根轨迹法和频率响应法设计PI控制器学习笔记

一、根轨迹法和频率响应法怎么用？

根轨迹法中的根轨迹指**开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统传递函数的极点在s平面上变化的轨迹**(不考虑零极点相消)。

常规根轨迹法采用开环增益从零变化到无穷。

频率响应法使用开环传递函数推断闭环系统的相对稳定性。需要将系统转化为典型环节表示的形式，并通过幅值裕度和相角裕度调整比例环节K。

根据根轨迹的变化曲线，我们可取某一点的K值设计出具有期望性能的闭环系统。

二、控制器设计问题

若系统传递函数已知，需要设计PI控制器参数Kp和Ki，使闭环系统具有性能：

1. 系统对阶跃输入响应无稳态误差，对斜坡输入响应稳态误差小于输入幅值的0.35；
2. 系统阶跃响应调节时间小于等于3s。

控制系统结构如下图所示。

三、根轨迹法设计思路

整体系统开环传递函数为：
$$G_1(s)=K(s)G(s)H(s)=\frac{110\ast 1.24K_p(s+K_i/K_p)(s+5)}{s(s^2+460s+550)}$$
其开环增益为$110\ast 1.24K_p$，零点为$-K_i/K_p$、-5，极点为0、-1.19、-458。

1、根轨迹分析

绘制开环系统根轨迹图像如下：

(1)情况一：$K_i/K_p<0$

此时闭环系统有一个极点始终在实半平面，系统对于任意开环增益都不稳定。
取$K_p=100、K_i=-100$和$K_p=1、K_i=-1$和$K_p=0.01、K_i=-0.01$仿真结果如下。

(2)情况二：$0<K_i/K_p<1.19$(弱积分器)

此时闭环系统的闭环极点均位于负实轴上，对于任意开环增益都是稳定的，系统均为过阻尼系统，此时阶跃响应无超调。
取$K_p=100、K_i=100$和$K_p=1、K_i=1$和$K_p=0.1、K_i=0.1$仿真结果如下。

此时$K_i/K_p$均等于1，闭环零点位置不变，$K_p$越大，开环增益越大，闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。

取$K_p=1、K_i=0.1$和$K_p=1、K_i=0.5$和$K_p=1、K_i=1$仿真结果如下。
此时$K_p$不变，开环增益不变，但$K_i/K_p$越来越大，闭环零点越来越远离虚轴，同样的开环增益闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。

(3)情况三、四、五：$1.19<K_i/K_p$(强积分器)

此时任意开环增益系统都能稳定，但当开环增益在某一区间时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统。
取$K_p=10、K_i=20$和$K_p=1、K_i=2$和$K_p=0.5、K_i=1$仿真结果如下。
此时$K_i/K_p$均等于2，闭环零点位置不变，$K_p$越大，开环增益越大，闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。

取$K_p=1、K_i=2$和$K_p=1、K_i=10$和$K_p=1、K_i=500$仿真结果如下。

此时$K_p$不变，开环增益不变，但$K_i/K_p$越来越大，闭环零点越来越远离虚轴，同样的开环增益闭环主导极点越来越远离虚轴，系统阶跃响应越快。

因此Kp和Ki越大越好？高增益会放大噪声。需要选取合适地参数。

2、稳态误差需求

该系统在输入下，误差信号为：
$$E(s)=\frac{R(s)}{1+K(s)G(s)H(s)}$$
阶跃输入为$\frac{R}{s}$，稳态误差为：
$$e_{s}s(\infty )=li{m}_{t\to \infty }e(t)=li{m}_{s\to 0}sE(s)=0$$
斜坡输入为$\frac{R}{s^2}$，稳态误差为：
$$e_{s}s(\infty )=li{m}_{t\to \infty }e(t)=li{m}_{s\to 0}sE(s)=0.7991\frac{R}{K_i}$$
因此对于阶跃输入无稳态误差，对于斜坡输入必定存在稳态误差，$K_i$绝对值越大，稳态误差越小,需要满足：$0.7991/K_i\le 0.35$，得到：$K_i<0或K_i\ge 2.29$。

四、频率特性

$K_p=1、K_i/K_p=1$

(参考书籍：自动控制原理第六版, 胡寿松)