初中数学课程与信息技术的整合
2.1 基本工具介绍 2
2.1.1滑动的梯子上的猫 2
2.1.2智能画笔挥洒自如 7
2.1.3选了再做谋而后动 9
2.1.4公式输入即打即现 10
2.1.5动态测量功能多多 15
2.2文本命令应有尽有 18
2.2.1点可不简单 18
2.2.2直线面面观 22
2.2.3圆和圆弧很重要 23
2.2.4圆锥曲线条件多 24
2.2.5函数曲线最有用 25
2.2.6图形变换功能强 26
2.2.7对象组分合遮盖 28
2.2.8文本含变量表格 28
2.2.9测量招数真不少 31
2.2.10动画轨迹和跟踪 32
2.2.11对象属性有奥妙 38
2.3平面几何 40
2.3.1动态几何暗藏玄机 40
2.3.2动点定值眼见为实 42
2.3.3图案组合美不胜收 50
2.3.4课件制作初步体验 58
2.4代数运算 68
2.4.1符号计算力量大 68
2.4.2因式分解渊源长 70
2.4.3赋值语句真方便 72
2.4.4定义函数编程快 74
2.4.5复数联通数与形 77
2.1 基本工具介绍
2.1.1滑动的梯子上的猫
安装好《超级画板》之后，计算机桌面上就会多出两个图标：《超级画板》的图标（图2-1）和《立体几何》的图标。双击《超级画板》图标，就可以启动超级画板了。启动后屏幕画面如图2-2所示，和Word等软件有相似之处。中间的大窗口是用来画图的地方，给它取个名字叫“作图区”，这就是我们以后主要的“工作场所”；作图区左边有一个较小的窗口，称之为对象区；如果对象区找不到了,可在查看菜单下的“工具栏”里勾选“图形对象工作区”，将其调出。作图区的右边是属性工作区。
从作图区向上看，有两排图标按钮，组成了工具栏。工具栏上面是菜单栏，菜单栏上面是标题栏。在工具栏的中部，有个按钮画了一支笔。把鼠标移到这个按钮处，稍停一下就会出现“画笔”二字，这就是超级画板的智能画笔了。
图2-1
图2-2
下面就用智能画笔做一个“会动的梯子”，希望通过这个案例了解超级画板的基本功能和基本操作。
梯子模型，又称等棍模型，是指有一个梯子斜靠在墙边，有一只猫坐在梯子上。当梯子滑动时，猫的运动路线如何？此案例虽然操作步骤简单，但所得图形非常有趣，而且变化很多，同时也隐含着丰富的数学知识，很有研究价值。具体操作如下：
（1） 先点击 “画笔”按钮，然后双击坐标原点O，第二击不松开就拖动，画出一个圆。此时圆上有一点A；将鼠标移到圆上，圆会变色，此时单击则会生成点B；按下左键向X轴拖动，当已经画出（但尚未画完）的线接近垂直于x轴时，x轴即会变色，附近会出现“垂足”字样。这时松开鼠标左键，就画出了一条垂直x轴的线段BC（图2-3）。
图2-3 图2-4
（2） 同样地作线段BD垂直y轴；再按下鼠标从点D出发拖动到点C，松开左键，这样就作好了线段DC；把鼠标移动到线段DC的中点附近时，线段DC变色，附近出现“中点”字样，单击即可作出DC的中点E（图2-4）。
思考：如果点B在圆上运动，那么点E的轨迹是什么？
注意：当不需要作图而改作其他事情的时候，譬如说要选择某个对象、拖动某个对象、点击某个动画，都要保证鼠标处于选择状态，这就需要先切换到选择工具。选择按钮就是智能画笔左边类似箭头的按钮，点击一下，表示已经把画笔放下了，不再需要作图，将要开始选择对象进行操作了。
注意：刚开始使用智能画笔，出现错误是很正常的，多练习几次就会很顺手了。在操作中如果你作点B做错了，可选择点B按“Delete”键将其删除，然后重新作点。按照软件对点的编号顺序，新作点的编号应该是C。如果你希望新作点的标签与教材同步，还是点B，可在【对象】菜单下选择“设置新点的名字”，在弹出对话框中输入B，则新作点的标签就不是C而是点B了。
（3） 选择点E，单击右键，弹出右键菜单后，点击“跟踪”。拖动点B，使之在圆上转圈，会发现屏幕上多出来了一个小圆圈（图2-5）。单击屏幕空白处，刚才作出来的小圆圈不见了。再拖动点B，小圆圈又会出现了。
