【滤波专题-第2篇】数字滤波器15分钟入门——IIR无限冲激响应滤波讲解

在上一篇文章中我们讲了FIR有限冲激响应的概念，今天就轮到无限冲激响应IIR了。

一、概念引入

上一篇中我们讲到，FIR是从滑动平均方法牵引出来的基于卷积的一种滤波方法，可以说FIR天然是具有直观的“数字处理”的特性的；而今天讲到的IIR方法是和物理世界有着对应的联系，或者说它是对“模拟滤波器”的数字表达。

如果你学习过模拟电路，那一定知道模拟电路中的滤波器设计：

 对于上图中的模拟滤波器，是有着对应的频响曲线的，比如低通滤波的频响曲线大概是这样：

目前IIR数字滤波器设计的最通用方法是借助于模拟滤波器的设计方法 [1]。模拟滤波器已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已经有的资源会给数字滤波器的设计代理很大的方便。

二、IIR滤波器的设计

IIR 滤波器设计的基本方法 [2]：先设计一个合适的模拟滤波器（模拟原型滤波器），然后利用复值映射把模拟滤波器变换成数字滤波器。

2.1 关于模拟原型滤波器

常用的模拟原值滤波器有很多种，比如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器、椭圆滤波器等。

他们的特点如下[3]：

■  巴特沃斯滤波器通带最平坦，阻带下降慢。
■  切比雪夫滤波器通带等纹波，阻带下降较快。
■  贝塞尔滤波器通带等纹波，阻带下降慢。也就是说幅频特性的选频特性最差。但是，贝塞尔滤波器具有最佳的线性相位特性。
■  椭圆滤波器在通带等纹波（阻带平坦或等纹波），阻带下降最快。

2.2 模拟滤波器到数字滤波器的变换

变换主要方法有脉冲响应不变法和双线性变换法。

脉冲响应不变法：从时域响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t) ，h(n)等于ha(t)的取样值。
双线性变换法：从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应逼近模拟滤波器的频率响应，进而求得数字滤波器的系统函数。

具体的数学推导涉及到比较复杂的概念，由于这篇文章作为入门的引子，这里不做具体的讲解了。有需要的同学建议参看奥本海姆的《信号与系统》或者这里。

三、对IIR滤波器的理解

IIR相对于FIR的最大区别就在于“无限冲激响应”，这个无限要怎么理解呢？

3.1 第一种理解方式：

可以从物理层面上去理解，就像之前举的例子，IIR是对模拟滤波器的复刻，当下图中的电路，在IN的位置给一个电压值后，电容会被充电，当IN的电压取消后（此时相当于给IN处加了一个冲激信号），电容的电量会被逐渐放掉，但是理论上永远不会变成0，所以输入信号会在后续无限长的时间内产生影响，也就是“无限冲激响应”。

3.2 第二种理解方式：

上一篇文章讲到，FIR滤波器的表达式为：

y[n]=a0x[n]+a1x[n−1]+a2x[n−2]+...

上式中的x代表待滤波数据，y代表输出数据。在FIR滤波器中，每一时刻的输出取决于之前的有限个输入，因此就是“有限冲激响应”。

与之对应的，IIR滤波器的表达式为：

上式通过将输入信号的值乘以“a”系数，将先前从输出信号计算的值乘以“b”系数，并将乘积相加，可以找到输出信号中的每个点，上式称为递归公式。

由于本步骤的输出会作为下一步骤的输入，无限递归下去，所以一个时刻的影响就是无限的，也就是“无限冲激响应”。

本篇文章先讲到这里吧，涉及到IIR的数学理论如果要深入研究还是比较艰涩的，鉴于本专栏更偏重于通用性、易读性和应用性的介绍，就不过多介绍了。对于IIR还有什么想知道的，可以在文章下边留言。

end.关于滤波专题

目前计划要讲到的包括：

-1.FIR有限冲激响应、IIR无限冲激响应数字滤波算法的理论讲解、滤波器设计方法和MATLAB代码实现
-2.滤波器滤波效果的评价指标
-3.“类EMD”方法（即包括EMD、EEMD、CEEMD、VMD等一系列方法）的滤波算法讲解与实现
-4.“类EMD”方法与ICA结合的滤波算法讲解与实现
-5.小波阈值滤波方法讲解与实现
-6.卡尔曼滤波方法讲解与实现
...（其他方法随时补充）

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参考

1. ^【DSP教程】第42章 IIR无限冲击响应滤波器设计 - 腾讯云开发者社区-腾讯云
2. ^https://isip.bit.edu.cn/docs/2016-05/20160511090607824812.pdf
3. ^几种滤波器的比较（巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔滤波器） | MCU加油站