南弦Sylvan
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计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数

  • 前言
  • 计算机图形学概述
  • 向量（矢量）
  • 点乘
  • 叉乘
    • 点乘，叉乘与直角坐标系
  • 矩阵

前言

GAMES101现代计算机图形学入门的学习笔记
正在为TA实习攒作品，把基础学科再从头到尾捋一遍
课程地址：GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪.
大量引用了课件内容，如有侵权请联系我删除或者重新编辑
课件地址：GAMES101: 现代计算机图形学入门.
感谢闫令琪大佬的无私分享 让我有了自学的方向orz
顺便安利一个很好用的笔记软件：Trilium，在github上直接搜索可以下载

计算机图形学概述

光栅化
把三维空间的几何形体显示在屏幕上。实时计算机图形学的主要应用。
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第1张图片

MODEL:描述三维中几何的形体，对于渲染来说是描述材质或光照。计算机图形学
计算机视觉：从一张图识别各种模型，分析图象。

建议语言：C++
使用集成开发环境：IDE
涉及到的基础学科：物理-光学和力学，线性代数和向量，积分，美学。

向量（矢量）

从A指向B
AB之间的相对位置
属性：方向，长度
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第2张图片
向量的值
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向量相加：平行四边形法则和三角形法则

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计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第5张图片

点乘

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第6张图片
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第7张图片
向量点乘的结果：一个数

直角坐标系/笛卡尔坐标系中的点乘 ：
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向量的投影：
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第9张图片
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第10张图片
图中，ab向前，c向后。ab点乘＞0，ac点乘＜0。点乘告诉了我们方向性：基本一致/基本相反/垂直
方向趋于一致的两个向量之间，cosθ越接近1，两个向量越靠近，越接近0，两个向量越远离
点乘的应用：
在图形学中找到两个向量/方向之间的夹角 或者说余弦夹角
光照模型中，计算光的角度以及物体表面的法线
计算一个向量到另一个向量的投影
判断向量之间的方向性

叉乘

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第11张图片向量的叉乘：结果向量与两个参与运算向量的方向都垂直，和这两个向量一定不在一个平面内

向量叉乘的结果：一个向量

右手螺旋定则：用来判断叉乘结果的方向。四指指向a向量到b向量的方向，大拇指指向叉乘结果的方向

叉乘并不满足交换律。如果要交换两个向量，必须要加上一个负号
公式：
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第12张图片
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第13张图片
应用：判断P点是否在三角形内部：使用叉乘右手定则，P点一直在三条边的左边或者都在三条边的右边，则P点在三角形内部
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第14张图片
叉乘的应用：
建立三维空间中的直角坐标系
判定左和右
判定内与外

点乘，叉乘与直角坐标系

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第15张图片

矩阵

x行x列矩阵
计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第16张图片
矩阵相乘：

第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数才能相乘

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第17张图片
矩阵相乘不符合交换律，但符合结合律和分配律

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第18张图片
矩阵可以与列向量相乘

按Y轴进行对称操作：

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第19张图片
矩阵的转置：行和列互换

性质：两个矩阵相乘再转置变成两个矩阵转置再相乘时，要交换位置

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第20张图片
**单位矩阵（对角阵）：**只有对角线上有非零的元素

单位矩阵也分维度和大小

一个矩阵乘它的逆矩阵=单位矩阵

性质：两个矩阵相乘再变为逆矩阵变成两个矩阵变为逆矩阵再相乘时，要交换位置

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第21张图片
向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵形式

计算机图形学基础学习笔记-其一：向量与线性代数_第22张图片

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