【数值计算】追赶法
记录一下追赶法解特殊方程组，设有 n n n阶方程组 A x = d \mathbf{A}x=d Ax=d，其中 A \mathbf{A} A为三对角矩阵，即
A = [ b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ⋱ ⋱ ⋱ a n − 1 b n − 1 c n − 1 a n b n ] , d = [ d 1 d 2 ⋮ d n − 1 d n ] \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ & \ddots & \ddots & \ddots\\ & & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1}\\ & & & a_{n} & b_{n}\\ \end{array} \right], \quad d = \left[ \begin{array}{ccc} d_{1}\\ d_{2}\\ \vdots\\ d_{n-1}\\ d_{n}\\ \end{array} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡b1a2c1b2⋱c2⋱an−1⋱bn−1ancn−1bn⎦⎥⎥⎥⎥⎤,d=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡d1d2⋮dn−1dn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
对矩阵 A \mathbf{A} A进行克洛托分解（ L U LU LU分解），得到
L = [ l 1 v 2 l 2 ⋱ ⋱ v n − 1 l n − 1 v n l n ] , U = [ 1 u 1 1 u 2 ⋱ ⋱ 1 u n − 1 1 u n ] \mathbf{L} = \left[ \begin{array}{ccc} l_{1} &\\ v_{2} & l_{2}\\ & \ddots & \ddots\\ & & v_{n-1} & l_{n-1}\\ & & & v_{n} & l_{n}\\ \end{array} \right], \quad \mathbf{U} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & u_{1}\\ & 1 & u_{2}\\ & & \ddots & \ddots\\ & & & 1 & u_{n-1}\\ & & & & 1 & u_{n}\\ \end{array} \right] L=⎣⎢⎢⎢⎢⎡l1v2l2⋱⋱vn−1ln−1vnln⎦⎥⎥⎥⎥⎤,U=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1u11u2⋱⋱1un−11un⎦⎥⎥⎥⎥⎤
因此 A x = d \mathbf{A}x=d Ax=d等价于求解 L y = d Ly=d Ly=d和 U x = y Ux=y Ux=y，于是可以推得追赶法算法过程如下:
1.计算 l i l_{i} li， u i u_{i} ui递推公式。
l 1 = b 1 , l i = b i − a i u i − 1 , i = 2 , 3 , 4 , … , n u 1 = c 1 / b 1 , u i = c i / l i , i = 2 , 3 , 4 , … , n l_{1} = b_{1}, \quad l_{i} = b_{i} - a_{i}u_{i-1}, \quad i=2,3,4,\dots,n\\ u_{1} = c_{1} / b_{1},\quad u_{i} = c_{i} / l{i},\quad\quad i=2,3,4,\dots,n l1=b1,li=bi−aiui−1,i=2,3,4,…,nu1=c1/b1,ui=ci/li,i=2,3,4,…,n
2.求解 L y = d Ly=d Ly=d。
y 1 = d 1 / b 1 , y i = ( d i − a i y i − 1 ) / l i , i = 2 , 3 , 4 , … , n y_{1} = d_{1}/b_{1}, \quad y_{i} = (d_{i} - a_{i}y_{i-1})/l_{i}, \quad i=2,3,4,\dots,n y1=d1/b1,yi=(di−aiyi−1)/li,i=2,3,4,…,n
3.求解 U x = y Ux=y Ux=y。
x n = y n , x i = y i − u i x i + 1 , i = n − 2 , n − 2 , … , 1 x_{n} = y_{n}, \quad x_{i} = y_{i} - u_{i}x_{i+1}, \quad i=n-2,n-2,\dots,1\\ xn=yn,xi=yi−uixi+1,i=n−2,n−2,…,1
故可将上述算法过程转换成代码：
追赶法MATLAB程序代码
function x = tridiagsolver(a, b, c, d)
n = length(b);
l(1) = b(1);
y(1) = d(1) / l(1);
u(1) = c(1) / l(1);
for ii = 2 : n
l(ii) = b(ii) - a(ii - 1) * u(ii - 1);
y(ii) = (d(ii) - y(ii - 1) * a(ii - 1)) / l(ii);
if ii <= n-1
u(ii) = c(ii) / l(ii);
end
end
x(n) = y(n);
for ii = n-1 : -1 : 1
x(ii) = y(ii) - u(ii) * x(ii + 1);
end
追赶法C++程序代码
/*************************************************************************
void tridiagsolver(double *dst, double *a, double *b, double *c, double *d, int num)
功能： 追赶法求解三角矩阵
参数：
dst： 输出结果
a: 稀疏矩阵最下边部分的元素
b： 稀疏矩阵中间部分的元素
c： 稀疏矩阵最上边部分的元素
d: 右端向量
num: 矩阵大小
返回值： 无
*************************************************************************/
void tridiagsolver(double *dst, double *a, double *b, double *c, double *d, int num)
{
double *l = new double[num];
double *y = new double[num];
double *u = new double[num - 1];
// 追过程
l[0] = b[0];
y[0] = d[0] / l[0];
u[0] = c[0] / l[0];
for (int i = 1; i < num; i++)
{
l[i] = b[i] - a[i-1] * u[i-1];
y[i] = (d[i] - y[i-1] * a[i-1]) / l[i];
if (i < num - 1)
u[i] = c[i] / l[i];
}
// 赶过程
dst[num-1] = y[num-1];
for (int i = num-2; i >= 0; i--)
{
dst[i] = y[i] - u[i] * dst[i+1];
}
delete [] l;
delete [] y;
delete [] u;
}
需要注意的是，程序中的代码和算法求解过程存在略微差异，是由于存储对三角a，b，c的数组大小不一致引起。如果输入的数组大小一致，则需要对代码进行相应修改。如图1所示的是对三角方程的求解过程。
参考文献：
[1] 现代数值计算/同济大学计算数学教研室编著.——2版. ——北京：人民邮电出版社，2021.12冲印