i=1:ND
fprintf(fid, '%6.2f %6.2f\n', rho(i),delta(i));
end
%% 选择一个围住类中心的矩形
disp('Select a rectangle enclosing cluster centers')
%% 每台计算机，句柄的根对象只有一个，就是屏幕，它的句柄总是 0
%% >> scrsz = get(0,'ScreenSize')
%% scrsz =
%% 1 1 1280 800
%% 1280 和 800 就是你设置的计算机的分辨率，scrsz(4) 就是 800，scrsz(3) 就是 1280
scrsz = get(0,'ScreenSize');
%% 人为指定一个位置
figure('Position',[6 72 scrsz(3)/4. scrsz(4)/1.3]);
%% ind 和 gamma 在后面并没有用到
for i=1:ND
ind(i)=i;
gamma(i)=rho(i)*delta(i);
end
%% 利用 rho 和 delta 画出一个所谓的“决策图”
subplot(2,1,1)
tt=plot(rho(:),delta(:),'o','MarkerSize',5,'MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k');
title ('Decision Graph','FontSize',15.0)
xlabel ('\rho')
ylabel ('\delta')
fig=subplot(2,1,1);
rect = getrect(fig);
%% getrect 从图中用鼠标截取一个矩形区域， rect 中存放的是
%% 矩形左下角的坐标 (x,y) 以及所截矩形的宽度和高度
rhomin=rect(1);
deltamin=rect(2); %% 作者承认这是个 error，已由 4 改为 2 了!
%% 初始化 cluster 个数
NCLUST=0;
%% cl 为归属标志数组，cl(i)=j 表示第 i 号数据点归属于第 j 个 cluster
%% 先统一将 cl 初始化为 -1
for i=1:ND
cl(i)=-1;
end
%% 在矩形区域内统计数据点（即聚类中心）的个数
for i=1:ND
if ( (rho(i)>rhomin) && (delta(i)>deltamin))
NCLUST=NCLUST+1;
cl(i)=NCLUST; %% 第 i 号数据点属于第 NCLUST 个 cluster
icl(NCLUST)=i; %% 逆映射,第 NCLUST 个 cluster 的中心为第 i 号数据点
end
end
fprintf('NUMBER OF CLUSTERS: %i \n', NCLUST);
disp('Performing assignation')
%assignation
%% 将其他数据点归类 (assignation)
for i=1:ND
if (cl(ordrho(i))==-1)
cl(ordrho(i))=cl(nneigh(ordrho(i)));
end
end
%halo
%% 由于是按照 rho 值从大到小的顺序遍历,循环结束后, cl 应该都变成正的值了.
%% 处理光晕点，halo这段代码应该移到 if (NCLUST>1) 内去比较好吧
for i=1:ND
halo(i)=cl(i);
end
if (NCLUST>1)
% 初始化数组 bord_rho 为 0,每个 cluster 定义一个 bord_rho 值
for i=1:NCLUST
bord_rho(i)=0.;
end
% 获取每一个 cluster 中平均密度的一个界 bord_rho
for i=1:ND-1
for j=i+1:ND
%% 距离足够小但不属于同一个 cluster 的 i 和 j
if ((cl(i)~=cl(j))&& (dist(i,j)<=dc))
rho_aver=(rho(i)+rho(j))/2.; %% 取 i,j 两点的平均局部密度
if (rho_aver>bord_rho(cl(i)))
bord_rho(cl(i))=rho_aver;
end
if (rho_aver>bord_rho(cl(j)))
bord_rho(cl(j))=rho_aver;
end
end
end
end
%% halo 值为 0 表示为 outlier
for i=1:ND
if (rho(i)<bord_rho(cl(i)))
halo(i)=0;
end
end
end
%% 逐一处理每个 cluster
for i=1:NCLUST
nc=0; %% 用于累计当前 cluster 中数据点的个数
nh=0; %% 用于累计当前 cluster 中核心数据点的个数
for j=1:ND
if (cl(j)==i)
nc=nc+1;
end
if (halo(j)==i)
nh=nh+1;
end
end
fprintf('CLUSTER: %i CENTER: %i ELEMENTS: %i CORE: %i HALO: %i \n', i,icl(i),nc,nh,nc-nh);
end
cmap=colormap;
for i=1:NCLUST
ic=int8((i*64.)/(NCLUST*1.));
