离散数学 --- 特殊关系 --- 偏序关系，哈斯图和特殊元素以及其它次序关系

第一部分 --- 偏序关系

1.当我们用 ≤ 符号来表示偏序关系的时候，这个符号就不再局限于它本来的含义了，此时的它表示的是元素之间的先后顺序，如下图：

 

1.这里的可比的意思是可比较元素在偏序关系中的先后顺序

 

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第二部分 --- 哈斯图

1.哈斯图其实就是简化版的偏序关系的关系图

2.什么叫做由于传递关系必须出现的边呢？ --- 比如x到y有一条边，y到z有一条边，此时由于传递关系就必须出现一条x到z的边，在哈斯图中我们可以不显示这种边

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第三部分 --- 特殊元素

1.最大元和最小元

1.要注意的是集合中的最大元和最小元有且只有一个，如果找不到一个最大/最小元的话，则这个集合的最大/最小元为无

1.最大元b只有在集合中所有元素都比b小的时候才能够存在，如果出现即不比b小，也不比b大的元素的话则最大元不存在（最小元同理）

2.只要集合中所有元素没有比极大元b大，则这个极大元b存在（也就是说，哪怕有和既不比极大元大也不必极大元小的元素存在，极大元依然存在）（极小元同理）

3.最大元和最小元都只能有一个，而极大元和极小元可以有多个

4.一个元素可以同时是最大元和最小元，极大元和极小元

1.上确界就是所有上界中最小的那个

1.下确界就是所有下界中最大的那个

2.对于一个集合而言下界和上界可以有很多个，但是它的下确界和上确界有且只有一个

2.作为一个集合的上界的元素必须比集合中的所有元素都大（集合中不能够有一样大的元素出现），否则 的话这个元素不是集合的上界

（下界同理 --- 比所有集合中元素都下且不能有一样大的出现）

1.关于第四点：上确界的定义是：作为上界中最小的元素（不能够有和它一样大的元素出现，如果有的话它就不是最小的元素，而是最小的元素之一，此时上确界不存在，下确界同理）

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第四部分 --- 其它特殊关系

 

1.去掉Ia就相当于去掉自反性的同时使得R变为了反自反性，并上Ia则让S具有了自反性

1.幂集是一个另一个集合中所有的子集构成的集合。

2.集合中所有元素都能够比较大小（分的了前后顺序）时，则这个集合上的偏序关系就变为了全序关系（线序关系）

 

 

1.负整数有最大值 -1 ，但没有最小值；正整数有最小值是1，但没有最大值；0既不是正整数也不是负整数，它是一个整数

2.有限全序集一定是良序集也可以改为能够找到最小元素的全序集（无论有限无限）一定是良序集

从上图也可以看出，良序关系一定是全序关系，但全序关系不一定是良序关系（只有能够找到最小元素的全序关系才一定是良序关系）