时域卷积定理的证明 | 卷积的傅里叶变化等于傅里叶变换的乘积

$$\begin{array}{rl}{\int }_{R}f\ast g\exp (-2\pi izv)\mathrm{d}z& ={\int }_R{\int }_{R}f(x)g(z-x)\mathrm{d}x\exp (-2\pi izv)\mathrm{d}\mathrm{z}\\ & ={\int }_R{\int }_{R}f(x)g(z-x)\exp (-2\pi izv)\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_R{\int }_{R}g(z-x)\exp (-2\pi izv)\mathrm{d}\mathrm{z}f(x)\mathrm{d}x\\ & \stackrel{\text{令}z-x=t}{}{\int }_R{\int }_{R}g(t)\exp (-2\pi i(t+x)v)\mathrm{d}tf(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_R{\int }_{R}g(t)\exp (-2\pi itv)\mathrm{d}tf(x)\exp (-2\pi ixv)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{R}g(t)\exp (-2\pi itv)\mathrm{d}t{\int }_{R}f(x)\exp (-2\pi ixv)\mathrm{d}x\end{array}$$

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参考资料
卷积定理
乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi

2022年5月6日17:03:02