图2-5 图2-6
（4） 此时在屏幕左方的对象区在可以找到刚才所作的“[14]:跟踪[点E：线段DC的中点]”（图2-6），右键单击“[14]:跟踪[点E：线段DC的中点]”，则会弹出一个“对象的属性”对话框（图2-7）。点击“颜色”，弹出“颜色”对话框，选择喜欢的颜色，依次点击“确定”。
图2-7 图2-8
（5） 选择点B，单击右键，弹出右键菜单后，点击“动画”，弹出“对象的属性”对话框后（图2-8），将类型改为“一次运动”；将参数范围的最小值改为pi/3，最大值改为7*pi/3，其余保持默认，点击“确定”。这里pi代表圆周率π。
说明：点在圆上的动画，参数默认值为0—2π，表示点绕圆心转一圈；而改成π/3—7π/3也是转一圈，那为什么还要修改呢？两者有何不同？原因很简单，是为了便于后续操作，如果是默认值，则运动一周后，所有的点线都停留在x轴上，此时如果想对某对象作进一步的操作（譬如跟踪），还得拖动点B，较麻烦。
（6） 此时屏幕上已经多出来了一个“动画”按钮，启动动画（即点击动画按钮最左边部分）可得到图2-9。
图2-9 图2-10
（7） 过点B作线段BF垂直于DC，垂足F在线段DC上，将点F设置成跟踪；到对象区里改变点F的跟踪颜色；启动动画得到图2-10。
（8） 过点O作线段OG垂直于DC，垂足G在线段DC上，将点G设置成跟踪；到对象区里改变点G的跟踪颜色；启动动画得到图2-11。
（9） 在对象区中，分别把[14]跟踪点E，[18]跟踪点F，[21]跟踪点G前面的小方框里的“√”点击一下，取消勾选。将线段DC、BF设置成跟踪，改变跟踪颜色，启动动画得到图2-12。
图2-11 图2-12
（10） 在DC上任意作一点H，跟踪后启动动画得到图2-13。试着将H拖动到DC的延长线上，看看有什么变化？
图2-13
尝试更多的跟踪，譬如BC、BD。设置好跟踪之后，可以按一下键盘右上方的Esc键（全屏快捷键），慢慢欣赏自己做的动画。
梯子模型的探究，到此并没有结束，还仅仅是开始而已。探究一下△BCD的内心、重心等的轨迹如何？那么如何作内心、重心呢？不要着急，后面会逐步深入的。
梯子模型的动画演示，请参看课件《2-11梯子模型初步》，更多变化参看《2-11梯子模型汇总》。相关数学原理，可参看配套资源中的论文《梯子模型的再探究》、《用超级画板探索梯子模型》、《再谈用超级画板探索梯子模型》。
通过这个例子，我们发现超级画板作动画与Flash作动画有很大的不同。Flash作动画需要先设计各个对象，设置好关键帧各对象所在位置，然后各对象根据设置随时间变化而变化，通常各对象之间是无关的，可以将这种动画称之为“时序动画”。而超级画板作动画则与时间无关，它先作出对象，这些对象之间存在几何关系，因为几何作图，一般后作图形是建立在先作图形的基础上的，所以通常是先作对象决定后作对象。当先作的某个对象运动起来，与此相关的一些对象也随之运动，且时刻保持几何关系不变，可以将这种动画称之为“逻辑动画”。
在本例中，点B在圆上运动，时刻保持OB长度不变。C、D两点被点B和坐标系决定，而E、F、G三点则由B、C、D决定；由于坐标系和决定圆半径的A不动，当点B运动时，C、D、E、F、G直接或间接地被点B带动，可谓是“牵一发而动全身”。这样有一个好处，我们不必对每一个对象的运动去进行设置，只要把点B的动画设置好了，相关对象就能运动起来。
为了保证工作区的几何对象时刻保持应有的几何关系，超级画板软件内部时刻都进行着大量运算，所以如果此时想进行其他操作,必须先停止动画，让软件接收新的指令，同时避免电脑反应不过来。双击空白处，可停止动画，这种停止动画的方式可以一次停止多个动画，而且避免点击动画按钮多次后，都不知道当前是启动动画还是停止动画的尴尬。
此处还需要注意：点A不是圆上的点！这个论断看起来很荒谬。与在纸上作图不同，不能看起来点A在圆上就说A是圆上的点；从逻辑上来说，所谓圆上的点，要先有圆，然后才可能有圆上的点，而点A是在圆出现之前就存在，点A（和点O）是决定圆的点，是圆的父对象；而圆上的点则是圆的一个子对象，譬如点B就是圆上的一点；圆上的点有一个基本特征，就是能够在圆上运动，显然点A不符合此条件。
