矩阵分析——第二节基与坐标

基(坐标系)与坐标

定义(有限维线性空间基坐标)

V是数域F上的线性空间,若有正整数n,及V中的向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1,α2,,αn,使得:

1) α i {\alpha_i} αi线性无关

2)(生成性)对任意的 α {\alpha} α均可由{ α i {\alpha_i} αi}表示

则称V是n维线性空间。向量组{ α i {\alpha_i} αi}称为V的一个基(坐标系)。系数{ k i k_i ki}被称为沿着该基的坐标向量。

[ 抽 象 向 量 ] = [ 基 矩 阵 ] [ 坐 标 向 量 ] [抽象向量] = [基矩阵][坐标向量] []=[][]

命题(维数的唯一性)

α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1,α2,,αn β 1 , β 2 , ⋯   , β m \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m} β1,β2,,βm分别是V中的两个基,则n = m。

定理(基坐标系)

实现抽象线性空间到标准线性空间的一一对应

满射、单射、双射
矩阵分析——第二节基与坐标_第1张图片

给了一个向量,把这个向量映射成坐标

标准基向量拼成的基矩阵是单位矩阵。

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