传染病模型3
一、研究方向
建立传染病的数学模型描述传染病的传播过程
分析感染人数的变化规律，预测传染病高峰的到来
探索控制、根除、预防传染病传播蔓延的手段
二、舱室
流行病学中的一大类模型，称为“舱室”模型，它是将人群分成若干个“舱室”，各个舱室之间会有转移率（变化率），用数学模型语言来描述整个系统，就得到一个微分方程组，但往往是没有解析解的，这就需要利用 MATLAB 进行数值求解。
S (Susceptible)易感者：指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；
E (Exposed)暴露者：指接触过感染者但暂无传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；
I (Infectious)感染者：指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I；
R (Recovered)治愈者：指治愈后具有免疫力的人，如终身免疫性传染病，则不会再变为 S、E 或 I，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而可被感染。
参数
时间：一般考虑离散时间，以天为最小时间单位。
t 时刻各类人群占总人口的比例分别记为 S(t), E(t), I(t), R(t) ；各类人数所占初始比率为 S(0), E(0), I(0), R(0)，分别简记为S_0, E_0, I_0, R_0.
接触数 λ：每个感染者每天有效接触的易感者的平均人数；
发病率 δ：每天感染成为感染者的暴露者占暴露者总数的比例；
治愈率 μ：每天被治愈的感染者人数占感染者总数的比例；
平均传染期 1/μ：从感染到治愈的平均天数；
传染期接触数σ=λ/μ：每个感染者在整个传染期内，有效接触的易感者人数。
一、SI模型
考虑总人口由感染者（I）和易感者（S）两类人群构成，记 S(t) 为 t 时刻易感者占总人口的比例，I(t) 为 t 时刻感染者占总人口的比例，则 S(t)+I(t)=1.
SI 模型最简单，适合不会反复发作的传染病。
1.模型假设
假设1: 假设人群中个体分布均匀；
假设2: 假设人口总数足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数 S(t) 和 I(t) 可以视为连续且可微的；
假设3: 假设每个感染者每天“有效接触”的易感者人数为常数 λ，且一旦接触易感者立即被感染变为感染者，称为感染数 λ，反映本地区的卫生防疫水平；
假设4: 不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素，即假设所考察地区总人口 N 保持不变，这不适合长期传染病。
2.模型建立
根据假设 3，每个感染者每天的有效接触人数为 λS(t), 从而全部感染者 N∙I(t) 每天有效接触的易感者人数为 N∙I(t)∙λS(t), 这些易感者立即被感染成为感染者，故在Δt 时间内新增加的感染者人数为：
两边同除以 NΔt，考虑连续变化，令 Δt→0，则得到 SI 模型:
3.模型求解
该微分方程，也是我们熟悉的 Logistic 人口模型（总容纳量为 1），利用分离变量法可求得 SI 模型的解析解为：
用 SI 模型可以预报传染病暴发早期，患病人数的发展规律，并估算传染高峰到来的时间。
1）MATLAB求解
syms I(t) lambda I0%声明这些数为常数，不是变量
eqn= diff(I,t) ==lambda * I * (1-I);%dI/dt
cond = I(0) == I0;%初值
Isol(t) = dsolve(eqn, cond)%求解微分方程
2)取一组参数 λ=5, I_0=0.1，来考察传染病的传播规律（实际中是根据真实数据估计这些参数值）
计算 MATLAB 表达式 - MATLAB eval - MathWorks 中国
