材料力学公式大赏

截面几何

知识点	符号或公式	备注
横截面积	A	A矩形=bh，A圆环 = $\frac{\pi }{4}$(D2-d2)，A薄壁圆环≈2πδ
静矩	Sz = ∫A ydA	截面坐标系默认右y上z，截面对过形心的轴的静矩为零
单侧静矩	Sz*=∫单侧A ydA	常用于计算弯曲切应力，且其常沿中心轴成抛物线分布，在中性轴处最大
形心	zC = $\begin{array}{c}\underline{{\int }_{A}z\mathrm{d}A}\\ A\end{array}=\begin{array}{c}\underline{S_y}\\ A\end{array}$	C为形心，可用Sy=Azc来计算静矩；yc三角=$\frac{h}{3}$
惯性积	Iyz = ∫A yzdA	可正可负，y、z轴相互垂直，若有一个是对称轴，则Iyz=0
惯性矩	Iz = ∫A y2dA	IzC为形心主惯性矩，且Iz ≥ Izc
极惯性矩	Iρ = ∫A ρ2dA	Iρ = ∫A(y2+z2)dA = Iy+Iz
主惯性轴	无	主惯性轴为一对正交坐标轴，且截面对它们的惯性积为0
主惯性矩	Iz	截面图形对主惯性轴的惯性矩
惯性半径/回转半径	iz = $\sqrt{\begin{array}{c}{I}_z\\ \overline{A}\end{array}}$，iρ = $\sqrt{\begin{array}{c}{I}_{\rho }\\ \overline{A}\end{array}}$	由I = i2A所得，iz圆 = $\frac{d}{4}$
平行移轴公式	Iz = Izc + a2A	a为z轴到中性轴的距离，对惯性积也有Iyz=Iyzc+abA
扭转截面系数	$W_{\rho }=\begin{array}{c}\underline{I_{\rho }}\\ R\end{array}$	用于等截面圆轴
圆环截面惯性矩	$I_z=\frac{1}{64}$πD4(1-α4)	α = $\begin{array}{c}d\\ \overline{D}\end{array}$为内外径之比
圆环截面弯曲截面系数	$W_z=\frac{1}{32}$πD3(1-α4)	α = $\begin{array}{c}d\\ \overline{D}\end{array}$为内外径之比
圆环截面极惯性矩	$I_{\rho }=\frac{1}{32}$πD4(1-α4)	Iρ为Iz的一半
圆环截面扭转截面系数	$W_{\rho }=\frac{1}{16}$πD3(1-α4)	Wρ为Wz的一半
弯曲截面系数	$W_z=\begin{array}{c}{I}_z\\ \overline{y_{max}}\end{array}$	用于等截面梁
矩形截面惯性矩	Iz = $\frac{1}{12}$bh3	b//z，h⊥z，可记为Iz = $\frac{1}{12}$//⊥3
矩形截面弯曲截面系数	Wz = $\frac{1}{6}$bh2	b//z，h⊥z，Wz = Iz÷$\frac{h}{2}$，可记为Wz = $\frac{1}{6}$//⊥2

·若截面对于过某点的一对主惯性轴的两惯性矩相等，则过该点的任一对正交坐标轴皆为主惯性轴
·若截面的对称轴数≥3，则其任意形心轴皆为形心主惯性轴，且形心主惯性矩皆相等

材料测定

符号
σp=比例极限，σe=弹性极限
σs=屈服极限，低碳钢等塑性材料、拉伸常用；σb=强度极限，灰铸铁等脆性材料、压缩常用
σbs=挤压应力，σc=压缩应力，σt=拉伸应力，σu=极限应力

