列主元Guass消去法

一，列主元Guass消去法

因为在使用不选主元的Guass消去法消元时，可能出现a_kk^(k)=0的情况，此时消去法无法进行下去；即使主元素a_kk^(k)≠0但绝对值很小时，用作除数会导致其他元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算结果不可靠.对于一般的矩阵来说，每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性，这就是列主元高斯消去法.

二，列主元Guass消去法Python代码

# 自己原创
def pivot_lu_decomposition(coefficient_matrix: np.ndarray, right_hand_side_vector: np.ndarray):
    """
    实现方程Ax=b系数矩阵A的pivoted LU decomposition
    :param coefficient_matrix: 初始系数矩阵A
    :param right_hand_side_vector: 初始常数列向量b
    :return: 排列矩阵P，单位下三角矩阵L，上三角矩阵U，常数列向量b
    """
    # first step: evaluate the lu decomposition condition
    rows, columns = coefficient_matrix.shape
    if rows == columns:  # judge if it is a square matrix
        for k in range(rows):  # 判断各阶顺序主子式是否为0
            if det(coefficient_matrix[:k + 1, :k + 1]) == 0:
                raise Exception("cannot generate LU decomposition")
        else:
            # pivot LU decomposition
            lower_triangular_matrix = np.eye(rows)
            permutation_matrix = np.eye(rows)
            for k in range(rows - 1):
                max_index = np.argmax(abs(coefficient_matrix[k:, k]))
                coefficient_matrix[[k, max_index + k], :] = coefficient_matrix[[max_index + k, k], :]
                right_hand_side_vector[[k, max_index + k], :] = right_hand_side_vector[[max_index + k, k], :]
                permutation_matrix[[k, max_index + k], :] = permutation_matrix[[max_index + k, k], :]
                for row in range(k + 1, rows):
                    multiplier = coefficient_matrix[row, k] / coefficient_matrix[k, k]
                    coefficient_matrix[row, k:] += -multiplier * (coefficient_matrix[k, k:])
                    right_hand_side_vector[row] += -multiplier * right_hand_side_vector[k]
                    lower_triangular_matrix[row, k] = multiplier
    else:
        raise Exception("ERROR:please pass a square matrix.")

    return permutation_matrix, lower_triangular_matrix, coefficient_matrix, right_hand_side_vector

# 自己原创
def gaussian_elimination(coefficient_matrix: np.ndarray,
                         right_hand_side_vector: np.ndarray,
                         decomposition_function=pivot_lu_decomposition):
    """
    实现高斯消元法解方程Ax=b
    :param decomposition_function:分解函数
    :param coefficient_matrix: 初始系数矩阵A
    :param right_hand_side_vector: 初始列向量b
    :return: 解向量x
    """
    *_, upper_triangular_matrix, constant_column_vector = decomposition_function(coefficient_matrix,
                                                                                 right_hand_side_vector)
    rows = right_hand_side_vector.shape[0]
    if upper_triangular_matrix.shape[0] == rows:  # 判断上三角矩阵的行数是否等于列向量行数
        # 此处不指定双精度浮点数据类型，则可能会损失精度，导致结果偏差太大
        variable_column_vector = np.ones_like(right_hand_side_vector, dtype=np.float64)  # 构建一个与列向量同形状的1矩阵
        for row in range(rows - 1, -1, -1):
            prod = 0  # 声明累积变量，初始化为0
            for column in range(row + 1, rows):
                prod += variable_column_vector[column] * upper_triangular_matrix[row, column]
            # 回代运算得到解向量
            variable_column_vector[row] = (constant_column_vector[row] - prod) / upper_triangular_matrix[row, row]
        return variable_column_vector
    else:
        raise Exception("系数矩阵的行数与常数列向量行数不相等")