syms I(t) lambda I0%声明这些数为常数，不是变量
eqn= diff(I,t) ==lambda * I * (1-I);%dI/dt
cond = I(0) == I0;%初值
Isol(t) = dsolve(eqn, cond)%求解微分方程
lambda = 5;%给予常数实际值
I0 = 0.1;
Isol(t) = eval(Isol(t));%使用eval函数可以执行文本中的 MATLAB 表达式
ts = 0:0.01:2;
plot(ts, Isol(ts))
hold on%hold on主要是用于添加新绘图的时候保留当前绘图(保留上述微分方程解析解所绘图)
line=refline(0,1)%加一条参考线，在当前坐标区中添加一条具有斜率 m 和截距 b 的参考线。
line.Color = 'r';
axis([0 2 0 1.1]);
xlabel('时间'), ylabel('感染比例');
3) 当 I(t)=0.5 时，传染速度达到最大值，反解出该时刻 t_m：
当 t=t_m时，疫情最为猛烈，病人增加的速度最快。显然 t_m 与 λ 成反比，而 λ 为疾病的传染率，它反映了当地的医疗卫生水平， λ 越小，医疗卫生水平越高。所以改善保健设施，提高医疗卫生水平，降低 λ 值就可以推迟传染高潮的到来。
将参考线添加到绘图中 - MATLAB refline - MathWorks 中国
求解优化问题或方程问题 - MATLAB solve - MathWorks 中国
(13条消息) matlab中diff咋用,给我解释一下matlab中的diff函数_梓矜的博客-CSDN博客
dI = diff(Isol,1);
tm = solve(Isol(t)==0.5, t);%将t视为未知数求解，求解t的值代入tm
eval(tm)%将tm转化成matlab可以理解的形式
figure%创建图窗
plot(ts, dI(ts), tm, dI(tm), 'r*')
xlabel('时间'), ylabel('感染速度');SI 模型的解为 Logistic 增长曲线，患者比率 I(t) 从 I(0) 迅速上升，通过曲线的拐点后上升变缓。 该模型的缺陷是显而易见的：当 t→+∞ 时，I(t)→1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即感染者和易感者，而未考虑感染者会被治愈的情况。
延申： SIS 模型
有些传染病如伤风、痢疾等，虽然可以治愈，但治愈后基本上没有免疫力，于是患者愈后又变成易感者，这就是 SIS 模型。
SIS 模型只需在 SI 模型假设的基础上，增加一条假设：
假设 5：患者每天被治愈的人数比例为常数 μ（治愈率）
1.模型假设
SIS 模型的人群转移规律如下：
根据假设5，每天新增加的感染者人数 N∙I(t)∙λ∙S(t)，应该减去每天治愈的感染者人数为 N∙I(t)∙μ，同除以 N 得到
考虑连续变化，变成微分方程：
于是得到 SIS 模型为
若令 σ=λ/μ 表示一个感染者在整个感染期内有效接触的平均人数，称为传染期接触数。将 σ 代入上述方程中，得到 SIS 模型的另一种形式:
仍然可用分离变量法求得 SIS 模型的解析解：
1) 用 MATLAB 求 SIS 模型解析解
若记 K=1−1/σ，其实，就是 Logistic 人口模型的容纳量。
syms I(t) lambda I0 K% K = 1 - 1/ sigma
eqn = diff(I,t) == lambda * I * (K - I);
cond = I(0) == I0;
Isol(t) = dsolve(eqn, cond)
2) 传染病初期，感染率很小，不妨设 I_0<1−1/σ
若 σ>1 则 K>0，SIS 模型仍是 Logistic 人口模型，I(t) 呈 Logistic 曲线上升，当 t→+∞ 时，I(t)→1−1/σ.
