FFT快速傅里叶算法——基2FFT时域抽取基本原理解析

学习数字信号处理时学到如果直接对有限长的序列进行N点DFT，那么其需要进行$N^2$次的复数乘以及复数加运算，其算法复杂度十分高，将会浪费大量时间在计算过程中。为此研究了FFT（快速傅里叶算法）这里给大家介绍两种：时域抽取法(DIT-DFT)和频域抽取法（DIF-FFT）。

时域抽取法：设有一序列$x(n)$的长度为N，且满足$N=2^M$,M为自然数。按$n$的奇偶性分成两个$N/2$的子序列。
$$x_1(r)=x(2r)r=0,1,2\dots N/2-1$$
$$x_1(r)=x(2r-1)r=0,1,2\dots N/2-1$$
则$x(n)$的DFT为

再将其中的$X_1(k)$和$X_2(k)$拆分出来，显然可以得到。

并且我们可以得到奇偶序列都是以$N/2$为周期的，且根据旋转因子的对称性可以得到$W_N^{k+N/2}=-W_N^k$
那么$X(k)$可以表示为

这样就可以简单的将N点的DFT分为N/2点的DFT。
这里需要引进一种计算符号：蝶形运算符

显然可以看出：一次蝶形运算需要一次复数乘与两次复数加来合成。

回到上文我们已经明白如何把N点DFT拆分成2个N/2点DFT运算了。以此类推我们可以知道最简单的是：将N点DFT经过M次（$M=lbN$）拆分可以获得最效率的运算方式。这里可以用蝶形图十分直观的表现出来。（我会在另一篇文章上详细的解析如何绘画蝶形运算流图）。

因此我们可以得到经过DIT-FFT处理后只需要进行N/2M次复数乘以及NM次复数加相比DFT快速许多。