机器学习 决策树 随机森林

参考

• b站视频 【决策树、随机森林】附源码！！超级简单，同济大佬手把手带你学决策树
• 决策树模型及案例（Python）
• 决策树之基尼系数 该文章的公式理解可能不对，但提供了思路。
• 【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles) 并集的概率

决策树指标

决策树有多种可选的形态，那么如何确定哪种决策树是更好的呢？有两种指标可以使用：

• 基尼系数
• 信息熵、信息增益

基尼系数

基础公式

基尼系数是一种评估决策树好坏的指标。他反映了决策树对样本分类的离散情况。假设样本集合为T，分为了若干个类别，每个类别在样本集合T中占的比例为$p_i$。它的计算公式如下：
$$\mathrm{gini}(T)=1-\sum p_i^2$$

举个例子，假设某个员工的样本集合里都是离职员工，所以该集合只有"离职员工"一个类别，其出现的频率是100%。所以该系统的基尼系数为$1-1^2＝0$，表示该系统没有混乱，或者说该系统的“纯度”很高。而如果样本中一半是离职员工，另一半是未离职员工，那么类别个数为2，每个类别出现的频率都为50%，所以其基尼系数为$1-（0.5^2＋0.5^2）＝0.5$，其混乱程度很高。

公式理解

如何理解这个公式的含义？我们举个例子，假设有个贷款人员的样本集合，有贷款人员是否违约的二分类问题，1表示违约，0表示不违约。现在问：任取两个样本，它们属于同一类别的概率是多少？两个样本同属第一个类别的概率为$P_1=p_1^2$，同属第二个类别的概率为$P_2=p_2^2$。所以，两个样本同属一个类别的概率如下：
$$\begin{array}{rl}Pr(P_1\cup P_2)& =Pr(P_1)+Pr(P_2)-Pr(P_1\cap P_2)\\ & =Pr(P_1)+Pr(P_2)\text{两个样本不可能同时都属于多个类别}\\ & =p_1^2+p_2^2\end{array}$$
所以，两个样本不属于同一类别的概率为$1-Pr(P_1\cup P_2)=1-p_1^2-p_2^2=gini(T)$。在二分类问题中，基尼系数的含义就是随机采样的两个样本不属于同一类别的概率。

该说法在多分类问题中一样成立。参考【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles)给出的公式：

图中的并集元素项都等于0，所以任取两个样本，都属于同一类别的概率为$\mathrm{Pr}\left({\bigcup }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}\right)={\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\mathrm{Pr}\left({\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}\right)={\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{p}_i^2$。所以任取两个样本，不属于同一类别的概率为$1-{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{p}_i^2$，该说法得证。在多分类问题中，基尼系数的含义也是同样的。

引入划分后的公式

当引入某个用于划分样本空间的条件（如“满意度＜5”）时，分类后的基尼系数公式如下，其中S1、S2为划分后的两类各自的样本量，$gini(T_1)$、$gini(T_2)$为两类各自的基尼系数。

$$\mathrm{gini}(T)=\frac{S_1}{S_1+S_2}\mathrm{gini}\left(T_1\right)+\frac{S_2}{S_1+S_2}\mathrm{gini}\left(T_2\right)$$

举个例子，一个初始样本中有1000个员工，其中已知有400人离职，600人不离职，划分前该系统的基尼系数为$1-（0.4^2＋0.6^2）＝0.48$。
下面采用两种方式决定根节点：一是根据“满意度＜5”进行分类；二是根据“收入＜10000元”进行分类。

划分方式1：以“满意度＜5”为根节点进行划分，如下图所示，1000个员工中，200个人是满意度<5的，另外有800个人满意度>=5。计算过程如下。

• T1的基尼系数：$gini(T_1)＝1-（1^2＋0^2）＝0$
• T2的基尼系数：$gini(T_2)＝1-（0.25^2＋0.75^2）＝0.375$
• 综上，划分后的基尼系数就是
  $$\begin{array}{rl}\mathrm{gini}(T)& =\frac{200}{1000}\times 0+\frac{800}{1000}\times 0.375=0.3\end{array}$$

划分方式2：以“收入＜10000元”为根节点进行划分，如下图所示，1000个员工中，有400个人收入小于10000元，另外600人收入>=10000元计算过程如下。

T1的基尼系数：$gini（T1）＝1-（0.25^2＋0.75^2）＝0.375$
T2的基尼系数：$gini（T2）＝1-（0.5^2＋0.5^2）＝0.5$

• 综上，划分后的基尼系数就是
  $$\begin{array}{rl}\mathrm{gini}(T)& =\frac{400}{1000}\times 0.375+\frac{600}{1000}\times 0.5=0.45\end{array}$$

可以看到，划分前的基尼系数为0.48，以“满意度＜5”为根节点进行划分后的基尼系数为0.3，而以“收入＜10000元”为根节点进行划分后的基尼系数为0.45。基尼系数越低表示系统的混乱程度越低（纯度越高），区分度越高，越适合用于分类预测，因此这里选择“满意度＜5”作为根节点。

划分后公式的理解

如何理解划分后的基尼系数公式？在划分前，样本空间是全集。划分将决策树的分为了若干个树节点，每个树节点相当于一个样本空间子集。所以公式中将各个划分样本计算基尼系数后，按权重相加的方式，相当于计算每个划分样本空间基尼系数的加权和。

信息熵、信息增益

这里建议阅读原文决策树模型及案例（Python），对某个样本空间X计算信息熵的公式为：
$$H(X)=-\sum p_i{\log }_2\left(p_i\right)\left(i=1,2\dots \dots \text{n}\right)$$
进行某种变量A划分后(比如“满意度＜5”)，信息熵的计算公式如下。则根据变量A划分后的信息熵又称为条件熵。
$$H_A(X)=\frac{S_1}{S_1+S_2}H\left(X_1\right)+\frac{S_2}{S_1+S_2}H\left(X_2\right)$$

什么是信息增益？为了衡量不同划分方式降低信息熵的效果，还需要计算分类后信息熵的减少值（原系统的信息熵与分类后系统的信息熵之差），该减少值称为熵增益或信息增益，其值越大，说明分类后的系统混乱程度越低，即分类越准确。

假设某样本的初始信息熵为$H(X)=0.97$，按照某划分后，信息熵为$H_A(X)=0.65$

如何理解信息熵

两种指标的对比

基尼系数涉及平方运算，而信息熵涉及相对复杂的对数函数运算，因此，目前决策树模型默认使用基尼系数作为建树依据，运算速度会较快。

总结

其实算法面试基本不会考吧？可是反正我也失业了，就随着性子学知识吧。这辈子就这样了。