线性规划单纯形法python实现与代码详细解读

1 单纯形法（Simplex method）

1. 单纯形法是线性规划求解的经典方法之一，它的理论基础在于线性规划的解一定可以在顶点，即基可行解处取得。
2. 举个简单例子，大家熟悉的二元线性规划中，目标函数的直线在坐标系上移动，在与可行域的交界处会取得最优解，即使目标函数与边界线相重合，也必然会有顶点位于该重合的直线上，即在顶点处必然会取得最优解。
3. 基于以上论述，单纯形法就是从一个基可行解开始，通过一次改变一个基变量，从而实现从当前顶点转至下一个顶点的过程，结合基变量的模型表达式如下：
   $max{c}_B{X}_B+c_N{X}_N$
   $s.t.B{X}_B+N{X}_N=b$
   $X_B\ge 0,X_N\ge 0$

2 编程思路

对于单纯形法的编程实现，其主要基于单纯形表，即约束系数矩阵，约束常数项以及检验数组成，通过初等行变换不断构建列线性无关的基，观察检验数的变化，当检验数表示其他变量入基不会带来更好的目标时，也就达到了最优解，具体的过程解读以及内在含义将在下方结合代码说明。

3 python实现原理解读

鉴于博主也为算法小白，源代码参考于运筹系列1：线性规划单纯形法python代码
原博主的代码实现方式非常简洁，但对于初学者而言还是会相对难以理解，本文也旨在对其做较为详细的说明与解读。

1. 数据准备
   该算法的输入为一个已有一组基的单纯形表，目标函数取最大值，如下表

$\left(\begin{array}{cccccccc}1& 14& 6& 0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & & & & \\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 4\\ & & & & & & & \\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 2\\ & & & & & & & \\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 3\\ & & & & & & & \\ 0& 3& 1& 0& 0& 0& 1& 26\\ & & & & & & & \\ (x_1& x_2& x_3& x_4& x_5& x_6& x_7& b)\\ & & & & & & & \end{array}\right)$

在该矩阵中，第一行(row)的含义为目标函数值由非基变量表达的式子，即$Z={\sigma }_j{X}_j+Z_0$,其第一行即为 $Z=X_1+14X_2+6X_3+0$ 注意，第一行最后一列为$Z_0$，由于该算例的初始基可行解均为辅助变量，即$X_4，X_5，X_6，X_7$ ，则刚好原问题中的初始变量的$c_j$都得以保留。（在一般问题当中也较为普遍，若每一行都添加了辅助变量来构造初始基可行解）

由于此时目标函数由一系列非基变量的线性组合构成，即与基变量的取值无关，则可通过该表达式观察是否有更好的解，在此例中，可观察$X_2$的系数最大，即$X_2$增加一个单位，目标函数值即可增加14个单位，则$X_2$应当入基从而获得更优基。 没错，这一行的实际意义就是检验数${\sigma }_j=c_j-{\sum }_{i=1}^m{c}_m{a}_{ij}$, 即该非基变量增加一个单位，其收益$c_j$与在约束条件下，基变量随其增加1而相应减少的收益${\sum }_{i=1}^m{c}_m{a}_{ij}$之差，这个式子也好理解，比如看矩阵第五行，即第四个约束条件，若$X_2$增加一个单位，则为了满足约束，基变量$X_7$需减少3个单位，其收益损失$c_7\ast a_{57}=0\ast 3=0$个单位，其余基变量也同理，这也就是检验数的实际效果。

根据以上推断，在编写代码时，我们要做到不断的变换基变量，直至：

1. 第一行表达式中的非基变量如果入基，则其需要离开表达式，保证表达式中没有基变量，否则变换非基变量，基变量同样也会改变，则目标函数值变化方向不定，检验数失去效果。
2. 第一行的前七个数均小于零，即满足最优性检验条件

有了这样的准则，我们只需编写数据读取与初始化操作，出基入基操作(pivot)，与最优性判断条件（嵌在solve方法中）。

4 python代码

1. 数据读取与初始化
   数据如下：

1 14 6 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 4

1 0 0 0 1 0 0 2

0 0 1 0 0 1 0 3

0 3 1 0 0 0 1 6

##matrix即为上面展示的矩阵
matrix = np.loadtxt("data.txt", dtype=float)
(b_num, c_num) = matrix.shape
# b_num为约束行数加第一行的目标函数表达式行，c_num为约束系数列加上常数项b列
indexes_B = list(range(c_num - b_num, c_num - 1)) #基变量列表
solve()
printSol()