应力理论

知识点	公式	单位/备注
延伸率	δ=$\frac{l_1-l}{l}$×100%	用于衡量材料的塑性
截面收缩率	ψ=$\frac{A-A_1}{A}$×100%	也用于衡量材料的塑性
塑性应变	εp=ε-εe=$\frac{\Delta L}{L}-\frac{\sigma }{E}$	对卸载后的试样立即重新加载会产生冷作硬化
泊松比的定义	v=$-\begin{array}{c}\underline{{\epsilon }_y}\\ {\epsilon }_x\end{array}$	横、轴向变形之比，一边伸长，另一边就缩短
两大应力	σ=正应力，τ=切应力	由力与微面积之比定义，单位一般为MPa
薄壁圆筒应力	σ’·πDδ=$\frac{p\pi D^2}{4}$，σ’’·2δL’=pDL；σ’=$\frac{pD}{4\delta }$，σ’’=$\frac{pD}{2\delta }$	δ为筒壁厚，p为内压，σ’为轴向压力，σ’'为周向压力
切应力互等定理	∑Mz = (τydxdz)·dy-(τxdydz)·dx = 0 ⇒ τx = τy	在两垂直平面上，切应力成对存在且大小相等
应力圆	以(σx,τxy)为0°端点，(σy,-τxy)为180°端点作圆	坐标系横σ竖τ，圆上转角为实际转角的两倍
应力圆	应力圆与σ轴的两交点为两个主应力	也可用应力圆法用εα，εα+90°求ε’，ε"，但对应的γxy=εα+εα+90°-2εα+45°
三向应力圆	由三个主应力所做的三个圆，一般是平面加一σ	应力可取最大圆之内，两小圆之外的任一点，τmax = $\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_1-{\sigma }_3}\\ 2\end{array}$
两大模量	E=弹性模量，G=剪切模量	由胡克定律定义，单位一般为GPa
四大刚度	EA=拉压刚度，GA=剪切刚度	EIz=弯曲刚度，GIp=扭转刚度
弹切模量互换	G = $\begin{array}{c}E\\ \overline{2(1+\nu )}\end{array}$	可用于正应变和切应变的互换
胡克定律	F = kx，σ = Eε，τ = Gγ	ε为正应变，γ为切应变
广义胡克定律	Eε’ = σ’-ν(σ’’+σ’’’)	ε’为σ’方向的正应变，公式中的三个应力正交，拉正压负
应变能密度	线弹性范围内，单位体积内，vε=$\frac{1}{2}$σε或$\frac{1}{2}$τγ	vε=vv+vd，应变能为∭v($\frac{1}{2}$σε)dV或∭v($\frac{1}{2}$τγ)dV
应变能密度	vε=$\frac{1}{2}$σ1ε1+$\frac{1}{2}$σ2ε2+$\frac{1}{2}$σ3ε3
应变能密度	体积改变能密度：vv=$\frac{1-2v}{6E}$(σ1+σ2+σ3)2	形状改变能密度：vd=$\frac{1+v}{6E}$[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]
第一强度理论	σr1 = σ1 ≤ [σ] = $\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_b}\\ n_b\end{array}$	也叫最大拉应力理论，用于脆性材料，皆可不超[σ]以5%
第二强度理论	σr2 = σ1 - ν(σ2+σ3) ≤ [σ] = $\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_b}\\ n_b\end{array}$	也叫最大拉应变理论，用于脆性材料
第三强度理论	σr3 = σ1-σ3 ≤ [σ] = $\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_s}\\ n_s\end{array}$	也叫最大切应力理论，用于塑性材料
第三强度σ-τ理论	σr3 = $\sqrt{{\sigma }^2+4{\tau }^2}$	σ = $\sqrt{{\sigma }_N^2+{\sigma }_M^2}$
第三强度M-T理论	σr3 = $\frac{1}{W}\sqrt{M^2+T^2}$	矩形杆中M=Mx±My，回转杆中M=$\sqrt{M_x^2+M_y^2}$
第四强度理论	$\sqrt{\frac{1}{2}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2]}\le [\sigma ]=\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_s}\\ n_s\end{array}$	也叫形状改变能密度理论，用于塑性材料
第四强度σ-τ理论	σr4 = $\sqrt{{\sigma }^2+3{\tau }^2}$	σ = $\sqrt{{\sigma }_N^2+{\sigma }_M^2}$
第四强度M-T理论	σr4 = $\frac{1}{W}\sqrt{M^2+\frac{3}{4}{T}^2}$	矩形杆中M=Mx ± My，回转杆中M = $\sqrt{M_x^2+M_y^2}$

拉压杆与超静定问题

知识点	公式	备注
拉压胡克公式	Δ = $\begin{array}{c}\underline{F_{N}L}\\ EA\end{array}$	应力拉正压负，作轴力图时左正右负
装配应力	σ = $\begin{array}{c}\underline{F_N}\\ A\end{array}$	和普通拉压正应力的算法一样
温度应变	ΔL = αtLΔt	αt为线膨胀系数，升温伸长，应变为正；降温缩短，应变为负
温度应力	σt = EαtΔt	由ΔL = $\begin{array}{c}\underline{F_{N}L}\\ EA\end{array}$ 和 ΔL = αtLΔt 可得
变形协调关系	通过几何关系分析	延长受拉杆，缩短受压杆，以切线（垂线）代替弧线作出两垂线，交点即变形后的连接点

