【菜菜的sklearn课堂笔记】聚类算法Kmeans-概述 & 工作原理

视频作者：菜菜TsaiTsai
链接：【技术干货】菜菜的机器学习sklearn【全85集】Python进阶_哔哩哔哩_bilibili

有监督学习：模型在训练的时候，即需要特征矩阵X，也需要真实标签y。
无监督学习：监督的算法在训练的时候只需要特征矩阵X，不需要标签。PCA降维算法就是无监督学习中的一种，聚类算法，也是无监督学习的代表算法之一。
聚类算法又叫做“无监督分类”，其目的是将数据划分成有意义或有用的组（或簇）。这种划分可以基于我们的业务需求或建模需求来完成，也可以单纯地帮助我们探索数据的自然结构和分布。比如在商业中，如果我们手头有大量的当前和潜在客户的信息，我们可以使用聚类将客户划分为若干组，以便进一步分析和开展营销活动

聚类vs分类
![[附件/Pasted image 20221115094448.png|500]]

	聚类	分类
核心	将数据分成多个类 探索每个组的数据是否有联系	从已经分组的数据中去学习 把新数据放到已经分好的组中去
学习类型	无监督，无需标签进行训练	有监督，需要标签进行训练
经典算法	K-Means，DBSCAN，层次聚类，光谱聚类	决策树，贝叶斯，逻辑回归
算法输出	聚类结果是不确定的 不一定总是能够反应数据的真实分类 同样的聚类，根据不同的业务需求 可能是一个好结果，也可能是一个坏结果	分类结果是确定的 分类的优劣是客观的 不是根据业务或算法需求决定

sklearn中的聚类算法

聚类算法在sklearn中有两种表现形式，一种是类（和我们目前为止学过的分类算法以及数据预处理方法们都一样），需要实例化，训练并使用接口和属性来调用结果。另一种是函数（function），只需要输入特征矩阵和超参数，即可返回聚类的结果和各种指标。
需要注意的一件重要事情是，该模块中实现的算法可以采用不同类型的矩阵作为输入。 所有方法都接受形状
[n_samples，n_features]的标准特征矩阵，这些可以从sklearn.feature_extraction模块中的类中获得。对于亲和力传播，光谱聚类和DBSCAN，还可以输入形状[n_samples，n_samples]的相似性矩阵，我们可以使用sklearn.metrics.pairwise模块中的函数来获取相似性矩阵。

KMeans工作原理

KMeans算法将一组N个样本的特征矩阵X划分为K个无交集的簇，直观上来看是簇是一组一组聚集在一起的数据，在一个簇中的数据就认为是同一类。簇就是聚类的结果表现。
簇中所有数据的均值${\mu }_j$通常被称为这个簇的“质心”（centroids）。在一个二维平面中，一簇数据点的质心的横坐标就是这一簇数据点的横坐标的均值，质心的纵坐标就是这一簇数据点的纵坐标的均值。同理可推广至高维空间。
在KMeans算法中，簇的个数K是一个超参数，需要我们人为输入来确定。
KMeans的核心任务就是根据我们设定好的K，找出K个最优的质心，并将离这些质心最近的数据分别分配到这些质心代表的簇中去。具体过程可以总结如下：

1. 随机抽取K个样本作为最初的质心
2. 开始循环：
   1. 将每个样本点分配到离他们最近的质心，生成K个簇
   2. 对于每个簇，计算所有被分到该簇的样本点的平均值作为新的质心
3. 当质心的位置不再发生变化，迭代停止，聚类完成

当我们找到一个质心，在每次迭代中被分配到这个质心上的样本都是一致的，即每次新生成的簇都是一致的，所有的样本点都不会再从一个簇转移到另一个簇，质心就不会变化了。

这个过程在可以由下图来显示，我们规定，将数据分为4簇（K=4），其中白色X代表质心的位置：
![[附件/Pasted image 20221115101514.png|550]]
图一为原始数据分布
图二对应1. 随机抽取4个样本作为最初的质心。对应2.1. 把每个样本点分配到距离最近的初始质心上，形成最初的簇，每个颜色块就代表着围绕着质心所形成的的最初的簇
图三对应2.2. 对于每个簇，计算所有被分到该簇的样本点的平均值得到新的质心
图四对应2.1. 将样本点重新分配到距离最近的质心上，形成新的簇
图二、三、四就是一次迭代，直到某一次迭代图二与图四完全相同，我们就将迭代停止，聚类完成
迭代完成后既可以按照业务需求来对不同的数据进行不同的处理

