【二】头歌平台实验-离散数学逻辑与推理
主要介绍基本逻辑运算，利用逻辑推理解决相关问题。
第1关：命题与逻辑
编程要求：编程得出(P→Q)∧R的真值表的所有结果。
#coding=utf-8
import sympy as sym
# 定义符号p，q，r。
#***** Begin *****#
p =sym.symbols("p")
q =sym.symbols("q")
r =sym.symbols("r")
#***** End *****#
# 输出(p->q)^r。
#***** Begin *****#
sym.pprint(r&(p>>q))
#***** End *****#
# 依次输出 (p->q)^r 的真值表。
#***** Begin *****#
N=[False,True]
print( '{:10} | {:10} | {:10} | {:10}'.format('p','q','r','(p>>q) & r'))
for i in N:
for j in N:
for k in N:
if i==True and j==True and k==False:
pass
else:
print('{:10} | {:10} | {:10} | '.format(str(i),str(j),str(k)),end='')
sym.pprint(((p>>q)&r).subs({p:i, q:j,r: k}))
#***** End *****#
结果显示：
相关知识
1、命题
具有真假意义的陈述句被称为命题。例如，“地球围着太阳转。”（真），“地球围着月亮转。”（假），为了对命题作逻辑演算，我们使用大写字母P,Q,R,...表示命题，称为命题符号。命题的真假我们用0和1表示，真为1，假为0。
2、逻辑联结词
若干个命题可以通过逻辑联结词构成新的命题，称之为复合命题。复合命题的子命题也可以是复合命题，我们称不是复合命题的命题为简单命题，它不包含任何联结词。复合命题的真值依赖于其中的简单命题的真值。有如下五个常用的联结词。
- 否定：设命题
P，与P的真值取值相反的复合命题被称为命题P的否定，记作┐P，读作非P。 - 真值表如下：
使用“sympy”库表示：
import sympy as sym
p = sym.symbols("p")
sym.pprint(~p) # 使用 ~ 符号表示非
sym.pprint((~p).subs({p:True})) # 假设p为真，输出非p的值。结果为：
┐p
False
- 合取：设
P,Q是两个命题，复合命题“P并且Q”称为P和Q的合取，记为P∧Q，读作P合取Q，规定P∧Q为真当且仅当P与Q同时为真。真值表如下：
使用“sympy”库表示：
import sympy as sym
p, q = sym.symbols("p q")
sym.pprint(p & q) # 使用 & 符号表示合取
# 假设p真q真，输出p合取q的值。
sym.pprint((p & q).subs({p:True, q：True}))结果为：
p∧q
True
- 析取：设
P,Q是两个命题，复合命题“P或者Q”称为P和Q的析取，记为P∨Q，读作P析取Q，规定P∨Q为真当且仅当P与Q中至少一个为真。真值表如下：
使用“sympy”库表示：
import sympy as sym
p, q = sym.symbols("p q")
sym.pprint(p & q) # 使用 | 符号表示析取
# 假设p真q假，输出p析取q的值。
sym.pprint((p | q).subs({p:True, q：False}))结果为：
p∨q
True
- 蕴含：设
P,Q是两个命题，复合命题“如果P，则Q”称为P蕴含Q，记为P→Q，读作P蕴含Q，称P为条件，Q为结论。规定P→Q为假当且仅当P为真而Q为假。真值表如下：
使用“sympy”库表示：
import sympy as sym
p, q = sym.symbols("p q")
sym.pprint(p >> q) # 使用 >> 符号表示蕴含
# 假设p真q假，输出p蕴含q的值。
sym.pprint((p >> q).subs({p:True, q：False}))结果为：
p→q
False
- 等价：设
P,Q是两个命题，复合命题“P当且仅当Q”称为P等价于Q，记为P↔Q，读作P等价于Q，规定P↔Q为真当且仅当P与Q同时为真。真值表如下：
使用“sympy”库表示：
import sympy as sym
p, q = sym.symbols("p q")
# 没有特定的符号表示用析取式表达。
sym.pprint((p >> q) & (q >> p))
# 假设p真q假，输出p等价于q的值。
sym.pprint((p >> q) & (q >> p).subs({p:True, q：False}))结果为：
(p→q)∧(q→p)
False
第2关：命题函数的等价
#coding=utf-8
import sympy as sym
# 定义符号p,q,r。
#***** Begin *****#
p, q, r = sym.symbols("p q r")
#***** End *****#
# 定义命题函数f=(p->q)^(p->r)和 g=p->(q^r)。
#***** Begin *****#
f = sym.Function("f")(p, q , r)
g = sym.Function("g")(p, q, r)
f = (p >> q) & (p >> r)
g = p >> (q & r)
#***** End *****#
# 输出命题函数f,g。
#***** Begin *****#
sym.pprint(f)
sym.pprint(g)
#***** End *****#
# 依次输出两个命题函数的真值表。
#***** Begin *****#
N=[False,True]
for i in N:
for j in N:
for k in N:
print(f.subs({p:i,q:j,r:k}),g.subs({p:i,q:j,r:k}))
#***** End *****#
# 直接判断两个函数是否等价。
#***** Begin *****#
print(f.equals(g))
#***** End *****#相关知识：
1、命题函数
运用若干个命题以及逻辑联结词进行的组合，我们称为命题公式。例如，P,Q,R均为一个命题，有关它们的函数f(P,Q,R)=（P∧Q）∨R被称为命题函数，我们来看这个命题函数的真值表：
对于四则运算我们有运算的优先级，而对于逻辑联结词我们则有联结词的优先级，五种联结词的运算优先级按如下次序由高到低： 规定括号()内的逻辑运算最先被计算。例如，我们有如下命题公式： 我们可以将其化简为： 使用“sympy"库来创建一个命题函数：
