【计算机图形学基础】相机矩阵
最近在重温计算机图形学的基础知识，期望能做到温故知新，加深对其的理解，以便能从容应对工作中各种情况。
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目录索引
- 1. 相机矩阵的作用
- 2. 决定相机矩阵的因素
- 3. 相机三轴方向推导
- 4. 相机矩阵推导
- 5. 参考
1. 相机矩阵的作用
将世界空间中的顶点，转换到相机空间中。使渲染的场景能够以相机的视角进行展示。
相机矩阵实际是特殊的模型矩阵。
2. 决定相机矩阵的因素
影响相机空间的因素有三个：
① 相机的位置(e)：相机空间原点的位置。该位置默认与世界空间原点重合，即(0, 0, 0)。
② 相机的视线：即图中 − f ⃗ -\vec{f} −f 方向。
默认情况下，相机空间的 r ⃗ \vec{r} r 和世界空间 +X 轴重合， u ⃗ \vec{u} u 和世界空间 +Y 轴重合， f ⃗ \vec{f} f 和世界空间 +Z 轴重合；
由于相机的视线为 − f ⃗ -\vec{f} −f 方向，所以在相机空间中，所有可见顶点的z值都是负数。
③ 相机的上方向 u ⃗ \vec{u} u 。
综上，通过相机的位置和三轴方向，能够确认相机空间。
3. 相机三轴方向推导
使用from指定相机在世界空间的位置；
使用to指定相机视线终点在世界空间的位置；
使用up指定相机的上方。
将from，up，to执行一定的数学计算，就可确定相机空间的三轴的方向。
forward向量(相机+z/+f轴)：
vec3 forward = normalize(from - to)
right向量(相机+x/+r轴)：不管forward如何变化，forward必然和世界空间的up(0, 1, 0)在同一个平面中，因此可以通过下式求出相机的right：
vec3 worldUp = normalize(vec3(0, 1, 0));
vec3 right = normalize(crossProduct(worldUp, forward));
up向量(相机+y/+u轴)：right、up和forward满足右手法则，因此通过矩阵叉乘，就能求得up向量，注意叉乘的顺序：
vec3 up = normalize(crossProduct(forward, right));
综上，求得了相机三轴在世界空间中的方向。
4. 相机矩阵推导
相机在世界空间中位置： e y e eye eye = ( x e y e z e ) T \begin{pmatrix}x_{e} & y_{e} & z_{e}\end{pmatrix}^{T} (xeyeze)T；
相机在世界空间三轴： r ⃗ \vec{r} r、 u ⃗ \vec{u} u 和 f ⃗ \vec{f} f 。
若要把世界空间中的顶点转换到相机空间，需要执行如下步骤：
① 将相机eye位置平移到原点；
② 将 − f ⃗ -\vec{f} −f 旋转到 − Z -Z −Z；
③ 将 u ⃗ \vec{u} u 旋转到 Y Y Y；
④ 将 r ⃗ \vec{r} r 旋转到 X X X。
经过上述步骤后能得到一个复合矩阵，将其应用到世界空间中所有顶点，就可以将这些顶点都转换到相机空间。
步骤①很好完成，但步骤②、③、④比较困难。但是，如线性代数基础中所述，旋转矩阵是正交阵，其逆变换等于转置。
因此，可以考虑将坐标轴 X ⃗ Y ⃗ Z ⃗ \vec{X}\vec{Y}\vec{Z} XYZ旋转到坐标轴 r ⃗ u ⃗ f ⃗ \vec{r}\vec{u}\vec{f} ruf，然后求其逆矩阵。
①中的平移矩阵如下：
T = ( 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ) T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -x_{e}\\0 &1 & 0 & -y_{e}\\0 & 0 & 1 & -z_{e}\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} T=⎝ ⎛100001000010−xe−ye−ze1⎠ ⎞
将 X ⃗ \vec{X} X = ( 1 0 0 0 ) T \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}^{T} (1000)T旋转至 u ⃗ \vec{u} u ⊗ \otimes ⊗ f ⃗ \vec{f} f；
将 Y ⃗ \vec{Y} Y = ( 0 1 0 0 ) T \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}^{T} (0100)T旋转至 u ⃗ \vec{u} u；
将 Z ⃗ \vec{Z} Z = ( 0 0 1 0 ) T \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}^{T} (0010)T旋转至 f ⃗ \vec{f} f；
上述旋转矩阵 R R R 如下所示：
