深度学习softmax与多层感知机分类模型

softmax

简单的分类问题

一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。图像中的4像素分别记为$x_1,x_2,x_3,x_4$。真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为$y_1,y_2,y_3$。我们通常使用离散的数值来表示类别。例如$y_1=1,y_2=2,y_3=3$.。

神经网络图

下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出的$o_1,o_2,o_3$计算都要依赖于所有的输入$x_1,x_2,x_3,x_4$，softmax回归的输出层也是一个全连接层。

权重矢量

$o_1=x_1{w}_{11}+x_2{w}_{21}+x_3{w}_{31}+x_4{w}_{41}+b_1$
$o_2=x_1{w}_{12}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{32}+x_4{w}_{42}+b_2$
$o_3=x_1{w}_{13}+x_2{w}_{23}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{43}+b_3$

既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值$o_i$当作预测类别是$i$的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出，即输出$argmax{o}_i$ 。例如$o_1,o_2,o_3$，如果分别为$0.1,10,0.1$，由于$o_2$最大，那么预测类别为2，其代表猫。
softmax运算符（softmax operator）通过下式将输出值变换成值为正且和为1的概率分布
$y_1^{predict},y_2^{predict},y_3^{predict}=softmax(o_1,o_2,o_3,o4)$
其中
$y_1^{predict}$$=\frac{exp(o_1)}{{\sum }_{i=1}^{3}exp(o_i)}$,
$y_2^{predict}$$=\frac{exp(o_2)}{{\sum }_{i=1}^{3}exp(o_i)}$,
$y_3^{predict}$$=\frac{exp(o_3)}{{\sum }_{i=1}^{3}exp(o_i)}$,
因此softmax运算不改变预测类别输出。

单样本矢量计算表达式

为了提高计算效率，我们可以将单样本分类通过矢量计算来表达。在上面的图像分类问题中，假设softmax回归的权重和偏差参数分别为

设高和宽分别为2个像素的图像样本的特征为

输出层的输出为

预测为狗、猫或鸡的概率分布为

softmax回归对样本$i$分类的矢量计算表达式为

小批量矢量计算表达式

为了进一步提升计算效率，我们通常对小批量数据做矢量计算。广义上讲，给定一个小批量样本，其批量大小为$n$，输入个数（特征数）为$d$，输出个数（类别数）为$q$。softmax回归的矢量计算表达式为

交叉熵损失函数

模型训练和预测

在训练好softmax回归模型后，给定任一样本特征，就可以预测每个输出类别的概率。通常，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别（标签）一致，说明这次预测是正确的。在3.6节的实验中，我们将使用准确率（accuracy）来评价模型的表现。它等于正确预测数量与总预测数量之比。

获取Fashion-MNIST训练集和读取数据

在介绍softmax回归的实现前我们先引入一个多类图像分类数据集。它将在后面的章节中被多次使用，以方便我们观察比较算法之间在模型精度和计算效率上的区别。图像分类数据集中最常用的是手写数字识别数据集MNIST[1]。但大部分模型在MNIST上的分类精度都超过了95%。为了更直观地观察算法之间的差异，我们将使用一个图像内容更加复杂的数据集Fashion-MNIST[2]。

我这里我们会使用torchvision包，它是服务于PyTorch深度学习框架的，主要用来构建计算机视觉模型。torchvision主要由以下几部分构成：
torchvision.datasets: 一些加载数据的函数及常用的数据集接口；
torchvision.models: 包含常用的模型结构（含预训练模型），例如AlexNet、VGG、ResNet等；
torchvision.transforms: 常用的图片变换，例如裁剪、旋转等；
torchvision.utils: 其他的一些有用的方法。

get dataset

mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/FashionMNIST2065', train=True, download=True, transform=transforms.ToTensor())
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/FashionMNIST2065', train=False, download=True, transform=transforms.ToTensor())