超级画板最常用的动画形式就是让点在其父对象上运动，称之为半自由点（有一个拖动参数）动画，我们已经使用过了。此外还有随机点动画、点到点动画、两点间动画、参数点动画、参数动画5种动画形式。
这6种动画都可以用右键菜单中的“动画”命令生成。分别如下操作：
(1)选择一个自由点，在右键菜单中单击“动画”（以下只说单击“动画”），生成随机点动画按钮；
(2)选择2个点（第一个必须是自由点），单击“动画”，生成点到点动画按钮；
(3)选择3个点（第一个必须是自由点），单击“动画”，生成两点间动画按钮；
(4)选择一个坐标点（要有一个拖动参数），单击“动画”，生成参数点动画按钮；
(5)不选择, 在右键菜单中单击“动画”，在弹出的对话框里键入参数名，生成参数动画按钮。
(6)选择对象上的一个点,单击“动画”，生成点在对象上的动画按钮。
动画按钮由左中右三个部分组成。左边部分又叫主钮，以后说到启动动画均指单击左边部分；中间部分又叫副钮，单击副钮，动画情形与主钮类似，只不过方向相反。双击右边绿色部分，则会弹出属性对话框，可以修改属性。
新建文档，空白处单击右键作一个参数t的动画。弹出属性对话框（图2-14），注意到对话框里的最小值-5和最大值5，这是变量t的变化范围，是缺省的设置。你可以改动它。上面的频率100，意思是把-5到5的改变均分成100步来完成。右下边的1毫秒，意思是如果计算机的运算速度允许，每步所用的时间将为1毫秒。如果你把频率改为1000，运动的速度会大大放慢。如果把1毫秒改为1000毫秒，你可以看到运动的点每秒跳一步，完全不连续了。再看右上部的“类型”栏，这里有3种运动类型，当前的类型是“往复运动”，也就是变量t在-5到5之间来回变化。如果点选“重复运动”，则再单击此动画主钮时，变量将一次一次地由-5变到5。单击此动画副钮时，变量则一次一次地由5变到-5。这时，主钮和副钮的不同就表现出来了。如选择“一次运动”，则单击此动画主钮时，变量将由-5变到5而停止；单击副钮时，则将由5变到-5而停止。若勾选了“逆向运动”，自然是使运动方向相反了。
图2-14
对话框的上方，有几个选项按钮。单击“画笔”，打开画笔选项卡，可以设置按钮边线的粗细、颜色和线型；打开填充选项卡，可以设置按钮右部的颜色；打开文本选项卡，可以编辑按钮上面的文字。各种动画的按钮的属性对话框大同小异，举一反三，读者可自行探索。
本案例涉及到超级画板很多基本功能，譬如智能画笔、选择工具、跟踪和动画等。下面我们详细介绍智能作图与选择工具。
2.1.2智能画笔挥洒自如
前面已经介绍了画笔按钮。单击它，就进入了智能作图状态。这时用手中的鼠标在屏幕上作几何图形，有用粉笔在黑板上画图的感觉；而且所作出的图形，有些点、线或圆是可以拖动的。在拖动时，图形变了，但图中的几何关系不变。中点还是中点，垂足还是垂足，交点还是交点，切线还是切线等等，这叫做“动态几何作图”。
任何几何图形最终都可归结为点、线(包括线段、射线、直线)、圆等基本元素的作图。 这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学中的公理化思想是一脉相承的，所以很多优秀的动态几何软件都沿袭了这一传统。但常见的动态几何软件的点、线、圆的作图工具是分开的。试想一下：如果我们平时作图，画点的时候用一支笔，画线的时候就换一支，等到画圆了，再换，这是多么可笑的一件事情。能够一支笔完成的工作，为什么要用三支笔呢？
超级画板的智能画笔就具有这个功能，能主动识别人的意图，减轻人的负担，无需在任何菜单和工具之间的切换，直接利用鼠标即可作出自由点、线段（直线或射线）、圆，直线或圆锥曲线等几何对象上的点，还有直线与直线或圆锥曲线等几何对象的交点等几乎所有的基本几何图形。你已经试过在智能作图状态作点，画线段，画圆以及作线段的中点了。更多的几何图形，如平行线、垂线、圆的切线等，又该如何作呢？其实也很简单。对于熟悉电脑基本操作的读者，掌握下面三条基本规律便能举一反三，得心应手。