( x u ⃗ ⊗ f ⃗ x u ⃗ x f ⃗ 0 y u ⃗ ⊗ f ⃗ y u ⃗ y f ⃗ 0 z u ⃗ ⊗ f ⃗ z u ⃗ z f ⃗ 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}x_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & x_{\vec{u}} & x_{\vec{f}} & 0\\y_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & y_{\vec{u}} & y_{\vec{f}} & 0\\z_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & z_{\vec{u}} & z_{\vec{f}} & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} ⎝ ⎛xu⊗fyu⊗fzu⊗f0xuyuzu0xfyfzf00001⎠ ⎞
可以对矩阵 R R R 进行验证， R R R X ( 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛1000⎠ ⎞ = ( x u ⃗ ⊗ f ⃗ y u ⃗ ⊗ f ⃗ z u ⃗ ⊗ f ⃗ 0 ) \begin{pmatrix}x_{\vec{u} \otimes \vec{f}} \\ y_{\vec{u} \otimes \vec{f}} \\ z_{\vec{u} \otimes \vec{f}} \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛xu⊗fyu⊗fzu⊗f0⎠ ⎞
R R R X ( 0 1 0 0 ) \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛0100⎠ ⎞ = ( x u ⃗ y u ⃗ z u ⃗ 0 ) \begin{pmatrix}x_{\vec{u}} \\ y_{\vec{u}} \\ z_{\vec{u}} \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛xuyuzu0⎠ ⎞ R R R X ( 0 0 1 0 ) \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛0010⎠ ⎞ = ( x f ⃗ y f ⃗ z f ⃗ 0 ) \begin{pmatrix}x_{\vec{f}} \\ y_{\vec{f}} \\ z_{\vec{f}} \\0\end{pmatrix} ⎝ ⎛xfyfzf0⎠ ⎞
矩阵 R R R分别乘以 X ⃗ \vec{X} X、 Y ⃗ \vec{Y} Y、 Z ⃗ \vec{Z} Z，得到了它们旋转后的位置。
上述矩阵 R R R 可以理解为：矩阵 R R R 代表了一个变换，将当前 X ⃗ \vec{X} X、 Y ⃗ \vec{Y} Y、 Z ⃗ \vec{Z} Z这组标准正交基转换到一组新的正交基中，这组新的正交基分别为 R c o l 1 R_{col1} Rcol1、 R c o l 2 R_{col2} Rcol2 和 R c o l 3 R_{col3} Rcol3。
现对 R R R求逆，即求转置，有 R − 1 R^{-1} R−1 = R T R^{T} RT：
( x u ⃗ ⊗ f ⃗ y u ⃗ ⊗ f ⃗ z u ⃗ ⊗ f ⃗ 0 x u ⃗ y u ⃗ z u ⃗ 0 x f ⃗ y f ⃗ z f ⃗ 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}x_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & y_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & z_{\vec{u} \otimes \vec{f}} & 0\\x_{\vec{u}} & y_{\vec{u}} & z_{\vec{u}} & 0\\x_{\vec{f}} & y_{\vec{f}} & z_{\vec{f}} & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} ⎝ ⎛xu⊗fxuxf0yu⊗fyuyf0zu⊗fzuzf00001⎠ ⎞
综上，相机矩阵 R c a m R_{cam} Rcam是一个复合矩阵，其结果为：
R c a m R_{cam} Rcam = R T R^{T} RT T T T，其中 R T R^{T} RT和 T T T见上述的推导。
5. 参考
- mathematics-physics-for-computer-graphics/lookat-function
- 推导相机矩阵
- GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