取 λ=5, I_0=0, σ=5，对应 K=0.8，来考察传染病的传播规律：
(13条消息) subs函数_极客字节的博客-CSDN博客
Isol(t) = eval(Isol(t));
ts = 0:0.01:2;
plot(ts, Isol(ts))
hold on
line1 = refline(0, 1);
line1.LineStyle = '--';
line = refline(0, 1-1/sigma);
line.Color = 'r';
axis([0 2 0 1.1])
xlabel('时间'), ylabel('感染比例')
当 I(t)=1/2K=0.4 时，传染速度达到最大值，反解出该时刻：
dI = diff(Isol,1);
tm = solve(Isol(t) == K/2, t);
eval(tm)
figure
plot(ts, dI(ts), tm, dI(tm), 'r*')
xlabel('时间'), ylabel('感染速度')
axis([0 2 0 1])
3) 若 σ≤1 则 K≤0，此时 SIS 模型右端恒为负，故曲线 I(t) 将单调下降，当 t→+∞ 时，I(t)→0 取 λ=5, I_0=0.5, σ=0.8，对应 K=−0.25，来考察传染病的传播规律：
lambda = 5;
I0 = 0.5;
sigma = 5;
xm = 1-1/sigma;
Isol(t) = subs(eval(Isol(t)), K, xm);
figure
ts = 0:0.01:2;
plot(ts, Isol(ts))
hold on
line1 = refline(0, 1);
line1.LineStyle = '--';
line = refline(0, 1-1/sigma);
line.Color = 'r';
axis([0 2 0 1.1])
xlabel('时间'), ylabel('感染比例')
σ 是一个重要参数，还是决定了感染者在总人口中的占比是持续增加，还是持续减少。
考察 σ 的定义，因为 μ 是治愈率，则 1/μ 可看作平均传染期（患者被治愈所需的平均时间）而是感染率，所以表示整个感染期内每个患者有效接触而感染的平均（健康）人数，可称为感染数。 直观理解就是，若每个患者在生病期间因有效接触而感染的人数大于 1，那么患者比例自然会增加，反之，患者比例会减少。
可推导出的一个估计式为：
根据历史数据和该公式，可以估算。
二. SIR 模型
许多传染病如天花、流感、麻疹等，治愈后就有了终生免疫力，不会再成为易感者和被感染。 传染病模型中将病愈后免疫的人，称为移出者或治愈者（Removed），考虑易感者、感染者、移出者三类人群的传染病模型，称为SIR 模型。
1. 模型建立
SIR 模型的人群转移规律如下：
t 时刻移出者占总人口的比例为 R(t)，则有 S(t)+I(t)+R(t)=1，然后可以列出三类人群的变化率满足的关系：
初值条件为：I(0)=I_0, R(0)=R_0, S(0)=S_0.
注意到方程组中的第 3 个微分方程是多余方程（把第 1 个方程当多余的也可以），所以得到 SIR 模型：
初值条件为：S(0)=S_0, I(0)=I_0.
上述微分方程组是一阶非线性常微分方程组，尽管看起来简单，但是无法求出解析解，只能考虑数值解法。
2. 模型求解
（1）用 MATLAB 中的函数 ode45() 可以实现大多数微分方程（组）数值法求解
基本格式为：[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)
odefun 为定义微分方程（组）的关于 t 和 y 的向量值函数；
tspan 为自变量的求解范围；
y0 为初值条件向量.
返回值 t 和 y 为求解范围内一系列自变量和解函数的值对。
也可以返回一个量 sol，再配合 dveal(sol, t) 就可以计算任意t（向量）值处解函数的值。
使用 ode45() 函数的关键是，根据要求解的微分方程组把各个实参准备好，下面以 SIR 模型为例来演示。
odefun 实参
微分方程组表示为参数 odefun 所接受的标准形式，SIR 模型是一个二元微分方程组，有两个未知函数，两个微分方程，已经是标准形式：左边是未知函数的导数。要用向量 y 表示所有的未知函数（2个），则用二维列向量：y = [y(1); y(2)], 即 y(1) = S(t), y(2) = I(t).
对于标准形式的微分方程组，只需要把等号右边的各个表达式，分别作为对应的分量赋给向量 odefun 即可。
为了与模型表达式一致，这里用到“先定义含参量函数匿名函数，再对参量赋值去掉参量”的技术，这样也方便后续修改参数值。
先定义中间变量：关于 t, y, lambda, mu 的匿名函数 f，其中 lambda 和 mu 就是微分方程组中的参数，函数返回值定义为 SIR 模型右端表达式即可，注意未知函数要写成前面设定的 y 分量表示：y(1), y(2)
f = @(t, y, lambda, mu) [-lambda * y(1) * y(2)； lambda * y(1) * y(2) - mu * y(2)];然后对参量赋值：
lambda = 0.6; mu = 0.3;
再代入匿名函数f：SIRfun = @(t, y) f(t, y, lambda, mu);
这样，lambda 和 mu 已经分别换成数值 0.6 和 0.3, 函数只剩关于 t 和 y, 正好作为 odefun. y0 实参
ode45() 的参数
y0 根据模型 (SIR) 的初值条件，对应地向量化赋值即可：
S0 = 0.99; I0 = 0.01; y0 = [S0; I0];
tspan 实参
自由设定 t 的求解范围：tspan = [0, 50].