2. 出基入基操作Pivot()

def pivot():
    # 求转入基变量的列索引id
    l = list(matrix[0][:-1])
    index_intoB = l.index(max(l))#即取检验数的最大值列索引

    # 算出基变量在表中的行索引，用b列除以入基变量列后的值进行比较判断
    col_inB = []#入基的基变量的列，看哪个基变量出基
    for i in range(b_num):
        if matrix[i][index_intoB] == 0:
            col_inB.append(0.)
        else:
            col_inB.append(matrix[i][-1] / matrix[i][index_intoB])
    index_outB = col_inB.index(min([x for x in col_inB[1:] if x > 0]))#取b/aij的最小值，否则其他约束会不可行

    #将基变量列表中进行新旧基的替换
    indexes_B[index_outB - 1] = index_intoB #index_outB - 1为实际出基变量在基变量列表中的索引，因为矩阵第一行是c，约束矩阵A从第二行开始
    cur_cell_to1 = matrix[index_outB][index_intoB] #新基的应为1的位置当前的数值
    matrix[index_outB] /= cur_cell_to1 #该行全部除以该值，使其为1，即该行标准化

    #通过行变换将其他行非零元去除
    #注意，这一操作对第一行也执行了，是在将表达式中的新基变量也给消除！用其他非基变量来表示！第一行的最后一个数值极为z0，即目标函数值！
    for row in [x for x in range(b_num) if x != index_outB]:
        cur_cell_to0 = matrix[row][index_intoB]
        matrix[row] -= cur_cell_to0 * matrix[index_outB]
        

3. 算法执行与最优性检验

def solve():
    flag = True
    while flag:
        if max(list(matrix[0][:-1])) <= 0:  # 直至所有系数小于等于0
            flag = False
        else:
            pivot()

def printSol():
    for i in range(c_num - 1):
        if i in indexes_B:
            print("x" + str(i) + "=%.2f" % matrix[indexes_B.index(i) + 1][-1])
        else:
            print("x" + str(i) + "=0.00")
    print("objective is %.2f" % (-matrix[0][-1]))
    

4. 整体代码（考虑编译先后顺序）

import numpy as np

def pivot():
    # 求转入基变量的列索引id
    l = list(matrix[0][:-1])
    index_intoB = l.index(max(l))#即取检验数的最大值列索引

    # 算出基变量在表中的行索引，用b列除以入基变量列后的值进行比较判断
    col_inB = []#入基的基变量的列，看哪个基变量出基
    for i in range(b_num):
        if matrix[i][index_intoB] == 0:
            col_inB.append(0.)
        else:
            col_inB.append(matrix[i][-1] / matrix[i][index_intoB])
    index_outB = col_inB.index(min([x for x in col_inB[1:] if x > 0]))#取b/aij的最小值，否则其他约束会不可行

    #将基变量列表中进行新旧基的替换
    indexes_B[index_outB - 1] = index_intoB #index_outB - 1为实际出基变量在基变量列表中的索引，因为矩阵第一行是c，约束矩阵A从第二行开始
    cur_cell_to1 = matrix[index_outB][index_intoB] #新基的应为1的位置当前的数值
    matrix[index_outB] /= cur_cell_to1 #该行全部除以该值，使其为1，即该行标准化

    #通过行变换将其他行非零元去除
    #注意，这一操作对第一行也执行了，是在将表达式中的新基变量也给消除！用其他非基变量来表示！第一行的最后一个数值极为z0，即目标函数值！
    for row in [x for x in range(b_num) if x != index_outB]:
        cur_cell_to0 = matrix[row][index_intoB]
        matrix[row] -= cur_cell_to0 * matrix[index_outB]

def solve():
    flag = True
    while flag:
        if max(list(matrix[0][:-1])) <= 0:  # 直至所有系数小于等于0
            flag = False
        else:
            pivot()

def printSol():
    for i in range(c_num - 1):
        if i in indexes_B:
            print("x" + str(i) + "=%.2f" % matrix[indexes_B.index(i) + 1][-1])
        else:
            print("x" + str(i) + "=0.00")
    print("objective is %.2f" % (-matrix[0][-1]))

matrix = np.loadtxt("data.txt", dtype=float)
(b_num, c_num) = matrix.shape
# b_num为约束行数加第一行的目标函数表达式行，c_num为约束系数列加上常数项b列
indexes_B = list(range(c_num - b_num, c_num - 1)) #基变量列表
solve()
printSol()

5 后记

博主研究方向是高速铁路运行图（大规模混合整数规划）的优化，现在正在啃整数规划的基础原理，这个单纯形法是我研学之路的开始，未来会对各类整数规划经典问题进行学习并分享我的经验，欢迎大家交流！