傅里叶变换

图像一般分为空间域处理和频率域处理，空间域处理是直接对图像内的像素进行处理，主要划分为灰度变换、空间滤波两种形式。频率处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。傅里叶变换是一种常见的频域变换，它可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。

一：理论基础

法国数学家指出：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和的形式。它有三个关键的要素：频率、振幅、相位。

二：Numpy实现傅里叶变换

1、傅里叶变换

dst=numpy.fft.fft2(src)
dst：返回的复数数组
src：灰度图像

经过上述函数处理后，得到的频谱信息的零频分量位于频谱图像的左上角，为了便于观察，常用numpy.fft.fftshift()函数将零频率成分移动到频谱图像的中心位置。

对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组，为了显示图像，需要将其值调整到[0,255]的灰度空间内，使用公式：新像素值=20*np.log(np.abs(频谱值))

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/13.jpg",0)
f=np.fft.fft2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum=20*np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121)
plt.imshow(img,"gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")
plt.subplot(122)
plt.imshow(magnitude_spectrum,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")
plt.show()

2、实现逆傅里叶变换

如果在傅里叶变换中使用了numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换的过程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函数将零频率分量移动到原来的位置，再进行逆傅里叶变换。而函数numpy.fft.ifft2()可以实现逆傅里叶变换，它返回的是空间域复数数组，我们需要使用np.abs(逆傅里叶变换结果)将其信息调整到[0,255]灰度空间内。

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/13.jpg",0)
f=np.fft.fft2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
ishift=np.fft.ifftshift(fshift)
img1=np.fft.ifft2(ishift)
img2=np.abs(img1)

plt.subplot(131)
plt.imshow(img,"gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")
plt.subplot(132)
plt.imshow(img2,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")
plt.subplot(133)
img3=img2-img
plt.imshow(img3,"gray")
plt.title("result-original")
plt.axis("off")
plt.show()

通过逆傅里叶变换的图片会与原图存在一定的差异(应该是由精度差造成的的)，其差值如图result-original

3、高通滤波示例

如上图所示，original为原图，中间的result为原图进行傅里叶变换后的频谱图，右侧为对result进行高通滤波后的结果，将傅里叶变换结果图像中的低频信息都替换为0，从而实现高通滤波。

低频信号：图像内变换缓慢的灰度分量
高频信号：图像内变换较快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。

#############如下所示#################

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/5.jpg",0)
f=np.fft.fft2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
h,w=img.shape

plt.subplot(121)
plt.imshow(img,"gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")

fshift[int(h/2)-5:int(h/2)+5,int(w/2)-5:int(w/2)+5]=0
ifshift=np.fft.ifftshift(fshift)
image=np.fft.ifft2(ifshift)
image=np.abs(image)
plt.subplot(122)
plt.imshow(image,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")

三：Opencv实现傅里叶变换

1、实现傅里叶变换

dst=cv2.dft(src,flags=None)
dst：原始图像的频谱信息
src："原始图像”，要先使用np.float32()函数将其转换为np.float32格式
flage:通常为"cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT"，用于输出一个复数阵列

函数cv2.dft()返回的结果与使用numpy进行傅里叶变换得到的结果是一致的，但它返回的值是双通道的，第一个通道是结果的实数部分，第二个是虚数部分。同时需要使用函数numpy.fft.fftshift()将其零频分量移至频谱中心。此外，为了便于显示以及计算频谱信息幅度，需要使用以下公式进行转换：result=20*np.log(cv2.magnitude(实部，虚部))

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/5.jpg",0)
dft=cv2.dft(np.float32(img),flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift=np.fft.fftshift(dft)
result=20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0],dftshift[:,:,1]))

plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(result,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")
plt.show()

2、实现逆傅里叶变换

dst=cv2.idft(src)
注：在进行傅里叶变换后，如果使用函数numpy.fft.fftshift()移动了零频率分量，则在进行逆傅里叶变换前，要使用函数numpy.fft.ifftshift()将零频率分量恢复到原来位置。同时，在进行逆傅里叶变换后，得到的仍旧是复数，需要使用函数cv2.magnitude()计算其幅度。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/5.jpg",0)
dft=cv2.dft(np.float32(img),flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift=np.fft.fftshift(dft)
ishift=np.fft.ifftshift(dftshift)
image=cv2.idft(ishift)
image=cv2.magnitude(image[:,:,0],image[:,:,1])
plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(image,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")
plt.show()

2、低通滤波器示例

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img=cv2.imread("img/5.jpg",0)
dft=cv2.dft(np.float32(img),flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift=np.fft.fftshift(dft)
h,w=img.shape
mask=np.zeros((h,w,2),np.uint8)
mask[(int(h/2)-30):(int(h/2)+30),(int(w/2)-30):(int(w/2)+30)]=1
fshift=dftshift*mask

ishift=np.fft.ifftshift(fshift)
image=cv2.idft(ishift)
image=cv2.magnitude(image[:,:,0],image[:,:,1])
plt.subplot(1,2,1)
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.title("original")
plt.axis("off")

plt.subplot(1,2,2)
plt.imshow(image,cmap="gray")
plt.title("result")
plt.axis("off")
plt.show()