(2) MATLAB 求解 SIR 模型
% y(1) = S(t), y(2) = I(t)
f = @(t,y,lambda,mu) [-lambda * y(1) * y(2);lambda * y(1) * y(2) - mu * y(2)];
lambda = 0.6;
mu = 0.3;
SIRfun = @(t,y) f(t,y,lambda,mu);
S0 = 0.99;
I0 = 0.01;
y0 = [S0; I0];
tspan = [0, 50];
[t,y] = ode45(SIRfun, tspan, y0);
R = 1 - y(:,1) - y(:,2);
sol = ode45(SIRfun, tspan, y0);
t1 = 1:0.2:2;
deval(sol, t1)
plot(t, y(:,1), t, y(:,2),'r-.', t, R, 'k.');
xlabel('t'), ylabel('y(t)')
legend('S(t)', 'I(t)', 'R(t)')
改造：换一组参数值 λ=0.5, μ=0.4, S_0=0.99, I_0=0.01. 重新求解并绘图，只需要修改代码中的参数值即可（代码略），得到图形如下：
可见，易感者比例 S(t) 单调减少，移出者比例 R(t) 单调增加，都趋向于稳定值；而感染者比例 I(t) 先增后减趋于 0 (t→∞). S(t) 趋于的稳定值表示在传染病传播过程中最终没有被感染的人数比例；最大值点和最大值表示传染病高峰（感染者最多）到来的时刻和感染者比例。这些值可以衡量传染病传播的强度和速度。
感染率 λ 和治愈率 μ（假定死亡率很低）是影响传播过程的重要参数。社会卫生水平越高感染率 λ 越小，医疗水平越高治愈率 μ 越大，于是感染数σ=λ/μ 越小，有助于控制传染病的传播。
3.进一步讨论
制绘 I(t)-S(t) 相轨线：
若 S_0>1/σ，则 I(t) 先升后降至 0，表示传染病蔓延；若 S_0<1/σ，则单调降至 0，表示传染病不会蔓延开来。
1/σ 是一个临界点，为了让传染病不蔓延，需要调整 S_0 和1/σ，具体方法：一是降低 S_0，如接种疫苗，使 S 类人群直接变成 R 类；二是提高 1/σ 使之大于 S_0，又 σ=λ/μ，也就是降低 λ 和提高 μ 如强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。
三、舱室模型
1. 舱室模型建模方法
SIR 模型是“舱室”传染病模型的基础，可以进一步考虑更复杂的人群划分和转移，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期、抵抗能力、考虑地域传播、考虑传播途径（接触、空气、昆虫、水源等）等。
比如，
SEIS 模型：易感－暴露－感染－不免疫
SEIR 模型：易感－暴露－感染－移出（免疫）
SIRS 模型：易感－感染－短时免疫－易感
先来讨论“舱室”传染病模型，如何从舱室转移关系图到微分方程组模型。
回顾 SIR 模型，梳理舱室转移关系图与微分方程组模型之间的对应关系（稍作修改）：
每个舱室代表一类人群（占比），对应一个未知函数，箭头及标签表示舱室之间的转移关系和转移速度；
一个舱室表示为一个微分方程，左端导数代表该类人群变化速度；
微分方程右端式子：出的箭头就是“减”，入的箭头就是“加”，都是转移速度乘以来自的舱室函数；
整体流量（流入、流出）平衡，比如1式与2式中的两个同项，2 式与 3 式中的两个同项。
注意，由于以及流量平衡关系，这样表示出来的微分方程组，有一个微分方程是多余的（可由其余微分方程表示），数值求解时需要任意去掉一个。
所以，读者可以根据具体传染病的实际情况，建立任何复杂的舱室模型，只要先绘制出舱室转移关系图，然后按上述规律表示为微分方程组，再用ode45() 进行数值求解即可。
2.SEIR模型
在 SIR 模型的基础上，将已感染但处于潜伏期人群，称为暴露者 E，也考虑进来，即构建 SEIR 模型。
SEIR 模型考虑易感者、暴露者、感染者、移出者四类人群，适合有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病，如带状疱疹。
先绘制舱室转移关系图如下：
易感类 S 先以λI的速度转移到暴露类 E，再以α的速度转移到感染类 I，再以γ的速度转移到移出类 R. 再按前文的表示规律写出微分方程组：
由于 S+E+I+R=1 和流量平衡，有一个微分方程是多余的，去掉最后一个，得到 SEIR 模型：
满足初值条件：S(0)=S_0, E(0)=E_0, I(0)=I_0.
