先验 & 后验 & 似然估计

一、完备事件组

设E是随机试验，Ω是相应的样本空间，A1，A2，...An为Ω的一个事件组，若

（1）AiAj=（ij）

（2）A1A2...An=Ω

则称A1A2...An为样本空间的一个完备事件组，完备事件组完成了对样本空间的一个分割（意义）

二、条件概率

设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

特例：事件A和事件B互斥，则条件概率为0.

三、全概率公式

全概率公式以加法公式和乘法公式为基础。

全概率公式：通过已知每种"原因"发生的概率，求"结果"发生的概率，"原因"发生的概率称为"先验概率"，即"已知原因，分析结果"。

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)

间接求概率P(A)。

四、贝叶斯公式

从已知"结果"发生的条件下分析各个"原因"引起的条件概率，这个条件概率称为"后验概率"，即"已知结果，分析原因"。

P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / P(A)

 

五、先验&后验&似然估计

先知道"到达上海"的结果，然后由结果估计“乘坐的交通工具”的原因的概率分布，p(Ai|B)，就是后验概率。

先于"到达上海"的结果，确定“乘坐的交通工具”的原因的概率分布，p(Ai)，就是先验概率。

先确定原因，根据“乘坐的交通工具”的原因来估计"到达上海"的结果的概率分布，p(B|Ai)，就是似然估计。

不管是什么交通方式，得到了"到达上海"的概率分布。这种不考虑原因，只看结果的概率分布，p(时间)，也有一个名词：evidence（不清楚合适的中文名是什么）。

参考链接