扭轴

知识点	公式	备注
切应变	γ = tan φ	γ为切变模量，φ为切变角
扭转轴切应变	γρ = $\begin{array}{c}\underline{\mathrm{d}s}\\ \mathrm{d}x\end{array}=\begin{array}{c}\underline{\rho \mathrm{d}\phi }\\ \mathrm{d}x\end{array}$	ρ为极径，φ为扭转角
扭转切应力	τρ =Gγρ = G$\begin{array}{c}\underline{\rho \mathrm{d}\phi }\\ \mathrm{d}x\end{array}$	由切应变公式和剪切胡克定律可得
微元长度扭转角	$\begin{array}{c}\underline{\mathrm{d}\phi }\\ \mathrm{d}x\end{array}=\begin{array}{c}T\\ \overline{G{I}_p}\end{array}$	由剪切胡克定律、扭转静力关系推出，对任何轴通用
扭转静力关系	T = ∫A(ρτρ)dA	可和剪切胡克定律、极惯性矩定义式联动推出圆轴切应力
圆轴扭矩换算	T = 9549$\frac{P}{n}$	功率P的单位为kW，转速n的单位为r/min
圆轴切应力	τρ = $\begin{array}{c}\underline{T\rho }\\ I_p\end{array}$	τmax = $\begin{array}{c}\underline{TR}\\ I_p\end{array}=\begin{array}{c}T\\ \overline{W_p}\end{array}$
单位长度扭转角	θ = $\begin{array}{c}T\\ \overline{G{I}_p}\end{array}$（rad）	用于等截面圆轴，符号看扭矩图上的扭矩的变化，沿纸面向上为正
相对扭转角	φ = $\begin{array}{c}Tl\\ \overline{G{I}_p}\end{array}$（rad）	用于等截面圆轴，符号看扭矩图上的扭矩的变化，换算成度时乘$\frac{180°}{\pi }$
扭转变形协调条件	φBA = φBC + φCA	多扭转角以此类推

弯梁

知识点	公式	备注
平面假设	弯曲变形时横截面仍保持为平面	且仍垂直于变形后的轴线
纵向无挤压假设	纵向材料之间没有挤压	材料的纵向变形只是沿梁轴的单向拉伸或压缩变形
弯矩方程	q(x) = F’s(x) = M’’(x)	q为荷载集度，Fs为剪力，M为弯矩，上加下减，顺加逆减 在转角桁架中，转角处的弯矩大小连续
弯曲正应力	$\sigma =\begin{array}{c}\underline{My}\\ I_z\end{array}$	${\sigma }_{max}=\begin{array}{c}\underline{M{y}_{max}}\\ I_z\end{array}=\begin{array}{c}M\\ \overline{W_z}\end{array}$
挠曲线方程	$\begin{array}{c}1\\ \overline{\rho (x)}\end{array}=\begin{array}{c}│w^{\prime \prime }(x)│\\ \overline{[1+(w^{\prime }(x){)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}\end{array}=\begin{array}{c}\underline{│M(x)│}\\ E{I}_z\end{array}$	ρ为曲率半径，可近似为w"(x)=$-\begin{array}{c}\underline{M(x)}\\ EI\end{array}$
悬臂梁端部最大挠度	$w_{max}=\begin{array}{c}\underline{q{L}^4}\\ 8EI\end{array}=\begin{array}{c}\underline{F{L}^3}\\ 3EI\end{array}=\begin{array}{c}\underline{M{L}^2}\\ 2EI\end{array}$	q为全梁均布荷载集度，F为端部剪力，M为端部弯矩，L为梁长
简支梁跨中最大挠度	$w_{max}=\begin{array}{c}5q{L}^4\\ \overline{384EI}\end{array}=\begin{array}{c}F{L}^3\\ \overline{48EI}\end{array}=\begin{array}{c}M{L}^2\\ \overline{9\sqrt{3}EI}\end{array}$	q为全梁均布荷载集度，F为跨中剪力，M为端部弯矩，L为梁长
梁的等强度条件	令梁上各极大弯曲正应力相等或都 = [σ]	可用于同时确定多个梁上最合理参数