（1）MATLAB求解
用上节 MATLAB 求微分方程（组）数值解的方法进行求解，代码类似：
f = @(t,y,lambda,alpha,gamma) [-lambda * y(3) * y(1);
lambda * y(3) * y(1) - alpha * y(2);
alpha * y(2) - gamma * y(3)];
lambda = 0.6;
alpha = 0.5;
gamma = 0.3;
SEIRfun = @(t,y) f(t,y,lambda,alpha,gamma);
S0 = 0.98;
E0 = 0.01;
I0 = 0.01;
y0 = [S0; E0; I0];%初值
tspan = [0, 50];
[t, y] = ode45(SEIRfun, tspan, y0);
R= 1 - y(:,1) - y(:,2) - y(:,3);%y(:,1)是S
sol = ode45(SEIRfun, tspan, y0);
t1 = 1:0.2:2;
deval(sol,t1)%t1时刻的微分方程解
deval(sol,t1,1)%计算的三个分量中的第一个分量
t2=2.5;
deval(sol,t2)
plot(t, y(:,1), t, y(:,2),'r-.', t, y(:,3), 'k.', t, R, 'g')
grid on
xlabel('t'), ylabel('y(t)')
legend('S(t)', 'E(t)', 'I(t)', 'R(t)')
以上四种模型只是传染病传播的基本模型，还有很多没有考虑的因素，如人口的出生与死亡，迁入和迁出等，还可以考虑更细致的因素， 如人群流动速度、易感人群的年龄分布、不同人群对疾病的易感性，患病者的症状轻重，人口密度，医疗卫生程度，检验检疫手段， 政府重视程度， 隔离措施、人群心理因素等。这些因素都对暴露数、发病率、治愈率、传染期长度有着直接或间接的影响。根据需要自行添加延伸即可，原理相通。
四、案例：SARS的传播规律
前文模型都是假定参数感染率和治愈率等是常数，而在实际传染病传播过程中，它们会随着预防措施的加强与医疗水平的提高而发生变化。
本节考虑 2003 年建模国赛 C 题：（北京）SARS 疫情的传播。
SARS 爆发初期，限于卫生部门和公众对其认识不足，几乎是不受制约的自然传播方式；后期随着重视和治疗手段的增强，SARS 传播受到严格控制。
SARS 治愈后具有终生免疫，同时考虑参数的时变性，采用参数时变的 SIR 模型来对北京 SARS 传播规律进行建模。
实际中对传染病的传播规律建模，就是这样一个过程：
结合传染病传播特点，划分人群并梳理转化关系，绘制转移关系图，构建 微分方程组模型；
从真实的疫情数据出发，估计出接触率、感染率、移出率等模型参数；
代入模型参数，求解微分方程组模型。
1. 时变 SIR 模型
SARS 爆发时间不长，假设期间总人数不变，用 S(t), I(t), R(t) 分别表示第 t 天易感者、感染者、移出者（治愈 + 死亡）的人数，λ(t) 和 μ(t) 分别表示第 t 天的感染率和移出率（治愈率与死亡率之和）。建立参数时变的 SIR 模型如下：
由于 S(t) 远大于 I(t) 和 R(t)，且近似为常数，故可将 λ(t)S(t) 看作整体，仍记为 λ(t). 再考虑到多余方程（去掉第一个），得到
2. 模型求解
首先要确定具体参数值，即得到关于时间的参函数 λ(t), μ(t)，代入模型，再数值法求解微分方程组。
参函数 λ(t), μ(t) 需要根据具体的疫情数据拟合出来。
(1) 数据整理与可视化探索
北京 SARS 疫情数据（SARSBJ.xIsx）如下表所示：
从 4 月 20 日至 6 月 23 日共 65 天，改用时间列 1: 65 表示，代表第 1 天至第 65 天。
用 MATLAB 读取数据，并计算新列：
移出列 = 死亡列 + 治愈列
感染列 = 累计确诊病例列 - 移出列