p,q = sym.symbols("p,q")
f = sym.Function("f")(p, q)
f = p >> q2、命题函数的等价
如果命题函数具有相同的真值表，那么它们在逻辑上是等价的。例如我们有如下两个命题函数：
它们的真值表为：
由于真值表相等，两个命题函数在逻辑上也相等。
p,q = sym.symbols("p,q")
f = sym.Function("f")(p, q)
g = sym.Function("f")(p, q)
f = p >> q
g = ~p | q
print(f.subs({p:True,q:True}),g.subs({p:True,q:True}) )输出为：
p→q
q∨┐p
True True
第3关：等值演算
#coding=utf-8
import sympy as sym
# 定义符号p,q。
#***** Begin *****#
p,q=sym.symbols("p,q")
#***** End *****#
# 使用函数验证两个命题公式是否等值，输出结果
#***** Begin *****#
def fun(a, b):
ff = a.subs({p:False,q:False}) == b.subs({p:False,q:False})
ft = a.subs({p:False,q:True}) == b.subs({p:False,q:True})
tf = a.subs({p:True,q:False}) == b.subs({p:True,q:False})
tt = a.subs({p:True,q:True}) == b.subs({p:True,q:True})
if ff and ft and tf and tt:
print(True)
else:
print(False)
f = p&q
g = q&p
fun(f, g)
#***** End *****#
# 将等值演算的每一步命题公式用变量stepx保存,例如step0 = p|~((~q|p)&q)
#***** Begin *****#
step0 = p|~((~q|p)&q)
step1 = p|~(0|(p&q))
step2 = p|~(p&q)
step3 = p|(~p|q)
step4 = (p|~p)|~q
step5 = (1|~q)
#***** End *****#
# 使用函数fun(a,b)验证等值演算每一步。例如，fun(step0, step1)
#***** Begin *****#
fun(step0, step1)
fun(step1, step2)
fun(step2, step3)
fun(step3, step4)
fun(step4, step5)
#***** End *****#相关知识：
1、常用的等值式
我们将一个命题公式的每一组真值（即真值表中的一行）称为该命题公式的一个解释。
设G是一个命题公式，若G在它的所有解释下均为真，则称G为重言式，或称G是永真的。
设G是一个命题公式，若G在它的所有解释下均为假，则称G为矛盾式，或称G是永假的。
设G是一个命题公式，若至少有一个解释使得G为真，则称G为可满足式，或称G是可满足的。
G是永真的，当且仅当非G是永假的，重言式一定是可满足式，反之不然。 若两个命题公式P，Q在其任何解释下，相应的真值均相同，则称P与Q等值，记为P≡Q。
常用的等值式如下：
幂等律：
结合律：
交换律：
分配律：
双重否定律：┐┐p
p
吸收律：
零律：
同一律：
补余律：
┐p
┐p
德摩根律：┐（p
)┐p 
┐q;┐(pq)┐p
┐q
2、等值演算
等值关系是一个等价关系，正是由于这种性质，使得我们可以从某个逻辑公式出发，经过有限次使用常用的等值式，推演出另外一些逻辑公式，这一过程称为等值演算。
例如，证明如下逻辑公式为重言式：
第4关：推理规则
#coding=utf-8
import sympy as sym
# 定义符号p,q。
#***** Begin *****#
p,q=sym.symbols("p,q")
#***** End *****#
# 输出析取三段论，中间逗号使用析取符号。
#***** Begin *****#
sym.pprint((~p & (p |q)) >> q)
#***** End *****#
# 按照例子验证析取三段论为重言式。
#***** Begin *****#
def fun(a):
tt = (a).subs({p:True, q:True})
tf = (a).subs({p:True, q:False})
ft = (a).subs({p:False, q:True})
ff = (a).subs({p:False, q:False})
if tt and tf and ft and ff: # 判断四种解释是否为真
print(True)
else:
print(False)
fun((~p & (p |q)) >> q)
#***** End *****#
# 判断((p -> q) ^ q) -> p 是否为重言式。
#***** Begin *****#
fun(((p >>q)&q)>>p)
#***** End *****#相关知识：
1、推理规则
推理理论：设G和H是两个命题公式，若G→H是重言式，则称H是G的逻辑结果，或称G蕴含H，记为G⇒H。符号⇒是个关系词，而不是逻辑联结词。
由联结词→的定义知，G→H是重言式，当且仅当对G,H的任意解释I，若I满足G，则I也满足H。因此，G⇒H的充要条件是，满足G的解释均满足H。
一些基本的蕴含式：
附加：
化简：
合取：
假言推理：
析取三段论：
拒取式：
假言三段论：
构造性二难：
使用“sympy”库验证附加蕴含式为重言式：
import sympy as sym
p,q = sym.symbols('p q')
sym.pprint(p >> (p | q))
def fun(a):
tt = (p >> (p | q)).subs({p:True, q:True})
tf = (p >> (p | q)).subs({p:True, q:False})
ft = (p >> (p | q)).subs({p:False, q:True})
ff = (p >> (p | q)).subs({p:False, q:False})
if tt and tf and ft and ff: # 判断四种解释是否为真
print(True)
else:
print(False)
fun(p >> (p | q))结果为：
p→(p∨q)
True
可以看到所有解释都为真，输出真，即证为重言式。
-END-