subplot(2,1,1)
hold on
plot(rho(icl(i)),delta(icl(i)),'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
end
subplot(2,1,2)
disp('Performing 2D nonclassical multidimensional scaling')
Y1 = mdscale(dist, 2, 'criterion','metricstress');
plot(Y1(:,1),Y1(:,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k');
title ('2D Nonclassical multidimensional scaling','FontSize',15.0)
xlabel ('X')
ylabel ('Y')
for i=1:ND
A(i,1)=0.;
A(i,2)=0.;
end
for i=1:NCLUST
nn=0;
ic=int8((i*64.)/(NCLUST*1.));
for j=1:ND
if (halo(j)==i)
nn=nn+1;
A(nn,1)=Y1(j,1);
A(nn,2)=Y1(j,2);
end
end
hold on
plot(A(1:nn,1),A(1:nn,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
end
%for i=1:ND
% if (halo(i)>0)
% ic=int8((halo(i)*64.)/(NCLUST*1.));
% hold on
% plot(Y1(i,1),Y1(i,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
% end
%end
faa = fopen('CLUSTER_ASSIGNATION', 'w');
disp('Generated file:CLUSTER_ASSIGNATION')
disp('column 1:element id')
disp('column 2:cluster assignation without halo control')
disp('column 3:cluster assignation with halo control')
for i=1:ND
fprintf(faa, '%i %i %i\n',i,cl(i),halo(i));
end
图中看以看出，根据决策图中选中的5个点，聚类结果为5类（黑色的噪声点，不包含在聚类的结果中）。
另外需要注意的一点是，上述程序的输入数据是原始二维数据之间的距离，而不是原始数据，因此可将原始数据处理成相应的距离数据，即可直接利用上述程序。
当然也可以通过修改代码，直接输入原始数据得到聚类结果。代码如下：
clear all
close all
%% 从文件中读取数据
data_load=dlmread('gauss_data.txt');
[num,dim]=size(data_load); %数据最后一列是类标签
data=data_load(:,1:dim-1); %去掉标签的数据
mdist=pdist(data); %两两行之间距离
A=tril(ones(num))-eye(num);
[x,y]=find(A~=0);
% Column 1: id of element i, Column 2: id of element j', Column 3: dist(i,j)'
xx=[x y mdist'];
ND=max(xx(:,2));
NL=max(xx(:,1));
if (NL>ND)
ND=NL; %% 确保 DN 取为第一二列最大值中的较大者，并将其作为数据点总数
end
N=size(xx,1); %% xx 第一个维度的长度，相当于文件的行数（即距离的总个数）
%% 初始化为零
for i=1:ND
for j=1:ND
dist(i,j)=0;
end
end
%% 利用 xx 为 dist 数组赋值，注意输入只存了 0.5*DN(DN-1) 个值，这里将其补成了满矩阵
%% 这里不考虑对角线元素
for i=1:N
ii=xx(i,1);
jj=xx(i,2);
dist(ii,jj)=xx(i,3);
dist(jj,ii)=xx(i,3);
end
%% 确定 dc
percent=2.0;
fprintf('average percentage of neighbours (hard coded): %5.6f\n', percent);
position=round(N*percent/100); %% round 是一个四舍五入函数
sda=sort(xx(:,3)); %% 对所有距离值作升序排列
dc=sda(position);
%% 计算局部密度 rho (利用 Gaussian 核)
fprintf('Computing Rho with gaussian kernel of radius: %12.6f\n', dc);
%% 将每个数据点的 rho 值初始化为零
for i=1:ND
rho(i)=0.;
end
% Gaussian kernel
for i=1:ND-1