第一条：左键单击松开作点，左键按下拖动画线，左键双击（第二击不抬起）拖动画圆。
第二条：屏幕上出现的提示符合要求时单击或松开即完成提示的操作。例如，鼠标指向所要的交点并出现“交点”字样时单击就作出交点，鼠标拖动画线并出现“平行”字样时松开左键就画出了平行线段。
第三条：与作图有关的几何对象会变色。例如，作交点时相交的线或圆会变色，作垂直线时与所画线段垂直的线会变色。所以看见提示时要注意一下哪些东西变色，确认是否符合要求，以免作错。
下面再强调几点。
垂直与垂足是不相同的，垂直提示做的是垂直直线，而垂足提示做的是垂线段。
等长线段：拖动鼠标画线段时，如果正在画的线段和一条已有的线段PQ长度接近相等，会出现提示文字“相等”，同时线段PQ会变色。这时松开鼠标左键，就画出一条和PQ等长的线段。注意有一个特殊情形，如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时，出现“相等”提示并且线段PQ变色，这可能是所画线段与PQ等长，也可能是鼠标的光标位置和P、Q两点距离相等。在后一种情形，松开鼠标左键就得到一个以PQ为底的等腰三角形。前一种情形，得到的是以Q为顶点的等腰三角形，不过底边没有画出来，若需要就自己继续画出来。用这一功能可以方便地作等腰三角形。
等边三角形：如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时，出现“等边”提示并且线段PQ变色，松开鼠标左键就得到一个以PQ为边的等边三角形。由于在平面上已知两点找第三点使之构成等边三角形，只有两个点符合要求，所以操作起来有一点难度。
平行四边形：拖动鼠标画线段时，如果已经画出（但尚未画完）的线段接近平行并且长度接近等于一条已有的线段，已有的线段会变色，附近会出现“平行四边形”字样。这时松开鼠标左键，就画出了平行四边形。
有些提示是包含两种几何关系的，譬如垂直相交，垂直相等。如果先画出了线段PQ接着由Q继续画线段时，出现“垂直相等”提示并且线段PQ变色，松开鼠标左键就得到一个以Q为顶点的等腰直角三角形，不过它的底边没有画出来。使用这一功能，容易作出正方形。
另外，智能画笔的提示是有优先级别的。譬如△ABC中，AB很接近AC，此时想过点A作BC的垂线段，很可能出现的提示却是中点，那么我们可以先拖动点A改变它的位置，再作垂线段，避免干扰。
如果屏幕上已经作了很多对象，智能画笔可能会受到一些干扰，应该将产生干扰的对象暂时隐藏或者采用菜单作图，譬如选择两个点就可以作正方形，选择三个点就可以作平行四边形，这些操作在作图菜单下的常见多边形子菜单中进行。
智能作图功能不用时可加以限制，免得出现一些不必要的提示。如果要限制智能作图，可单击菜单项“查看”，在展开的菜单中把鼠标移到“智能画笔的类型”处，展开下一级子菜单，如图2-15。如果只要画自由点、线段和圆，就单击第一条“只能画自由点”；如果还要作交点、中点、圆上的和线上的点，就单击第二条“只能画自由点和对象上的点”；如果要保持全部的智能作图的功能，可以单击第三条（图2-15显示的当前状态就是第三条。如不想改变此状态，可以不做操作，在其他空白处单击关闭菜单了事）。设计智能画笔这一功能，是为了操作更方便；而有目的的限制智能画笔，则是为了更好地锻炼基本功。就如同行军打仗，当然是轻装上阵为好；但平时捆绑沙袋进行训练也是很有必要的，特别是初中生对垂线段，切线等概念还不太熟悉的时候。
软件的智能性，不单表现在功能之齐全，同时也应表现在可选择性以及兼容性。软件如此，生活中也如此。下面这个故事是比较有趣的。牛顿家里养猫，为了让猫进出方便，他在门上并排开了两个洞，一个大些，一个小些。邻居们见了很奇怪，就问牛顿为什么要开两个洞。牛顿答，大猫走大洞，小猫走小洞。以牛顿之天才，竟会忘记大能兼小，从此传为笑谈。
