第五章 定积分&反常积分

考试概要

一、定积分的概念

2、定积分存在的充分条件

3、定积分的几何意义

二、定积分的性质

1、不等式：

2、中值定理：

取值是开区间，可以利用中值定理证明

三、积分上限的函数

四、定积分的计算

四个方法

两个公式

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常见考题：

题型一、定积分的概念，性质以及几何意义

求极限是否使用定积分定义or夹逼原理

使用定积分的几何意义需要确保下限比上限小：

题型二、定积分的计算

题型三、变上限积分

变上限积分函数总结，无非就是求导

1. x在上下限

   方法：直接求，有现成公式

2. x在上下限，也在函数内

   方法：可以拆项的就拆项，无法拆项的就使用变量代换

3. x不在上下限，在函数内

   方法：使用变量代换把x换到上下限

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如何判别是否使用定积分定义or夹逼定理 去求极限

将分母上 ，不变的部分记做主体，

如果变化/不变 趋向于无穷的时候 ，比值为0的话，使用夹逼

如果趋向于一个非0常数，使用定积分定义计算

使用定积分的几何意义，一定要求下限小上限大

函数是奇偶函数，0-x积分会相反的奇偶性

奇函数的任意原函数都是偶函数

偶函数的只有唯一的奇函数原函数

根据几何意义，积分是0-a，积分内容是根号下a^2 - x^2；直接得出结论 π * r^2/4

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函数是积不出来的积分，通常采用分部积分，或者二重积分交换次序

变上限积分求导

三个大类：

1. 积分上下限上有X
2. 被积函数有X，积分上下限有X
3. 被积函数有X，积分上下限没有X

方法核心：使用变量代换

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分段函数积分，后半段一定要对前半段进行积分

一般结论：如果被积函数在间断点为跳跃间断点，则原函数在该点连续但不可导

洛必达法则使用后等式右边是无穷也是成立的

使用积分中值定理，将极限非0的部分搬出去

定积分的要求

1. 区间有限
2. 函数是有界函数

第二节 反常积分

考试类型：

无穷区间上的反常积分

无界函数的反常积分

考试方式：

题型一、反常积分的敛散性

题型二、反常积分的计算

无穷区间上的反常积分

1）求积分变成对上下限趋向于无穷的积分

2）两边都是无穷的积分，需要分开一个趋向正无穷和一个趋向负无穷的积分，要求两个必须都存在，反常积分才存在（注意与极限部分区别）

判断敛散性：可以使用常用结论 1/x^p 敛散性判断条件 <=1 为发散

无界函数的反常积分

用定积分取极限来求反常积分

判断敛散性：可以使用类似，结论和无穷区间上的结论反过来

p<1 收敛 ， >=1 发散

巧记：如果是发散都是 带等号，如果是收敛都是不带等号

反常积分的敛散性判断

使用定义or用p做结论

注意提取非0常数

反常积分的计算