负对数似然(negative log-likelihood)

negative log likelihood

似然函数(likelihood function)

Overview

在机器学习中，似然函数是一种关于模型中参数的函数。“似然性(likelihood)”和"概率(probability)"词意相似，但在统计学中它们有着完全不同的含义：概率用于在已知参数的情况下，预测接下来的观测结果；似然性用于根据一些观测结果，估计给定模型的参数可能值。

Probability is used to describe the plausibility of some data, given a value for the parameter. Likelihood is used to describe the plausibility of a value for the parameter, given some data.

​ —from wikipedia${}^{[}3]$

其数学形式表示为：

假设$X$是观测结果序列，它的概率分布$f_x$依赖于参数$\theta$，则似然函数表示为

​ $$L(\theta |x)=f_{\theta }(x)=P_{\theta }(X=x)$$

Definition

似然函数针对**离散型概率分布(Discrete probability distributions)和连续型概率分布(Continuous probability distributions)**的定义通常不同.

离散型概率分布(Discrete probability distributions)

假设$X$是离散随机变量,其概率质量函数$p$依赖于参数$\theta$,则有

​ $$L(\theta |x)=p_{\theta }(x)=P_{\theta }(X=x)$$

$L(\theta |x)$为参数$\theta$的似然函数,$x$为随机变量$X$的输出.

Sometimes the probability of "the value of for the parameter value " is written as P(X = x | θ) or P(X = x; θ).

连续型概率分布(Continuous probability distributions)

假设$X$是连续概率分布的随机变量,其密度函数(density function)$f$依赖于参数$\theta$,则有

$$L(\theta |x)=f_{\theta }(x)$$

最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)

假设每个观测结果$x$是独立同分布的，通过似然函数$L(\theta |x)$求使观测结果$X$发生的概率最大的参数$\theta$，即$argma{x}_{\theta }f(X;\theta )$ 。

在“模型已定，参数未知”的情况下，使用最大似然估计算法学习参数是比较普遍的。

对数似然(log likelihood)

由于对数函数具有单调递增的特点，对数函数和似然函数具有同一个最大值点。取对数是为了方便计算极大似然估计，MLE中直接求导比价困难，通常先取对数再求导，找到极值点。

负对数似然(negative log-likelihood)

实践中,softmax函数通常和负对数似然(negative log-likelihood,NLL)一起使用,这个损失函数非常有趣,如果我们将其与softmax的行为相关联起来一起理解.首先,让我们写下我们的损失函数:

$$L(y)=-log(y)$$

回想一下,当我们训练一个模型时,我们渴望能够找到使得损失函数最小的一组参数(在一个神经网络中,参数指权重weights和偏移biases).

对数函数如下图红线所示：

由于是对概率分布求对数，概率$p$的值为$0\le p\le 1$,取对数后为红色线条在$[0,1]$区间中的部分，再对其取负数，得到负对数似然函数如下图所示：

我们希望得到的概率越大越好，因此概率越接近于1，则函数整体值越接近于0，即使得损失函数取到最小值。

最大似然估计的一般步骤如下:
(1) 写出似然函数;
(2) 对似然函数取对数,得到对数似然函数;
(3) 求对数似然函数的关于参数组的偏导数,并令其为0,得到似然方程组;
(4) 解似然方程组,得到参数组的值.

Reference

[1]王海良,李卓恒,林旭鸣.智能问答与深度学习[M].北京:电子工业出版社,2019:19-20.

[2]Lj Miranda.Understanding softmax and the negative log-likelihood.2017.

​ [link]https://ljvmiranda921.github.io/notebook/2017/08/13/softmax-and-the-negative-log-likelihood/

[3]wikipedia-likelihood function

​ [link]https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Log-likelihood