图2-15
教学片段设计：平行四边形分类如图2-16所示。超级画板没有专门作菱形的工具，在作好线段AB后，作BC与AB等长，再以ABC三点为基础作平行四边形，即为菱形。如果让学生自己操作，那么在操作中，学生记忆会相当深刻：菱形是平行四边形加上邻边相等这一条件。同样地可作长方形（图2-17）。作好之后，可以提一个问题：所作的长方形能否拖动成菱形呢？让学生拖动这两个图形，容易发现正方形是菱形和长方形的交集。从平行四边形（一般）到正方形（特殊），不管是从长方形过渡还是从菱形过渡，殊途同归！
图2-16 图2-17
2.1.3选了再做谋而后动
“画笔”工具左边的“选择”工具也是一个很常用的。单击“选择”按钮，按钮上出现了一个外框，表明选择功能已被激活。这时把光标指向圆周，圆周就会变成淡红色。指向线段或点，指向文本框，它们都会变色。光标离开它，它的颜色又会复原。光标指向圆周单击一下，这个对象就被选择了。被选择的对象的编号会出现在作图区的下方的状态栏中央，这样我们就能确认是否选中了。这时把鼠标的光标移开，圆周的颜色也不会恢复。
选择工具最基本的功能就是拖动对象。要想移动点的标签,只要将鼠标停在该点的周围,当出现“text”时,则移动该标签。如果要控制点的标签或者圆锥曲线的范围，则有必要先勾选【查看】菜单下的“显示选中对象的把手”。另外，选择一个对象后还可以对它进行种种操作。例如：
（1） 双击点，可在弹出的文本框中修改点的名字。
（2） 删除对象：按一下“Delete”键，或单击“删除”按钮(叉子图案)，也可在右键菜单中操作。
（3） 改变线的粗细：单击“＋”按钮变粗，“-”号变细。如果选择的对象是点，则单击“＋”按钮点变大，“-”号变小；如果选择的对象是文本，则单击“＋”按钮字变大，“-”按钮字变小；如果没有选择任何对象，单击“＋”按钮所有几何图形放大，“-”按钮则缩小。
（4） 改变线的颜色：单击“画线颜色”按钮（“＋”按钮左边第3个按钮）旁边的小小黑三角，打开颜色对话框，单击蓝色，圆周就变成蓝色了。
（5） 给圆填上颜色：单击“填充颜色”按钮（“＋”按钮左边第2个按钮）旁边的小小黑三角，打开色盘。单击黄色，圆内就染成黄色了。如果想去掉填充，可在属性中去掉“填充”的勾选。
（6） 改变对象的透明度：多次单击“增加透明度”按钮（“－”按钮右边的按钮），对象的颜色会变淡直到消失；再多次单击“减少透明度”按钮（“－”按钮右边第2个按钮），对象的颜色会变深直到复原。
（7） 设定对图形对象跟踪：光标指着被选择的圆，单击右键，在右键菜单里单击“跟踪”，就设定了对图形对象（圆）的跟踪. 在左方对象工作区里，增加了一个“跟踪”对象。拖动此圆，它会在屏幕上留下一串痕迹，如图2-18。任意单击可使痕迹消失。在左方对象工作区单击“跟踪”对象前面的小方框隐去勾号，可以隐藏跟踪痕迹。
图2-18
（8） 打开对象的属性对话框：光标指着被选择的对象，打开右键菜单单击“属性”，即可打开该对象的属性对话框。有关属性对话框的操作内容十分丰富，以后针对不同的对象分别介绍。
（9） 还可以对选择的对象进行测量，以所选择的对象为基础来作图等等。
以上可以说明选择操作是多么重要。如果要选择多个对象，可以同时按下“Ctrl”键来单击对象。也可以按一下“Insert”键，切换到可以多选的状态，以后操作无需再按键就能连续选择了。要解除对对象的选择，在空白处单击即可。两个对像比较靠近时，在对象工作区通过单击对象的编号来选择比较方便，不妨一试。
2.1.4公式输入即打即现
画笔按钮的右边，是文本按钮。单击它，会出现文本输入对话框。在对话框里可以输入汉字、英文或数学公式。如图2-19所示，在文本输入对话框里键入汉字和一些符号，作图区立刻出现一个文本框。
图 1-19
单击对话框下方的“确定”按钮，对话框关闭，文本对象创建完成。这里的根式、分式是如何出来的？文本对话框中的其他按钮有何功能？下面给出详细说明。