for j=i+1:ND
rho(i)=rho(i)+exp(-(dist(i,j)/dc)*(dist(i,j)/dc));
rho(j)=rho(j)+exp(-(dist(i,j)/dc)*(dist(i,j)/dc));
end
end
%
% "Cut off" kernel
%
%for i=1:ND-1
% for j=i+1:ND
% if (dist(i,j)<dc)
% rho(i)=rho(i)+1.;
% rho(j)=rho(j)+1.;
% end
% end
%end
%% 先求矩阵列最大值，再求最大值，最后得到所有距离值中的最大值
maxd=max(max(dist));
%% 将 rho 按降序排列，ordrho 保持序
[rho_sorted,ordrho]=sort(rho,'descend');
%% 处理 rho 值最大的数据点
delta(ordrho(1))=-1.;
nneigh(ordrho(1))=0;
%% 生成 delta 和 nneigh 数组
for ii=2:ND
delta(ordrho(ii))=maxd;
for jj=1:ii-1
if(dist(ordrho(ii),ordrho(jj))<delta(ordrho(ii)))
delta(ordrho(ii))=dist(ordrho(ii),ordrho(jj));
nneigh(ordrho(ii))=ordrho(jj);
% 记录 rho 值更大的数据点中与 ordrho(ii) 距离最近的点的编号 ordrho(jj)
end
end
end
%% 生成 rho 值最大数据点的 delta 值
delta(ordrho(1))=max(delta(:));
%% 决策图
disp('Generated file:DECISION GRAPH')
disp('column 1:Density')
disp('column 2:Delta')
fid = fopen('DECISION_GRAPH', 'w');
for i=1:ND
fprintf(fid, '%6.2f %6.2f\n', rho(i),delta(i));
end
%% 选择一个围住类中心的矩形
disp('Select a rectangle enclosing cluster centers')
%% 每台计算机，句柄的根对象只有一个，就是屏幕，它的句柄总是 0
%% >> scrsz = get(0,'ScreenSize')
%% scrsz =
%% 1 1 1280 800
%% 1280 和 800 就是你设置的计算机的分辨率，scrsz(4) 就是 800，scrsz(3) 就是 1280
scrsz = get(0,'ScreenSize');
%% 人为指定一个位置
figure('Position',[6 72 scrsz(3)/4. scrsz(4)/1.3]);
%% ind 和 gamma 在后面并没有用到
for i=1:ND
ind(i)=i;
gamma(i)=rho(i)*delta(i);
end
%% 利用 rho 和 delta 画出一个所谓的“决策图”
subplot(2,1,1)
tt=plot(rho(:),delta(:),'o','MarkerSize',5,'MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k');
title ('Decision Graph','FontSize',15.0)
xlabel ('\rho')
ylabel ('\delta')
fig=subplot(2,1,1);
rect = getrect(fig);
%% getrect 从图中用鼠标截取一个矩形区域， rect 中存放的是
%% 矩形左下角的坐标 (x,y) 以及所截矩形的宽度和高度
rhomin=rect(1);
deltamin=rect(2); %% 作者承认这是个 error，已由 4 改为 2 了!
%% 初始化 cluster 个数
NCLUST=0;
%% cl 为归属标志数组，cl(i)=j 表示第 i 号数据点归属于第 j 个 cluster
%% 先统一将 cl 初始化为 -1
for i=1:ND
cl(i)=-1;
end
%% 在矩形区域内统计数据点（即聚类中心）的个数
for i=1:ND
if ( (rho(i)>rhomin) && (delta(i)>deltamin))
NCLUST=NCLUST+1;
cl(i)=NCLUST; %% 第 i 号数据点属于第 NCLUST 个 cluster
icl(NCLUST)=i; %% 逆映射,第 NCLUST 个 cluster 的中心为第 i 号数据点
end
end
fprintf('NUMBER OF CLUSTERS: %i \n', NCLUST);
disp('Performing assignation')
%assignation
%% 将其他数据点归类 (assignation)
for i=1:ND
if (cl(ordrho(i))==-1)
cl(ordrho(i))=cl(nneigh(ordrho(i)));
end
end
%halo
%% 由于是按照 rho 值从大到小的顺序遍历,循环结束后, cl 应该都变成正的值了.