弯扭组合

知识点	公式	备注
截面正应力	σ = σN ± σM	矩形截面有σ = $\begin{array}{c}\underline{F_N}\\ A\end{array}\pm \begin{array}{c}\underline{M_y}\\ I_z\end{array}\pm \begin{array}{c}\underline{M_z}\\ I_y\end{array}$，圆截面有σ = $\begin{array}{c}\underline{F_N}\\ A\end{array}\pm \begin{array}{c}\underline{\sqrt{M_y^2+M_z^2}}\\ I_z\end{array}$，凸拉凹压
轴向组合变形	ε=εN+εM+εt	εN为拉压变形（拉正压负），εM为弯曲变形（凸正凹负），εt为温度变形（热胀冷缩）

剪挤

知识点	公式	备注
剪切强度条件	τ = $\begin{array}{c}\underline{F_s}\\ A\end{array}$	注意找清楚剪切面（平行于Fs）和剪切面数量
挤压强度条件	σbs = $\begin{array}{c}\underline{F_{Pc}}\\ A_{bs}\end{array}$	注意挤压面的数量和形状（垂直于Fs方向的投影面积）
螺栓的剪切面积	A = nπdh	n为剪切面数量，螺栓的剪切面是直径为d、高为h的圆柱面
螺栓的挤压面积	Abs = $\frac{\pi }{4}$(D2-d2)	螺栓的挤压面是大径为D、小径为d的圆环面
螺栓的等强度条件	τi = τj	多个螺栓被剪切时，每个螺栓所受的顺剪切分力=$\frac{F_s}{n}$，旋剪切分力=$\frac{\sum F_{si}{R}_i}{n{r}_i}$
弯曲切应力	τ(y) = $\begin{array}{c}\underline{F_s{S}_z^{\ast }(y)}\\ b(y)I_z\end{array}$	Sz*为截面上从ymin到y部分的静矩，b为腹板宽
最大弯曲切应力	τmax = $\begin{array}{c}\underline{F_s{S}_{z\max }^{\ast }}\\ b{I}_z\end{array}=\begin{array}{c}\underline{k{F}_s}\\ A\end{array}$	k矩形=$\frac{3}{2}$，k圆=$\frac{4}{3}$，k工=1，k薄壁圆环=2

压杆

知识点	符号或公式	备注
压挠方程	w"(x)=$-\begin{array}{c}\underline{M(x)}\\ EI\end{array}$=$-\begin{array}{c}\underline{F_{P}w(x)}\\ EI\end{array}$	两端铰支时，w(x)=Csinkx，由k2=$\frac{F_P}{EI}$和kL=π解得FPcr=$\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$
长度系数	μ	μ简支梁=1，μ悬臂梁=2，μ固支梁=0.7，μ全固梁=0.5
柔度	λ = $\begin{array}{c}\underline{\mu l}\\ i_z\end{array}$	也叫长细比，λ<λs时用横线公式，λs≤λ<λp时用直线公式，λ<λc时用抛物线公式 可能要分y向压弯和z向压弯分别讨论 在约束相同时，若λz>λy，则压杆在正视图平面内屈曲
比例极限柔度	λp = $\sqrt{\begin{array}{c}\underline{{\pi }^{2}E}\\ {\sigma }_p\end{array}}$	由σp = $\begin{array}{c}\underline{{\pi }^{2}E}\\ {\lambda }_P^2\end{array}$而得，σp为比例极限
大柔度杆欧拉公式	Fcr = $\begin{array}{c}\underline{{\pi }^{2}E{I}_z}\\ (\mu l{)}^2\end{array}$，σcr = $\begin{array}{c}\underline{{\pi }^{2}E}\\ {\lambda }^2\end{array}$	适用于λ ≥ λp的细长杆
屈服极限柔度	λs = $\begin{array}{c}\underline{a-{\sigma }_s}\\ b\end{array}$	由σs=a-bλs而得，σs为屈服极限
中柔度杆临界应力	σcr = a-bλ	也叫直线公式，适用于λs ≤ λ < λp的中长杆
小柔度杆临界应力	σcr = σs	适用于λ<λs的粗短杆
修正临界应力	σcr = a-bλ2	也叫抛物线公式，适用于λ < λc的中长杆
安全系数法	Fp ≤ $\begin{array}{c}\underline{F_{cr}}\\ n_{st}\end{array}$，σcr≤ $\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_{cr}}\\ n_{st}\end{array}$	式子为压杆稳定条件，nst为安全系数
折减系数法	Fp ≤ φ[F]，σcr ≤ φ[σ]	φ为折减系数，按柔度查表并插值而得