（一）输入数学表达式的一般规则
数学表达式的用途有两种，一种是仅仅为了给人看的，一种是让计算机进行实际计算的。例如，让计算机测量一个表达式的值，或让计算机画一个函数的图像，都是要算的，和要看的有所不同。超级画板中尽量使两种表达式统一起来。但由于数学表达式历史悠久，而计算机技术则方兴未艾，两者完全统一目前尚不可能。下面的规则中指出要算的或要看的表达式输入时的要点和不同。
1．加法和减法和通常写法一样，如 a-x，3+b-f,-u-p 等。
2. 要计算的表达式用小括弧，如x-(3-b), (t-(7-u))+(-5)等，要看的不受此限制。
3. 要计算的表达式用号表示乘号，不能省略，如 a(b+c)不能写成a(b+c)。显示时若不想出现*号，可在文本的“属性”对话框中选择用圆点、×号，如图2-20。
图2-20
- 用/号表示除号或分数线，注意分子分母包含运算或汉字或希腊字母时要加括号。显示时自动排成一般的水平分数线。如要保持斜线/号，可在/号前加\号，如图2-21。
图2-21
5. 用号表示指数运算或上标（键盘上数字6的上档键）。如“x的m次方”写作xm，根号2写作2(1/2)。显示时如果要保持号，可在^号前面添加\号，如图2-22。
图2-22
6. 要计算的表达式中其它函数运算要写括弧，如A的正弦要写成sin(A),不能写成sinA。要看的不受此限制。正切函数对tg(x)和tan(x)都兼容，余切、反正切、反余切类似。
7. 要计算的表达式中，以a为底的对数函数写作log(a,x),自然对数为ln(x),常用对数为lg(x)。要看的表达式，以a为底的对数函数写作 log_a x，注意在x前面要有空格。一般说来，“_a”表示符号a被作为下标，如图2-23。
8. 要计算的表达式中，x的绝对值写作abs(x), 如图2-23。不超过x的最大整数用floor(x)表示。
图2-23
9. 要计算的表达式中，函数sign(x,a)要特别留意。当x>a时值为1，否则为0。
10.要计算的表达式中，圆周率写作pi，自然对数的底写作e。
（二）其他常用数学公式符号的输入和显示的对照
由于《超级画板》是国产软件，首先考虑的是国人的使用方便，所以在文本输入的时候，命令常常联系汉语拼音。譬如：向量（xl），上划线（sh），圆弧（yh），上标（sb），下标（xb），上下标（sx），积分（jf），和（he），积（ji），方程（fc），反括（fk），集合（jh），不包含（bh），真包含（zh），补集（bj），变量（bl）等。下面图片中都将公式的输入形式和最后显示形式作了对比，在课件中双击文本，可查看输入形式。
（1） 多重分式，根式；向量，上划线和圆弧（图2-24）；
图2-24
（2） 上标，下标和上下标；定积分和不定积分（图2-25）；
图2-25
（3） 求和，求积；排列，组合（图2-26）；
图2-26
（4） 括弧和集合（图2-27）；
图2-27
文本框里显示的公式可以进行编辑或复制。可通过右键菜单修改文本属性，也可直接双击文本框，也能进入编辑状态。
（三）特殊数学符号的输入
一些特殊数学符号是不能直接用键盘输入的，一般有下面几种输入方法。
（1） 在文本属性对话框中，有常用的数学符号供选择；只要选中后，点击“插入符号”即可（图2-28）；
（2） 切换到程序区；在“程序区”的左边有一狭长窗口，其中也有常用的数学符号，双击即会出现在程序区内，再复制即可；
（3） 利用输入法自带的数学符号；譬如清华紫光，只要右键单击软键盘符号（图2-29），就会弹出一个菜单，你会发现不仅仅是数学符号，其他的特殊符号也可以找到；也可利用Word中【插入】菜单下插入特殊字符的功能；
（4） Word文档复制到超级画板后，双击还可再做编辑，包括用公式编辑器写好的公式 ；
图2-28 图2-29
