【国科大矩阵论】2021秋季叶世伟矩阵论考试计算题
写在前面
tips：题目矩阵A具体数值不记得了，例子来源于书上,与考试的题目接近。
参考资料
1、《矩阵论讲稿》——张凯院，西北工业大学
2、《矩阵论》第四版——张凯院，西北工业大学出版社
计算题 1
原题大意：
子空间 V = { X = ( x i ) 2 × 2 ∣ x 3 − x 4 = 0 , x i ∈ R } ， T X = X B 。 V=\left\{X=\left(x_{i}\right)_{2 \times 2} \mid x_{3}-x_{4}=0, x_{i} \in \mathbf{R}\right\}，TX=XB。 V={X=(xi)2×2∣x3−x4=0,xi∈R}，TX=XB。求子空间V的标准正交基，证明线性变换T是对称变换，求V中的一个基使T在该基上的矩阵为对角矩阵。
例子：
设矩阵空间的子空间 R 2 × 2 R^{2{\times}2} R2×2为 V = { X = ( x i j ) 2 × 2 ∣ x 11 + x 12 + x 21 = 0 , x i j ∈ R } V=\left\{X=\left(x_{i j}\right)_{2 \times 2} \mid x_{11}+x_{12}+x_{21}=0, x_{i j} \in \mathbf{R}\right\} V={X=(xij)2×2∣x11+x12+x21=0,xij∈R}
V V V中的线性变换为 T ( X ) = X + X T ( ∀ X ∈ V ) T(X)=X+X^{\mathrm{T}}(\forall X \in V) T(X)=X+XT(∀X∈V)
求V的一个基，使T在该基上的矩阵为对角矩阵。
答案：
（1）先求V中的简单基
（2）按照公式 T ( X ) = X + X T T(X)=X+X^{\mathrm{T}} T(X)=X+XT计算
** 问：求V标准正交基怎么计算？首先对简单基进行正交化，然后再进行单位化。 **
例题：
答案：
计算题2
原题题目： 给出矩阵A和b，问有关矩阵A的Hermite标准形、A的满秩分解、求A+，最小二乘解。
例子：
A = [ 1 1 0 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ] , b = [ 1 2 1 ] A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right],b=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right] A=⎣⎡121121031211211⎦⎤,b=⎣⎡121⎦⎤
1.求A的Hermite标准形
2.求A的满秩分解；
3.求 A + \boldsymbol{A}^{+} A+;
4.求线性方程组Ax=b极小范数最小二乘解 x.
答案：
A = [ 1 1 0 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ] — 行 变 换 — > B = [ 1 1 0 2 2 0 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 ] A=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] {—^{行变换}—>}B= \left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] A=⎣⎡121121031211211⎦⎤—行变换—>B=⎣⎡1001000102−102−10⎦⎤
所以 A的Hermite标准形为B
- A = F G A = FG A=FG
根据上一题的Hermite标准形的1所在的列
可以得出F取A第1和第3列
F = [ 1 0 2 3 1 1 ] F=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}\right] F=⎣⎡121031⎦⎤
G就是Hermite标准形的非零的两行
G = [ 1 1 0 2 2 0 0 1 − 1 − 1 ] G=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right] G=[1010012−12−1]
3 .记住该公式 A + = G + F + \boldsymbol{A}^{+} = \boldsymbol{G}^{+} \boldsymbol{F}^{+} A+=G+F+
G + = G T ( G G − 1 ) − 1 = G T [ 10 − 4 − 4 3 ] − 1 = G T 1 14 [ 10 − 4 − 4 3 ] − 1 = 1 14 [ 3 4 3 4 4 10 2 − 2 2 − 2 ] \boldsymbol{G}^{+} = \boldsymbol{G}^{T} (\boldsymbol{G} \boldsymbol{G}^{-1}) ^{-1} = \boldsymbol{G}^{T} \left[\begin{array}{lllll} 10 & -4 \\ -4 & 3 \end{array}\right] ^{-1} = \boldsymbol{G}^{T} {\frac{1}{14}}\left[\begin{array}{lllll} 10 & -4 \\ -4 & 3 \end{array}\right] ^{-1} = {\frac{1}{14}}\left[\begin{array}{lllll} 3 & 4 \\ 3 & 4 \\ 4 & 10 \\ 2 & -2 \\ 2 & -2 \end{array}\right] G+=GT(GG−1)−1=GT[10−4−43]−1=GT141[10−4−43]−1=141⎣⎢⎢⎢⎢⎡334224410−2−2⎦⎥⎥⎥⎥⎤
F + = ( F T F ) − 1 F T = [ 6 7 7 10 ] − 1 F T = 1 11 [ 10 − 7 − 7 6 ] F T = 1 11 [ 10 − 1 3 − 7 4 − 1 ] \boldsymbol{F}^{+} = (\boldsymbol{F}^{T} \boldsymbol{F}) ^{-1}\boldsymbol{F}^{T} = \left[\begin{array}{lllll} 6 & 7 \\ 7 & 10 \end{array}\right] ^{-1} \boldsymbol{F}^{T}= {\frac{1}{11}}\left[\begin{array}{lllll} 10 & -7 \\ -7 & 6 \end{array}\right] \boldsymbol{F}^{T}= {\frac{1}{11}}\left[\begin{array}{lllll} 10 & -1 & 3 \\ -7 & 4 &-1 \end{array}\right] F+=(FTF)−1FT=[67710]−1FT=111[10−7−76]FT=111[10−7−143−1]
A + = G + F + = 1 154 [ 2 13 5 2 13 5 − 30 36 2 34 − 10 8 34 − 10 8 ] \boldsymbol{A}^{+} = \boldsymbol{G}^{+} \boldsymbol{F}^{+} =\frac{1}{154}\left[\begin{array}{lllll} 2 & 13 & 5 \\ 2 & 13 & 5 \\ -30 & 36 & 2 \\ 34 & -10 & 8\\ 34 & -10 & 8 \end{array}\right] A+=G+F+=1541⎣⎢⎢⎢⎢⎡22−303434131336−10−1055288⎦⎥⎥⎥⎥⎤
4.
x = A + b = 1 14 [ 3 3 4 2 2 ] T x = \boldsymbol{A}^{+}\boldsymbol{b} = \frac {1}{14}\left[\begin{array}{lllll} 3 & 3 & 4 & 2 & 2 \end{array}\right] ^{T} x=A+b=141[33422]T