簇内误差平方和的定义和解惑

聚类算法的目的，我们追求“簇内差异小，簇外差异大”。而这个“差异“，由样本点到其所在簇的质心的距离来衡量。

评分卡的“分箱”概念有些类似，即我们分箱的目的是希望，一个箱内的人有着相似的信用风险，而不同箱的人的信用风险差异巨大，以此来区别不同信用度的人，因此我们追求“组内差异小，组间差异大”。
不过评分卡我们分箱是根据不同箱的WOE值，而计算WOE值是需要标签的

对于一个簇来说，所有样本点到质心的距离之和越小，我们就认为这个簇中的样本越相似，簇内差异就越小。而距离的衡量方法有多种，令$x$表示簇中的一个样本点，$\mu$表示该簇中的质心，$n$表示每个样本点中的特征数目，$i$表示组成点$x$的每个特征，则该样本点到质心的距离可以由以下距离来度量：
$$\begin{array}{rl}欧氏距离:d(x,\mu )& =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_i{)}^2}\\ 曼哈顿距离:d(x,\mu )& =\sum _{i=1}^n(|x_i-{\mu }_i|)\\ 余弦距离:\cos \theta & =\frac{\sum _{i=1}^n(x_i\cdot {\mu }_i)}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i{)}^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n({\mu }_i{)}^2}}\end{array}$$
下面我们只讨论欧式距离（我的能力就能理解它）
如我们采用欧几里得距离，则一个簇中所有样本点到质心的距离的平方和为：
$$\begin{array}{rl}簇内平方和(CSS)& =\sum _{j=0}^m\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_i{)}^2\\ 整体平方和& =\sum _{l=1}^{k}CS{S}_i\end{array}$$
$i$表示一个维度，$j$表示某一个簇内的一个样本的编号（编号从0开始），$k$表示簇的个数
一个数据集中的所有簇的簇内平方和（Cluster Sum of Square）相加，就得到了整体平方和（Total Cluster Sum of Square），又叫做total inertia。Total Inertia越小，代表着每个簇内样本越相似，聚类的效果就越好。
因此KMeans追求的是，求解能够让Inertia最小化的质心。实际上，在质心不断变化不断迭代的过程中，总体平方和是越来越小的。我们可以使用数学来证明，当整体平方和最小的时候，质心就不再发生变化了。如此，K-Means的求解过程，就变成了一个最优化问题。

因为KMeans的步骤已经很明确了，所以这里不再补充相关数学推导，以后必要的话会补充

解惑：Kmeans没有损失函数

记得我们在逻辑回归中曾有这样的结论：损失函数本质是用来衡量模型的拟合效果的，只有有着求解参数需求的算法，才会有损失函数。Kmeans不求解什么参数，它的模型本质也没有在拟合数据，而是在对数据进行一种探索。K-Means不存在什么损失函数，Inertia更像是Kmeans的模型评估指标，而非损失函数。
类比Kmeans中的Inertia和逻辑回归中的损失函数的功能，我们发现它们确实非常相似。所以，从“求解模型中的某种信息，用于后续模型的使用“这样的功能来看，我们可以认为Inertia是Kmeans中的损失函数，虽然这种说法并不严谨。

这里说Kmeans中的Inertia和逻辑回归中的损失函数的功能相似，是因为无论是KMeans的迭代还是逻辑回归中的梯度下降，都是为了最小化Inertia或损失函数，这种最小化的思想是相通的

对比来看，在决策树中，我们有衡量分类效果的指标准确度accuracy，准确度所对应的损失叫做泛化误差，但我们不能通过最小化泛化误差来求解某个模型中需要的信息，我们只是希望模型的效果上表现出来的泛化误差很小。因此决策树，KNN等算法，是绝对没有损失函数的。

我们的Inertia是基于欧几里得距离的计算公式得来的。实际上，我们也可以使用其他距离，每个距离都有自己对应的Inertia。
在sklearn当中，我们无法选择使用的距离，只能使用欧式距离。因此，我们也无需去担忧这些距离所搭配的质心选择是如何得来的了。只需要知道欧氏距离的质心是样本点坐标的均值即可

KMeans算法是一个计算成本很大的算法，也就是说如果数据集较大，它就需要花费大量时间来完成迭代
在实践中，比起其他聚类算法，KMeans算法已经快了，但它一般找到Inertia的局部最小值。 这就是为什么多次重启它会很有用。