能量法

知识点	符号或公式	备注
线弹性体应变能	Vε = $\frac{1}{2}$∑FiΔi	F、Δ为广义外力和对应广义位移
克拉比隆定理	Vε = ∫l$[\begin{array}{c}\underline{F_N^2(x)\mathrm{d}x}\\ 2EA\end{array}+\begin{array}{c}\underline{k{F}_s^2(x)\mathrm{d}x}\\ 2GA\end{array}+\begin{array}{c}\underline{M^2(x)\mathrm{d}x}\\ 2EI\end{array}+\begin{array}{c}\underline{T^2(x)\mathrm{d}x}\\ 2G{I}_p\end{array}]$	求组合变形杆件应变能的通式
功的互等定理	∑FPiΔij = ∑FQjΔji	应变能与力的加载顺序无关
位移互等定理	FPiΔij = FQjΔji	相当于上式两侧各只有一个力
卡氏第二定理	Δi = $\begin{array}{c}\underline{\partial V_{\epsilon }}\\ \partial F_i\end{array}$	F，Δ为广义力和对应广义位移
莫尔积分法/单位荷载法	Δ = $\sum {\int }_l[\begin{array}{c}\underline{F_{Ni}\overline{F_{Ni}(x)}}\\ E_i{A}_i\end{array}+\begin{array}{c}\underline{M_i\overline{M_i(x)}}\\ E_i{I}_{z_i}\end{array}+\begin{array}{c}\underline{T_i\overline{T_i(x)}}\\ G_i{I}_{pi}\end{array}]$dx	${\bar{F}}_i$(x)为仅在x处有单位荷载时的力分布
桁架单位荷载法	Δ =$\sum \begin{array}{c}\underline{F_{Ni}\overline{F_{Ni}}{L}_i}\\ E_i{A}_i\end{array}$ （最好列F-$\bar{F}$-L-F$\bar{F}$L表计算）	${\bar{F}}_{Ni}$为仅在Δ方向加单位力时各杆的轴力
曲杆积分	Vε = ∫l$\begin{array}{c}\underline{M^2(\theta )\mathrm{d}s}\\ 2EI\end{array}$，θ = ${\int }_l\begin{array}{c}\underline{M_i\overline{M_i(x)}}\\ EI\end{array}$	积分时，M(θ)为外力对杆上θ处的弯矩，ds=Rdθ

动荷载

知识点	公式	知识点	公式	知识点	公式
冲击变形假设	$\begin{array}{c}{F}_d\\ \overline{{\Delta }_d}\end{array}=\begin{array}{c}G\\ \overline{{\Delta }_{st}}\end{array}$	自由落体kd	kd = 1+$\sqrt{1+\begin{array}{c}2h\\ \overline{{\Delta }_{st}}\end{array}}$	铅垂冲击kd	kd = 1+$\sqrt{1+\begin{array}{c}{v}^2\\ \overline{g{\Delta }_{st}}\end{array}}$
动荷载系数	kd = $\begin{array}{c}{\Delta }_d\\ \overline{{\Delta }_{st}}\end{array}=\begin{array}{c}{F}_d\\ \overline{G}\end{array}=\begin{array}{c}\underline{{\sigma }_d}\\ {\sigma }_{st}\end{array}$	突加荷载kd	kd = 2	水平冲击kd	kd = $\sqrt{\begin{array}{c}{v}^2\\ \overline{g{\Delta }_{st}}\end{array}}$

交变应力

其它

学科	相关知识
测试技术	电桥：可能出现在用电阻应变片测应变环节
测试技术	电桥平衡方程：$u_o=(\begin{array}{c}{R}_1\\ \overline{R_1+R_2}\end{array}-\begin{array}{c}{R}_4\\ \overline{R_3+R_4}\end{array})u_i=\begin{array}{c}{R}_1{R}_3-R_2{R}_4\\ \overline{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}\end{array}{u}_i$
测试技术	零值法： IG = 0⇒ R1R3=R2R4
测试技术	偏值法的连接方式有半桥单臂（R1变）、半桥双臂（R1,R2变）、全桥双臂（四电阻全变）四种
测试技术	偏值法中把 Ri 换成 Ri+ΔRi，如半桥单臂测量法中Δuo=uo(R1+ΔR1,R2,R3,R4)-uo(R1,R2,R3,R4)
测试技术	应变片读数：半桥双臂连接时$\bar{\epsilon }$=ε1-ε2，全桥双臂连接时$\bar{\epsilon }$=ε1-ε2-ε3+ε4
机械原理	tan(螺旋升角)=螺距÷螺周长=$\frac{s}{\pi d}$
流体力学	流体不提供切应力