多项式的拟合与插值例题_矩阵与数值计算（12）——Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值...
前言
接下来的主要内容是与插值逼近相关的内容。科学计算中的许多问题需要计算函数
插值方法是数值分析中一个简单而又重要的方法，利用该方法可以通过函数在有限点处的函数值求出其近似函数，进而夫算出函数在其他点处的值。插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要作用。
下面我们先介绍插值的基本定义和插值格式，再介绍三种多项式插值方法，分别是Lagrange（拉格朗日）插值、Newton（牛顿）插值和Hermite插值。
一、引言
问题描述，面对给定的点和相关函数的信息，我们要估计未给出点的函数值，就需要使用到插值方法，
从几何上来理解，如下图所示
p(x)是我们计算出来的对f(x)的拟合函数，并且穿过给定的数据对
基本的思想：
- 简单函数类基底需要满足的条件
- 给出具体的基底
- 给出系数
当我们看到
但是我们都知道，线性方程组不一定有解，需要满足一定的条件，这个条件定义如下，
我们称这个条件为解的存在的Haar条件。
接下来我们就可以定义插值基函数，
上面的假设可以这样理解，插值基函数再我们此时的定义中是未知的，是这样一种假设的形式，我们希望对于每一个已知点
二、Lagrange插值
我们之前已经得到了插值基函数的基本形式，接下来的问题就是解决如何求解
多项式函数显然满足Haar条件，这样我们就可以利用插值的方法来解决问题，并且解是唯一的。
正如上面所说的，我们完全可以利用线性方程组来求解系数，但是非常困难，涉及很复杂的矩阵分解。这里我们就提出了Largange插值和Newton插值来求解这些系数。
那么我们先介绍Largange插值方法。
构造
由于
下面我们看一道例题来理解一下，
Lagrange插值法计算起来非常的简单便捷，很快我们就能得到问题的精确解，但是我们也发现一个问题。
在插值问题中，为了提⾼插值精度，有时需增加插值节点个数。插值节点个数发⽣变化后，所有的Lagrange插值基函数都会发⽣变化，从⽽整个Lagrange插值多项式的结构发⽣变化，这在计算实践中是不⽅便的。
那么这种问题如何改进和解决呢？
三、Newton插值法
为了克服Lagrange插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，即可以充分利用已有的信息，我们引进Newton插值公式。
查找了一些资料，没有找到非常易懂的从Lagrange到Newton的推导过程，只能自己自力更生，那么这里给出我自己的推导，以供大家深入理解Newton法。
商差是为了便于Newton插值的计算和表达引入的概念，便于我们迭代求解。我们给出商差的严格定义，
他有下面几种性质
第三个性质经常会在题目中出现，作为填空和选择题出现。
实际上，至此为止Newton法的基本形式和求解方式已经介绍完毕，我们可以看到实际上Newton插值和Lagrange插值完全是相同的，只是表达形式不同而已。
还是通过两道例题观察一下
这道例题使用到了商差性质3。
考试中可以直接使用均差表来进行计算，Newton插值表达形式。
插值余项
得到Lagrange何Newton插值的求解方法，如何来衡量插值的结果的优劣程度，需要一个指标，我们引入插值余项，来衡量插值与实际真实值之间的差距。
Lagrange与Newton法使用的都是非导数信息，求解插值表达式，如果给出一些一阶导的条件如何去求出插值表达式呢？
四、Hermite插值
理论和应用中，提出的某些插值问题，要求插值函数
那么我们定义问题，如下所示
要构造满足上述插值条件的插值公式，借鉴的是Lagrange插值公式。
给出构造方法如下所示
当
我们来看两道例题帮助我们观察如何构造Hermite插值多项式。
下面看一个重点要求掌握的，二点三次Hermite插值多项式的构造。
对于二点三次Hermite插值多项式四个系数的推导可以不掌握，但是需要记忆四个系数的求解公式，考试中会考察二点三次Hermite插值的构造。
应该有不少同学有和我一样的疑问，为什么二点Hermite插值结果是三次呢？这个就需要我们重新审视假设条件
假设有这样一个情况
下面简单给出二点三次Hermite的插值余项，
总结
综上我们介绍了多项式插值的基本内容，后续会介绍逼近相关内容。