二叉树详解一万字（基础版）看着一篇就够了
目录
一、树的概念与结构：
1.1树的结构
1.2树的相关概念
1.3树的表示
二、二叉树的概念与结构
2.1概念
满二叉树
完全二叉树
二叉树的存储结构·
堆的概念与结构：
2.2堆的操作
1.堆的调整（向上调整和向下调整两种）
2.堆的构建
3.其他基础操作
4.堆排序
/* 5.Top-k问题
三、二叉树的基本操作：
二叉树的遍历
二叉树的高度：
求第k层中的节点的个数
其他基础操作：
树的概念与结构：
1.1树的结构
树的结构是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个节点组成的一个有层次的关系集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说他是根朝上，而叶朝下。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
所以树是被递归定义的（一个问题可以分成几个子问题并且具有相同的解决办法）
（就像这样将根节点去掉，它就是多个树，它只有一个前驱，但是可以有多个后继）
注意：树的结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为这个节点的度；比如上图中A的度为6，D的度为1；
叶节点或者终端节点：度为0的节点叫做叶节点，就像上图中的BHIPQ...,就是每个枝端最后的一个节点
非终端节点或者分支节点：度不为0的节点，如上图中的DEFGJ
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，那么这个节点就称为其子节点的父节点，如上图：A就是BCDEFG的父节点
D就是H的父节点
孩子节点或者子节点:一个节点含有子树的根节点叫该节点的子节点：如上图：BCD就是A的子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点就互相为兄弟节点；就像上图中：BCD是，IJ也是。
树的度：一颗树中，最大节点的度叫做树的度；如上图树的度是。
节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的节点是第二层......
树的高度或深度：树中节点的最大层次，如上图树的深度为4、
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；就像上图中的HI\HK；
节点的祖先：从根节点到该节点所经分支上所有的节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某个节点为根的子树中任意的节点都称该节点的子孙。如上图：所有节点都是A子孙
森林：由 m（M>0）棵不相交的树的集合叫做森林。
1.3树的表示
树的表示法有：
1.孩子表示法：就是每个节点保存值域与孩子的指针域。注意：有几个孩子就需要几个指针域，节点中的字段个数：要比树的度大一（要保存值域）
就像A就需要4个字段，三个孩子的指针域和一个值域
优势：找某个节点的孩子很方便
缺点：找双亲不是很方便
2.双亲表示法：
每个节点既要保存值域，也要保存双亲的位置，也就是每个节点需要两个字段
优势：找某个节点的双亲时比较方便
缺点：找某个节点的孩子不是很方便
3.孩子双亲表示法
孩子表示法+双亲表示法结合起来
每个节点既要保存值域，还要保存其双亲与孩子的地址
4.孩子兄弟表示法
每个节点既要保存第一个孩子的节点还要保存下一个兄弟的节点与节点中的数据域
typedef int DataType;
struct Node
{ struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};
二叉树的概念与结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 空
2. 由一个根节点以及加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
一个节点最多只有两个孩子，可以一个都没，或者只有一个节点
二叉树的左右子树也是一个二叉树，定义也是递归的，二叉树有左右之分的，二叉树是有序树。
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
满二叉树
每层的节点个数都是2^(i-1)
完全二叉树
假设二叉树的高度为h，前h-1层达到了最大值，第h层的节点是从左到右依次排列的
假设二叉树中有n个节点，如果该二叉树中前N个节点与高度相同的完全二叉树的前n个节点相同，那么就叫二叉树为完全二叉树
二叉树的性质
1.若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点
2.若规定根节点的层数为1，那么深度为h的二叉树的最大节点个数为2^-1（等比数列的前n项和）
3.对任意的一颗二叉树，如果度为0，其叶节点的个数为n0，度为二的分 支节点个数为n2，则有n0 = n2+1；通俗的说就是度为0的节点比度为2的节点个数多1个
n0 = 3;
n2 = 2;
n0 = n2+1;
这个方法是用总边数证明的
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2^(n+1）(ps： 是log以2
为底，n+1为对数)
完全二叉树计算出来可能是小数，需要向上取整,就是大于其最近的一个整数
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
好处：二叉树可以用数组来进行，完全二叉树用数组进行储存空间浪费较少
二叉树的存储结构·
二叉树一般有两种存储结构，一种是顺序结构一种是链式结构，顺序结构更适合完全二叉树，否则会有大量的空间浪费，二叉树在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
对于顺序结构：
对于链式结构来说：
使用链表来构建一颗树，在来链表的节点中保存数据域和左右指针域。链式结构又分为二叉链和三叉链。
二叉树的顺序结构：
普通二叉树不适合使用数组来储存，会造成大量的空间浪费，完全二叉树适合顺序结构进行储存。现实中我们通常使用堆来进行储存（注意，这里的堆和操作系统中的虚拟空间不是一个东西，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一段区域分段）
堆的概念与结构：
说明白点，堆就是从小到大或者从大到小的完全二叉树
所以，堆的性质就是，堆中的某个节点总是不大于或者不小于它的父节点，堆总是一个完全二叉树
小堆也叫小根堆，大堆也叫大根堆
2.2堆的操作
1.堆的调整（向上调整和向下调整两种）