%% 处理光晕点，halo这段代码应该移到 if (NCLUST>1) 内去比较好吧
for i=1:ND
halo(i)=cl(i);
end
if (NCLUST>1)
% 初始化数组 bord_rho 为 0,每个 cluster 定义一个 bord_rho 值
for i=1:NCLUST
bord_rho(i)=0.;
end
% 获取每一个 cluster 中平均密度的一个界 bord_rho
for i=1:ND-1
for j=i+1:ND
%% 距离足够小但不属于同一个 cluster 的 i 和 j
if ((cl(i)~=cl(j))&& (dist(i,j)<=dc))
rho_aver=(rho(i)+rho(j))/2.; %% 取 i,j 两点的平均局部密度
if (rho_aver>bord_rho(cl(i)))
bord_rho(cl(i))=rho_aver;
end
if (rho_aver>bord_rho(cl(j)))
bord_rho(cl(j))=rho_aver;
end
end
end
end
%% halo 值为 0 表示为 outlier
for i=1:ND
if (rho(i)<bord_rho(cl(i)))
halo(i)=0;
end
end
end
%% 逐一处理每个 cluster
for i=1:NCLUST
nc=0; %% 用于累计当前 cluster 中数据点的个数
nh=0; %% 用于累计当前 cluster 中核心数据点的个数
for j=1:ND
if (cl(j)==i)
nc=nc+1;
end
if (halo(j)==i)
nh=nh+1;
end
end
fprintf('CLUSTER: %i CENTER: %i ELEMENTS: %i CORE: %i HALO: %i \n', i,icl(i),nc,nh,nc-nh);
end
cmap=colormap;
for i=1:NCLUST
ic=int8((i*64.)/(NCLUST*1.));
subplot(2,1,1)
hold on
plot(rho(icl(i)),delta(icl(i)),'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
end
subplot(2,1,2)
disp('Performing 2D nonclassical multidimensional scaling')
Y1 = mdscale(dist, 2, 'criterion','metricstress');
plot(Y1(:,1),Y1(:,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','k','MarkerEdgeColor','k');
title ('2D Nonclassical multidimensional scaling','FontSize',15.0)
xlabel ('X')
ylabel ('Y')
for i=1:ND
A(i,1)=0.;
A(i,2)=0.;
end
for i=1:NCLUST
nn=0;
ic=int8((i*64.)/(NCLUST*1.));
for j=1:ND
if (halo(j)==i)
nn=nn+1;
A(nn,1)=Y1(j,1);
A(nn,2)=Y1(j,2);
end
end
hold on
plot(A(1:nn,1),A(1:nn,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
end
%for i=1:ND
% if (halo(i)>0)
% ic=int8((halo(i)*64.)/(NCLUST*1.));
% hold on
% plot(Y1(i,1),Y1(i,2),'o','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor',cmap(ic,:),'MarkerEdgeColor',cmap(ic,:));
% end
%end
faa = fopen('CLUSTER_ASSIGNATION', 'w');
disp('Generated file:CLUSTER_ASSIGNATION')
disp('column 1:element id')
disp('column 2:cluster assignation without halo control')
disp('column 3:cluster assignation with halo control')
for i=1:ND
fprintf(faa, '%i %i %i\n',i,cl(i),halo(i));
end
还有一点需要注意的就是，DPC聚类得到的结果图不是原始数据的聚类结果图（看坐标值可以看出来），而是以一种表示方式展示聚类的结果。可以根据聚类得到的数据（分好类的数据）以及聚类中心绘制原始数据聚类结果图，用分好类的数据直接plot即可。
3 总结
DPC作为一种较新的基于密度的聚类算法，得到了广泛的应用，但同时也有人认为DPC只适用于某些数据类型，并非所有情况下效果都好。因此，选择何种聚类算法，还需要根据自己的数据特点及需求，不能盲目选择。