root（string）– 数据集的根目录，其中存放processed/training.pt和processed/test.pt文件。
train（bool, 可选）– 如果设置为True，从training.pt创建数据集，否则从test.pt创建。
download（bool, 可选）– 如果设置为True，从互联网下载数据并放到root文件夹下。如果root目录下已经存在数据，不会再次下载。
transform（可被调用 , 可选）– 一种函数或变换，输入PIL图片，返回变换之后的数据。如：transforms.RandomCrop。
target_transform（可被调用 , 可选）– 一种函数或变换，输入目标，进行变换。

def get_fashion_mnist_labels(labels):
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

def show_fashion_mnist(images, labels):
    d2l.use_svg_display()
    # 这里的_表示我们忽略（不使用）的变量
    _, figs = plt.subplots(1, len(images), figsize=(12, 12))
    for f, img, lbl in zip(figs, images, labels):
        f.imshow(img.view((28, 28)).numpy())
        f.set_title(lbl)
        f.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        f.axes.get_yaxis().set_visible(False)
    plt.show()

X, y = [], []
for i in range(10):
    X.append(mnist_train[i][0]) # 将第i个feature加到X中
    y.append(mnist_train[i][1]) # 将第i个label加到y中
show_fashion_mnist(X, get_fashion_mnist_labels(y))

读取数据

batch_size = 256
num_workers = 4
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(mnist_train, batch_size=batch_size, shuffle=True, num_workers=num_workers)
test_iter = torch.utils.data.DataLoader(mnist_test, batch_size=batch_size, shuffle=False, num_worke)

start = time.time()
for X, y in train_iter:
    continue
print('%.2f sec' % (time.time() - start))

softmax从零开始实现

import torch
import torchvision
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/")
import d2lzh1981 as d2l

print(torch.__version__)
print(torchvision.__version__)

#获取训练集数据和测试集数据
batch_size = 256
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/FashionMNIST2065', train=True, download=True, transform=transforms.ToTensor())
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root='/home/FashionMNIST2065', train=False, download=True, transform=transforms.ToTensor())
#模型参数初始化
num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_outputs)), dtype=torch.float)
b = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)
W.requires_grad_(requires_grad=True)
b.requires_grad_(requires_grad=True)
#定义softmax操作
def softmax(X):
    X_exp = X.exp()
    partition = X_exp.sum(dim=1, keepdim=True)
    # print("X size is ", X_exp.size())
    # print("partition size is ", partition, partition.size())
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制
    
def net(X):
    return softmax(torch.mm(X.view((-1, num_inputs)), W) + b)
    
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y = torch.LongTensor([0, 2])
y_hat.gather(1, y.view(-1, 1))

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat.gather(1, y.view(-1, 1)))

def accuracy(y_hat, y):
    return (y_hat.argmax(dim=1) == y).float().mean().item()``

def evaluate_accuracy(data_iter, net):
    acc_sum, n = 0.0, 0
    for X, y in data_iter:
        acc_sum += (net(X).argmax(dim=1) == y).float().sum().item()
        n += y.shape[0]
    return acc_sum / n
 
num_epochs, lr = 5, 0.1  
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
              params=None, lr=None, optimizer=None):
    for epoch in range(num_epochs):
        train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
        for X, y in train_iter:
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat, y).sum()
            
            # 梯度清零
            if optimizer is not None:
                optimizer.zero_grad()
            elif params is not None and params[0].grad is not None:
                for param in params:
                    param.grad.data.zero_()
            
            l.backward()
            if optimizer is None:
                d2l.sgd(params, lr, batch_size)
            else:
                optimizer.step() 
            