对于堆的调整相当于是对数组的一种调整，将数组的首地址传进来，要调整的数组的长度，相当于是退出的循环条件，向下传给进来parent（root），向上传给child（size-1），然后再用一个表示另外一个。将参数传进来之后进行比较，先比较两个孩子，找出小的那个，然后交换较小孩子和双亲节点，在比较左右孩子的时候要保证右孩子也存在才可以进行比较，就是child+1 交换之后再将双亲节点往下走一个。注意，这里的调整每次只是调整堆顶元素。 堆的构建就是将数组中的元素传进来，将它的逻辑结构变成我们需要的堆的结构 将传入的数组使用堆中的数组进行接收，为其开辟空间，然后将数组拷贝进来，，注意memcpy的使用方法，第一个参数的是要拷贝到的地方，第二个参数是从哪拷贝，第三个参数是拷贝多少个字节。 然后重置堆的空间和有效元素个数，最后进行调整，注意要向上调整，因为这里不能确定除了堆顶元素以外其他的子树都满足完全二叉树，所以要从倒数第一个非叶子节点开始调整，用一个循环让他保证每次调整完之后都是拿到了最大或者最小的元素，类似冒泡排序 在二叉树的基本操作中，有很多都是运用递归的思想 所有的基本操作都是基于二叉树的基本概念： 1.空树（空树也是树） 2.根以及左子树以及右子树，概念是递归的 所谓二叉树的遍历是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点中操作一次 遍历之后的结果是；123456 下面使用三张图来解释这个操作 注意概念，一个是空树就返回0，不是空树就是左子树和右子树 哪个子树的高度大就给哪个高度加一 直接求高度不好求，如果能知道子树的高度，在较高的子树基础上+1，就是二叉树的高度 这个就是加了一个比较，判断哪一个高度较大，然后进行+1； //发现二叉树的定义是递归的，所以求树的时候直接考虑根节点和其两个子树的就差不多/调整树相当与调整一个数组，将地址元素传进来之后我们不知道它有多少个节点，所以将元素的个数也传进来，调整的对象就是parent
void AdjustDown(DataType array[], int size, int parent) {
int child = parent * 2 + 1;//child标记parent的左孩子，树是完全二叉树，先有左再有右孩子
while (child < size) {
//在保证有右孩子的时候，找两个孩子之中较小的孩子，要不会使得数组越界
//因为是完全二叉树，所以可以使用child+1
//向上调整
void AdjustUp(DataType array[], int size, int child) {
int parent = (child - 1) / 2;
while (child) {
if (array[child] < array[parent]) {
Swap(array[child], array[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
}
}2.堆的构建
/先将输入的这些元素拷贝到堆中的数组之中
void HeapCreat(Heap* hp, DataType* a, int n) {
hp->array = (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * n);
if (hp->array == NULL) {
assert(0);
return;
}
hp->CapaCity = n;
memcpy(hp->array, a, sizeof(DataType) * n);//注意这个函数拷贝的时候第三个参数就是拷贝的是字节的大小
hp->size = n;
//对堆进行调整
// 这个的调整方式就是需要保证除了叶子节点其他的都满足堆的特性，所以要先要求后边为堆
//因为不能保证每次调整的时候都是完全二叉树，所以需要从下边的倒数第一个非叶子节点开始往上调整
//最后一个叶子节点的下标是n-1，求他的双亲就是(n-1-1）/2
for (int root = (n - 2) / 2;root >= 0;root--) {
//每次减去1就是往上进行调整每一棵树，最后0就是调整n
AdjustDown(hp->array, hp->size, root);
}
}
3.其他基础操作
检查堆的空间是否足够
//与顺序表中的类似，，都是使用二倍开辟，然后将元素拷贝进去
void CheckHeap(Heap *hp) {
assert(hp);
if (hp->CapaCity == hp->size) {
int newCapaCity = hp->CapaCity * 2;
DataType* temp = (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * newCapaCity);
if (temp == NULL) {
assert(0);
printf("空间申请失败！！！");
return;
}
memcpy(temp, hp->array, sizeof(DataType) * hp->size);
free(hp->array);
hp->array = temp;
hp->CapaCity = newCapaCity;
}
}
//堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, DataType x) {
assert(hp);
CheckHeap(hp);
hp->array[hp->size] = x;
hp->size++;
AdjustUp(hp->array, hp->size, hp->array[hp->size]);
}
//堆的插入就是将元素插入后再次调整，保证堆的结构完整
//插入到最后一个元素，然后再往上调
//堆的删除
void HeapPop(Heap* hp) {
if (HeapEmpty(hp)) {
return;
}
//堆中有元素
//进行交换
Swap(&hp->array[0], &hp->array[hp->size - 1]);
//堆中的元素个数减一
hp->size--;
//将堆顶的元素往下调
AdjustDown(hp->array, hp->size, 0);
}
//将堆顶元素删除，再进行调整，再将个数减一
//删除的方法是将最后一个元素和堆顶的元素进行交换，然后size--，最后一个元素就访问不到了，之后再进行调整
//获取堆顶元素
DataType HeapTop(Heap* hp) {
assert(hp);
return hp->array[0];
}
//比较简单，就是将数组的第一个元素a[0]输出就行
//堆中数据的个数
int HeapSize(Heap* hp) {
assert(hp);
return hp->size;
}
//就是将堆中的个数输出就行
//堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp) {
assert(hp);
return 0 == hp->size;//如果堆元素的个数为0的话就会返回真
}
//直接就是判断堆元素个数是否为04.堆排序
/堆的排序就是
/*
1.建堆 升序就是建大堆，将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
