关于向量值函数方程变分的一点注记

关于向量值函数方程变分的一点注记

有人说，自己做的都是标量解函数的偏微分方程变分，当遇到解函数是向量值函数时，就不知道有限元空间怎么取，变分也不知道怎么做了。其实是一样的，我这里做个注记。

预备知识

矩阵内积

矩阵内积（Frobenius 含义下的）定义为：
$$A:B=\sum _{i,j}{a}_{ij}{b}_{ij}$$
它表示的是矩阵的对应位置相乘最后再求和。

对于矩阵内积，我们有如下性质，

• $DA:B=A:D^{T}B$
• $AD:B=A:B{D}^T$
• $A:DB=D^{T}A:B$
• $A:BD=A{D}^T:B$

它从如下表达很容易看出：
$$A:B=\mathrm{tr}\left(A^{T}B\right)=\mathrm{tr}\left(A{B}^T\right)$$

函数向量的梯度

为了方便和统一，我们以后记标量的梯度是个列向量，而矢量的梯度是个矩阵，每一行都表示矢量的某个分量的梯度，即，形如：
$$\nabla \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc}{f}_x^1& f_y^1& f_z^1\\ f_x^2& f_y^2& f_z^2\end{array}\right)$$
有些地方，关于矢量梯度的定义差一个转置。那么，拉普拉斯算子为：
$$\Delta \mathbf{f}=\left(\begin{array}{c}\Delta f_{}^1\\ \Delta f_{}^2\end{array}\right)$$

有些人的这两个的定义跟我这里的定义差一个转置。做问题搞程序的时候，要搞清楚有没有转置。

向量值有限元空间

类似于标量函数的有限元空间，考虑向量值函数有限元空间，以二维向量值为例，可以定义为:
$$\mathbf{V}=\mathrm{span}\left\{\left[\begin{array}{c}{\phi }_1\\ 0\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}{\phi }_m\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_1\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_m\end{array}\right]\right\}:=\mathrm{span}\left\{\left({\varphi }_i\right)\right\}$$

常数矩阵可穿算子

所有用到常矩阵 $\mathbf{D}$ 的地方，是可以随意进出梯度和散度算子的，即 ${\nabla }_{}\mathbf{Du}=\mathbf{D}{\nabla }_{}\mathbf{u}$ ，且 $\mathrm{div}\mathbf{Du}=\mathbf{D}\mathrm{div}$ 。再 一个对于矩阵的散度和梯度算子，是支持分块矩阵的操作的。

举个简单的例子

有了以上的准备，我们举个简单的例子来看向量值解的方程的变分，
我们考虑这样一个例子:

$$\{\begin{array}{l}{u}_t-d_{uu}{\Delta }_{}u-d_{uv}{\Delta }_{}v=au(1-u)-b\frac{uv}{u+\alpha }\\ v_t-d_{vu}{\Delta }_{}u-d_{vv}{\Delta }_{}v=c\frac{uv}{u+\alpha }-dv\end{array}$$

令 $\mathbf{u}=[u,v{]}^T$ ，那么上面的方程组可以写为:
$${\mathbf{u}}_t-D\Delta \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{u})$$
做变分就得到：
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int {\nabla }_{}\mathbf{u}:{\nabla }_{}\left(D^T\mathbf{v}\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$
或者，
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int D{\nabla }_{}\mathbf{u}:{\nabla }_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$

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PS：
很多人不太理解，为什么 $D$ 写在了这个地方，第一个还多了一个转置。这个和我们对向量函数的定义有关。一般来说，我们喜欢把梯度定义为列向量，一列一列地来，但是上述的关于向量值函数的梯度，却是对每个分量求梯度，然后按行排的，这是反直觉的，所以导致了这个地方的 $D$ 并不是在 $\mathbf{u}$ 前面。
为了和标量函数的梯度是列向量这个事情统一，假设我修改向量值函数梯度和拉普拉斯的定义如下：
$$\nabla \mathbf{f}={\left(\begin{array}{ccc}{f}_x^1& f_y^1& f_z^1\\ f_x^2& f_y^2& f_z^2\end{array}\right)}^T$$
$$\Delta \mathbf{f}={\left(\begin{array}{c}\Delta f_{}^1\\ \Delta f_{}^2\end{array}\right)}^T$$
那么上述问题就应该写为：
$${\mathbf{u}}_t-(\Delta \mathbf{u}{D}^T{)}^T=\mathbf{f}(\mathbf{u})$$
此时我们再做变分，可以得到的是，
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int {\nabla }_{}\mathbf{u}{D}^T:{\nabla }_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$
再在 ${\nabla }_{}\mathbf{u}$ 和 ${\nabla }_{}\mathbf{v}$ 头上加转置变回原来的定义方式，就得到了最开始的上述的表达。

这几行 PS 描述，似乎有点扯淡，这是因为这种情况下，只要保持 ${\nabla }_{}\mathbf{u}$ 和 ${\nabla }_{}\mathbf{v}$ 定义的方向一致即可，所以不看也罢。

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接着考虑向量变分形式的有限元离散，向量有限元空间，定义为:
$$\mathbf{V}=\mathrm{span}\left\{\left[\begin{array}{c}{\phi }_1\\ 0\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}{\phi }_m\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_1\end{array}\right],\dots ,\left[\begin{array}{c}0\\ {\phi }_m\end{array}\right]\right\}:=\mathrm{span}\left\{\left({\varphi }_i\right)\right\}$$
和标量有限元离散同样的套路，令
$$\mathbf{u}=\sum _{i=1}^n{u}_i{\varphi }_i$$
依次取 $\mathbf{v}={\varphi }_i$ ，做向量形式的有限元离散，最后可得:
$$M{u}_t+Au={\left[f_u\left({\varphi }_i\right)\right]}_{n\times 1}$$
其中，
$$M={\left[\int {\varphi }_i\cdot {\varphi }_j\right]}_{n\times n}$$
$$A={\left[\int {\nabla }_{}{\varphi }_i:D{\nabla }_{}{\varphi }_j\right]}_{n\times n}$$
$$f_u\left({\varphi }_i\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot {\varphi }_i$$
事实上，这个离散系统本质上和对原方程组两个式子分别做变分（用同一个测试空间），最后再拼接组合成一个代数方程组是一样的，即:
$$\left(\begin{array}{cc}{M}_s& 0\\ 0& M_s\end{array}\right)u_t+\left(\begin{array}{cc}{d}_{uu}{A}_s& d_{uv}{A}_s\\ d_{vu}{A}_s& d_{vv}{A}_s\end{array}\right)u={\left[\left\{f_1\left(\mathbf{u},{\phi }_i\right)\right\},\left\{f_2\left(\mathbf{u},{\phi }_i\right)\right\}\right]}^T$$
这里的 $M_s$ 和 $A_s$ 的下标 $s$ 表示的是 $u,v$ 所同属的空间 $V$ 中的质量矩阵和刚度矩阵。