Lecture 011-2-Column generation & BP

Outline

•Cutting stock problem – 经典模型与集合覆盖模型

•Column generation – 列生成

•Brand-and-Price– 分支定价

•Vehicleroutingproblem – 车辆路径问题应用

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•切割模型是Kantorovich提出的，前苏联数学家，研究投入产出的，1975年与Koopman一起获得了诺贝尔经济学奖。

•这个模型中包含了所有的信息，需要多少卷，以及每个卷是怎么切的。

•这个模型的表达看起来很好，但是实际求解时不管是从计算的角度还是从理论研究的角度来看，效率都很低。规模小的时候还勉强能算，规模稍微大一点，基本上就算不出来了。•比如有100个纸卷，20种规格要求时，CPLEX就需要计算很多天，甚至不一定能保证找到最优解。•CPLEX解整数规划一般是B&C为主，加一些其他的启发式技巧。所以在算法方面是没有问题的，那一定是模型上有问题。

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•对切割问题而言，按照之前的思路，用LR来当下界，效果不会弱于LP松弛，但是问题是CPLEX不会这么处理，如果自己手动编写程序，中间过程会很麻烦，因为涉及到解对偶问题，需要用到对偶搜索，次梯度等等。

•所以我们换个角度去看待这个问题，尝试构造另外一个新模型，且新模型的LP松弛在效果上等价于原模型的拉格朗日松弛。这样新模型的LP松弛就比旧模型的LP松弛要好。

••基本思路是

•对于原IP问题模型，如果直接做LP松弛，容易实现，但是效果很差。如果做LR松弛，理论上讲效果不会弱于LP松弛，但是很难实现。LR松弛更多的是一种指导原则。

•构造新IP问题模型，特点在于新的IP问题的LP松弛在效果上等价于原IP问题的LR松弛。这样就既容易实现，又效果好。

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