因为利用堆排序的思想就是建立堆之后1利用堆删除的思想，将堆顶最大的或者最小的元素与最后一个
叶子节点交换位置，如：建立大堆的话就是将最大的元素放到了最后边，实现了升序的功能
调整好之后将堆顶元素与最后一个元素进行交换位置，然后让size-1；
*/
Heap* LessSort(int array[], int size) {
//实现利用堆思想从小到大排序，就是要把大的元素放到后边，所以建大堆
int lastNodeLeaf = (size - 2) / 2;
for (int root = lastNodeLeaf;root >= 0;root--) {
AdjustDown(array, size, root);
}
//利用堆删除的思想进行排序
int end = size - 1;
while (end) {
swap(&array[0], &array[end]);
AdjustDown(array, end, 0);
end--;
}
}/*
5.Top-k问题
* 因为数据量可能太大导致无法运行或者需要时间太长，这时候如果要求前k个最大的或者最小的元素
* 先把前k个元素进行加建堆，如果是要进行求前k个最大的元素，就i要建小堆，把较小的元素放到首位然后
* 与n-k中较大的元素进行替换，然后再进行调整，保证每一次替换出去的都是最小的哪一个
* 前k给最小的也是一样的，只不过要建一个大堆，保证每次换出去的都是较大的哪一个元素
*/二叉树的基本操作：
1.二叉树的遍历
// 二叉树前序遍历
//假设现在就是遍历之后打印输出，使用递归，出口是为空树的时候
void PreOrder(BTNode* root) {
if (NULL == root)
return;
printf("%d", root->data);
PreOrder(root->left);//遍历左边就是把二叉树当做一个新的树进行操作
PreOrder(root->right);
}
二叉树的高度：
int BInaryTreeHeight(BTNode* root) {
if (NULL == root)
return 0;
int LeftHeight = BInaryTreeHeight(root->left);
int RightHeight = BInaryTreeHeight(root->left);
return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}
求第k层中的节点的个数
// 二叉树第k层节点个数
/*
* 思路：
* 树是空树就返回0 k也不能小于0
* 直接求不好求，想想是否可以转化为子问题，即到其子树中求，应用递归找到它的k-1层
*/
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL || k <= 0) return 0;
//如果k等于1，就返回节点总数1
if (k == 1) return 1;
//root存在，而且大于1.就要去root子树中求k-1中求节点个数
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) +
BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
其他基础操作：
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
if (root == NULL) return 0;
return 1 + BinaryTreeSize(root->left) +
BinaryTreeSize(root->right);
}
// 二叉树叶子节点个数
//叶子节点的个数就是求左子树中的叶子节点个数加上右子树中叶子节点的个数
//直接求不好求如果知道左子树中叶子节点的个数加上右子树叶子节点的个数就行
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
if (root == NULL) return 0;
//这里代表它已经不是空节点了，再加上一个判断，判断是叶子节点,然后让他返回一个1
if (NULL == root->left && root->right)
return 1;
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
// 二叉树第k层节点个数
/*
* 思路：
* 树是空树就返回0 k也不能小于0
* 直接求不好求，想想是否可以转化为子问题，即到其子树中求，应用递归找到它的k-1层
*/
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL || k <= 0) return 0;
//如果k等于1，就返回节点总数1
if (k == 1) return 1;
//root存在，而且大于1.就要去root子树中求k-1中求节点个数
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) +
BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为x的节点
//或运算有短路原则，如果第一个表达式不成立才会往右子树中去
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, Datatype x) {
if (root == NULL) return NULL;
//再在子树中寻找是否有x
if (root->data == x) {
return root;
}
BTNode* ret;
//用来接收寻找结果,用来判断接着往下走
ret = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret != NULL) return ret;
//为NULL就是没找到，不为空说明找到了，ret发生改变了，直接返回就行
//如果左边没找到直接返回右边就行
return BinaryTreeFind(root->right, x);
或者也可以一步写
//BTNode* ret;
//(ret = BinaryTreeFind(root->left, x) || ret == BinaryTreeFind(root->right, x));
//return ret;
}
//二叉树的高度
int BInaryTreeHeight(BTNode* root) {
if (NULL == root)
return 0;
int LeftHeight = BInaryTreeHeight(root->left);
int RightHeight = BInaryTreeHeight(root->left);
return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}