            
            train_l_sum += l.item()
            train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
            n += y.shape[0]
        test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
        print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
              % (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc)) 

train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, batch_size, [W, b], lr)
#模型预测
X, y = iter(test_iter).next()

true_labels = d2l.get_fashion_mnist_labels(y.numpy())
pred_labels = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(dim=1).numpy())
titles = [true + '\n' + pred for true, pred in zip(true_labels, pred_labels)]

d2l.show_fashion_mnist(X[0:9], titles[0:9])

softmax的pytorch实现

# 加载各种包或者模块
import torch
from torch import nn
from torch.nn import init

import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l

print(torch.__version__)

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, root='/home/FashionMNIST2065')

#定义网络模型
num_inputs = 784
num_outputs = 10

class LinearNet(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_outputs):
        super(LinearNet, self).__init__()
        self.linear = nn.Linear(num_inputs, num_outputs)
    def forward(self, x): # x 的形状: (batch, 1, 28, 28)
        y = self.linear(x.view(x.shape[0], -1))
        return y
    
# net = LinearNet(num_inputs, num_outputs)

class FlattenLayer(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(FlattenLayer, self).__init__()
    def forward(self, x): # x 的形状: (batch, *, *, ...)
        return x.view(x.shape[0], -1)

#from collections import OrderedDict
net = nn.Sequential(
        # FlattenLayer(),
        # LinearNet(num_inputs, num_outputs) 
        OrderedDict([
           ('flatten', FlattenLayer()),
           ('linear', nn.Linear(num_inputs, num_outputs))]) # 或者写成我们自己定义的 LinearNet(num_inputs, num_outputs) 也可以
        )
#初始化模型参数
init.normal_(net.linear.weight, mean=0, std=0.01)
init.constant_(net.linear.bias, val=0)

#定义损失函数
loss = nn.CrossEntropyLoss() # 下面是他的函数原型
# class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')
#定义优化函数
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1) # 下面是函数原型
# class torch.optim.SGD(params, lr=, momentum=0, dampening=0, weight_decay=0, nesterov=False)
#训练
num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)

多层感知机

深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。。

$H=X{W}_h+b_h$,
$O=HWo+b_o$,
也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到
$O=(X{W}_h+b_h)W_o+b_o=X{W}_h{W}_o+b_h{W}_o+b_o$
从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

下面我们介绍几个常用的激活函数：
ReLU函数
ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素，该函数定义为
$RELU(x)=max(x,0)$

%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    # d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
$sigmoid(x)$$=\frac{1}{1+exp(-x)}$


tanh函数
tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
$tanh(x)$$=\frac{1-exp(-2x)}{1+exp(-2x)}$


关于激活函数的选择
ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。

用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。

在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。

在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

多层感知机
多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

其中表示激活函数。

多层感知机从零开始实现

import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/")
import d2lzh1981 as d2l
print(torch.__version__)

#获取训练集
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/FashionMNIST2065')

#定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)

params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
    param.requires_grad_(requires_grad=True)

#定义激活函数
def relu(X):
    return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
#定义网络
def net(X):
    X = X.view((-1, num_inputs))
    H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
    return torch.matmul(H, W2) + b2
#定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
#训练
num_epochs, lr = 5, 100.0
# def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
#               params=None, lr=None, optimizer=None):
#     for epoch in range(num_epochs):
#         train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
#         for X, y in train_iter:
#             y_hat = net(X)
#             l = loss(y_hat, y).sum()
#             
#             # 梯度清零
#             if optimizer is not None:
#                 optimizer.zero_grad()
#             elif params is not None and params[0].grad is not None:
#                 for param in params:
#                     param.grad.data.zero_()
#            
#             l.backward()
#             if optimizer is None:
#                 d2l.sgd(params, lr, batch_size)
#             else:
#                 optimizer.step()  # “softmax回归的简洁实现”一节将用到
#             
#             
#             train_l_sum += l.item()
#             train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
#             n += y.shape[0]
#         test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
#         print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
#               % (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))

d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)

多层感知机pytorch实现

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l

print(torch.__version__)
#初始化模型和各个参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
    
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
        nn.ReLU(),
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), 
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)
#训练
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()

optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)