【国科大矩阵论】2021秋季叶世伟矩阵论考试计算题

写在前面

tips：题目矩阵A具体数值不记得了，例子来源于书上,与考试的题目接近。

参考资料

1、《矩阵论讲稿》——张凯院，西北工业大学
2、《矩阵论》第四版——张凯院，西北工业大学出版社

计算题 1

原题大意：
子空间$V=\left\{X={\left(x_i\right)}_{2\times 2}\mid x_3-x_4=0,x_i\in \mathbf{R}\right\}，TX=XB。$求子空间V的标准正交基，证明线性变换T是对称变换，求V中的一个基使T在该基上的矩阵为对角矩阵。

例子：
设矩阵空间的子空间$R^{2\times 2}$为$V=\left\{X={\left(x_{ij}\right)}_{2\times 2}\mid x_{11}+x_{12}+x_{21}=0,x_{ij}\in \mathbf{R}\right\}$
$V$中的线性变换为$T(X)=X+X^{\mathrm{T}}(\forall X\in V)$
求V的一个基，使T在该基上的矩阵为对角矩阵。

答案：
（1）先求V中的简单基

（2）按照公式$T(X)=X+X^{\mathrm{T}}$计算

** 问：求V标准正交基怎么计算？首先对简单基进行正交化，然后再进行单位化。 **
例题：

答案：

计算题2

原题题目： 给出矩阵A和b，问有关矩阵A的Hermite标准形、A的满秩分解、求A+，最小二乘解。

例子：
$$A=\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 0& 2& 2\\ 2& 2& 3& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$$
1.求A的Hermite标准形
2.求A的满秩分解；
3.求${\mathbf{A}}^{+}$;
4.求线性方程组Ax=b极小范数最小二乘解 x.

答案：

$$A=\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 0& 2& 2\\ 2& 2& 3& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]{—}^{行变换}—>B=\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 0& 2& 2\\ 0& 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
所以 A的Hermite标准形为B

2. $A=FG$

根据上一题的Hermite标准形的1所在的列

可以得出F取A第1和第3列
$$F=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 2& 3\\ 1& 1\end{array}\right]$$
G就是Hermite标准形的非零的两行
$$G=\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 0& 2& 2\\ 0& 0& 1& -1& -1\end{array}\right]$$

3 .记住该公式$${\mathbf{A}}^{+}={\mathbf{G}}^{+}{\mathbf{F}}^{+}$$
$${\mathbf{G}}^{+}={\mathbf{G}}^T(\mathbf{G}{\mathbf{G}}^{-1}{)}^{-1}={\mathbf{G}}^T{\left[\begin{array}{ll}10& -4\\ -4& 3\end{array}\right]}^{-1}={\mathbf{G}}^T\frac{1}{14}{\left[\begin{array}{ll}10& -4\\ -4& 3\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{14}\left[\begin{array}{ll}3& 4\\ 3& 4\\ 4& 10\\ 2& -2\\ 2& -2\end{array}\right]$$
$${\mathbf{F}}^{+}=({\mathbf{F}}^T\mathbf{F}{)}^{-1}{\mathbf{F}}^T={\left[\begin{array}{ll}6& 7\\ 7& 10\end{array}\right]}^{-1}{\mathbf{F}}^T=\frac{1}{11}\left[\begin{array}{ll}10& -7\\ -7& 6\end{array}\right]{\mathbf{F}}^T=\frac{1}{11}\left[\begin{array}{lll}10& -1& 3\\ -7& 4& -1\end{array}\right]$$
$${\mathbf{A}}^{+}={\mathbf{G}}^{+}{\mathbf{F}}^{+}=\frac{1}{154}\left[\begin{array}{lll}2& 13& 5\\ 2& 13& 5\\ -30& 36& 2\\ 34& -10& 8\\ 34& -10& 8\end{array}\right]$$
4.
$$x={\mathbf{A}}^{+}\mathbf{b}=\frac{1}{14}{\left[\begin{array}{lllll}3& 3& 4& 2& 2\end{array}\right]}^T$$