梯度的直观理解_MP9：重新认识向量场：方向导数、偏导数、梯度

本讲对高等数学中学习的方向导数、偏导数、梯度进行回归。主要体现在两个新的思想认识，即：

矢量就是方向导数算子

1-形式就是梯度

我们首先确认方向导数是方向向量和梯度的双线性映射。这种双线性映射可以表达为内积的形式，方向向量和梯度的分量互为对方的线性组合系数。

然后，我们回顾方向导数的定义，确认向量可以定义为给标量函数求方向导数的东西，这种定义的好处是它只依赖于局部结构，而不需要原点或者位置的概念。

接着，我们继续上讲中关于1-形式的讨论，发现梯度和1-形式是相等的。它们不仅在运算结果上相等，在几何直观上也是等效的，于是我们确认1-形式就是梯度。

以上的讨论使我们脱离了过去在平直的线性空间中固有的思维关系，为进一步推进到微分流形奠定了基础。

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上一讲谈到：作为1-形式，

体现了基

的线性组合，几何上看，就是这一组具有固定梯度的平行平面系，通过系数（偏导数

）组合，构成了具有任意

梯度的平行平面。 善人之资：MP8：局部线性化：从Taylor展开到微分形式​zhuanlan.zhihu.com

这一讲我们仍然不去碰微分流形，而是在

中进一步讨论场论的问题，并且前面关于1-形式的理解融合到场论中。

回顾我们所理解的向量场：方向导数、偏导数、梯度

关于我们过去在多元微积分和矢量分析与场论中所学到的方向导数、偏导数、梯度的基本概念，在给中学生写的高等数学的系列中有直观的阐明，需要复习请参考：

善人之资：Gap5：方向导数、偏导数、梯度、全微分​zhuanlan.zhihu.com

在

中，记自然基为

，记偏导数求导符号为

：

方向导数（directional derivative）：

是数量函数

以向量

作为方向求导所得到的导数，它也是一个数量函数

偏导数(partial derivative):

是

沿自然基向量

方向求得的方向导数

梯度（gradient）:

在某点上沿所有方向求导时，在某个方向达到最大方向导数，梯度

是一个矢量，其分量是各个坐标上的偏导数。

在某点上沿所有方向求导时，在梯度

的方向达到最大方向导数，其大小就是梯度的长度。

方向导数是方向向量和梯度的双线性映射。将来我们会知道，方向向量和梯度是一对对偶空间，故写成：

实际上可以写为内积形式：

这个式子有很多个理解的角度。我们可以将方向导数视为以方向向量

的各分量作为线性系数，将偏导数进行线性组合。i.e.,

作为某种基，通过方向

上分量的组合构成了函数的总变化率，即方向导数。

换个角度理解向量：向量就是那个可以求方向导数的家伙

我们发现，前面所讨论的方向导数

本身的性质是和具体的函数

无关的。从算子的角度分析，将

上的所有光滑（无限次可微，方便讨论）标量场/数量函数的集合记为

，那么任何一个函数

都是形如以下的映射：

于是方向导数

、梯度

、偏导数

都可以视作算子。方向导数

作为算子视作偏导数算子

的线性组合：

这里用了Einstein求和约定。注意：偏导数也是一种方向导数，偏导数之间是线性无关的，所有偏导数构成一个基。

基于我们原先的知识和直观理解，我们认为

上的向量场是在

的每一点上密密麻麻生长出来的箭头：

我们理解的向量场

现在，为了学习强大的微分几何（理论物理横扫四大力学的神器），我们需要换一个角度理解向量：

向量就是那个 可以给函数求方向导数的家伙

这句话来自[Baez]，推荐阅读：

[Baez 2009] 规范场、纽结和引力​book.douban.com

我们过去理解的那堆箭头可以表述为

，这是在

中的自然表述，它偏重于

点或者 位置的概念。，而方向导数

算子是由这堆箭头

所决定的，在每一个

上，都可以对任意光滑函数在

的方向求导的算子。既然箭头和方向导数如此对应，索性就把向量定义为：

可以给函数求方向导数的家伙

相比于前面偏重于点或位置的定义，这样的定义偏重于向量的方向和长度。

前面提到方向导数

作为算子可以视作偏导数算子

的线性组合：

于是我们用算子重新定义

上的向量

：在

点上，对任意函数都有偏导数算子

。以偏导数算子

为基进行线性组合得到

向量

在

的每一点如此定义，得到向量场：

我们把

称为点

上向量的基，这种定义方式已经有了

向量丛的味道，以后详谈。

作为对偶向量的梯度

我们回到梯度。

在某点上沿所有方向求导时，在某个方向达到最大方向导数，梯度

是一个矢量，其分量是各个坐标上的偏导数。

在某点上沿所有方向求导时，在梯度

的方向达到最大方向导数，其大小就是梯度的长度。

前面我们知道向量就是用来给函数求方向导数的。那么任意给一个向量

都决定了一个方向导数：

注意到，在

附近（凡是讲到附近就意味着存在无限小的领域），方向导数是两个矢量

和

的内积，确切地说，是

和

的内积。若是给定了向量场

，而让

去变化又如何？

前面我们学过对偶空间和对偶向量，不难验证，此刻

是相对于

的对偶向量：

我们印象中的梯度

是一个

向量。这里，我们看到，确切地说梯度是一个 对偶向量。

梯度与1-形式

上一讲的最后谈到：1-形式

体现了基

的线性组合，几何上看，就是这一组相互正交的超平面元，通过系数（偏导数

）组合，构成了具有任意

梯度的超平面元。我们有意在那里提到梯度，就是为了联想到刚才我们所谈到的，作为对偶向量的梯度。

1-形式的几何意义是具有梯度的超面元。

代表了

一组相差为常数的，体现为平行超平面的线性函数，这一组线性函数求微分后得到了相同的

。对1-形式可以展开为：

这里解读为，以梯度

的分量为线性系数，可以在基

上通过线性组合构建1-形式。即梯度决定1-形式。反过来，上一讲谈到，1-形式是超平面元，超平面确定了梯度。于是，我们现在认为

梯度等效于1-形式。

令向量

在基

中表为：

那么方向导数则为

由于

以上两个Einstein求和（线性组合）项再做内积，通过Kronecker符号消去大部分，仅留下指标

的情况，于是整理式子得到：

通过以上一对对偶向量

和

在一对对偶基

和

上的运算，我们得到了方向导数

。再根据前面的讨论

对任意向量

成立，我们有：

即1-形式就是梯度。

小结

这一讲中我们得到两个新的观点：

矢量就是方向导数算子
1-形式就是梯度

并且，也直观认知到了矢量和1-形式互为对偶向量，

和

互为对偶基。固定点上的这两类向量-对偶向量构成对偶空间，这就是微分流形上切空间-余切空间的雏形。有这一讲的铺垫，我们将来会比较容易地把这些概念推广到微分流形上。