（5） 平常使用较多的字体通常是宋体、楷体一类，但还有一些字体很有意思，譬如：Symbol、Wingdings、Webdings、Monotype Sorts和MT Extra等。其中Symbol字体用于数学公式中，包括希腊字母、数字、运算符、集合符号和其它符号；Webdings字体汇集了日常生活中的常用符号，如电话、书本、眼镜、信封、剪刀、钟表、手势、箭头等；Monotype Sorts中包含了200多种箭头、指示符和标记；MT Extra中只有很少的数学符号，用来扩充Symbol字体。Webdings字体是对Marlett和Wingdings字体的补充。如果你想知道输入什么字母能够得到什么样的图形，则可通过字符映射表来查找。打开程序－附件－系统工具－字符映射表（或者程序－运行charmap），在图2-30中找需要的图片，点击复制。这些文本格式的图片，很有趣，而且体积很小。譬如ABCDEFG在Wingdings字体下显示为图2-31，b在Webdings字体下显示为图2-32。我们可以将点的标签改成所希望的文本图片，当点运动时，就好像是这些图片在动。
图2-30
图2-31
图2-32
（四）文本的修饰
文本中间想空一行，只需回车之后，再按几下空格键。
如果你想去掉文本的边框只需选中该文本，点击工具栏中一个眼镜符号的图标“文本边界”，即可去掉文本边框。而保留文本边框，修改文本属性，能够产生很多好的效果，给予用户很大的发挥空间。输入文本后，将线宽设置为10，颜色为红色，线型为虚线，填充为黑色，在查看菜单中将背景设置为蓝色，即可得到如图2-33所示效果，图2-34，图2-35是将线型改为点线和点划线所得到的新效果。图2-36为文本颜色渐变中的路径渐变效果。
图2-33 图2-34 图2-35
图2-36
2.1.5动态测量功能多多
超级画板提供了两套计算工具：一套是菜单栏【测量】菜单中的测量表达式的浮点计算，另一套是左边程序工作区里的符号计算。
单击【测量】菜单，通常开始只展开一半。把鼠标的光标下移使它全部展开，再单击测量表达式，就能打开测量表达式对话框。
测量表达式是经常要用的功能。如此常用的命令，每次都要打开两重菜单，未免有点麻烦。不如把它变成按钮，随手单击，便可打开。操作步骤如下：
将光标移到工具栏的右端，也就是一排按钮的最右边。单击这里的灰色小条，会出现一个按钮，上面有“增加或删除按钮”字样。把光标移到这个按钮上稍停，会打开一个只含两项的菜单，如图2-37。
图2-37
单击“自定义”项，打开自定义对话框，再单击“自定义”对话框左栏中的“测量”，则测量菜单下的命令自动在右边栏里列出（图2-38）。将光标指向最下方的“测量表达式”，按下鼠标左键，光标处会出现一个灰色的小矩形。拖动鼠标，把灰色小矩形向上拖到菜单栏里，菜单栏里会出现一个“I”字；松开鼠标左键，“测量表达式”按钮已经出现在菜单栏里了。右键单击“测量表达式”按钮，弹出如图2-39所示图标，可对该图标属性进行设置。
图2-38 图2-39
如果还想把一些常用的菜单命令拖到工具条里做成按钮，就继续操作。不然，就单击对话框的“关闭”按钮，结束操作。这种自定义的操作对很多软件都有效，譬如Word。
用户可以根据需要和个人习惯，制作自己的工作界面。譬如，测量表达式、测量角度、测量线段长度、测量多边形面积以及文本作图都是比较常用的。
假定你已经把菜单中的测量表达式拉出来成为工具栏里的按钮了。以后使用这个功能时就只说“单击测量表达式”，或简单地说“测量表达式…”。下面举例说明测量表达式的用法。
（一） 用测量作数值计算
单击测量表达式，在测量表达式对话框中最上面的空白栏里，可以键入要测量的表达式。例如键入2/3+4/7，单击确定，作图区就会出现一个文本框，里面显示出“2/3+4/7=1.24”。在对话框下部空白栏中，出现了一行字样“m000:[5]2/3+4/7=1.24”。这里m000是计算机给这个测量数据的编号，[5]是测量数据的文本对象编号，后面意义自明，是你输入的表达式和测出的当前值。
测量一个数据后，测量对话框并不关闭，可以继续测量。再测量几个表达式： pi,e,sin(pi/3),sign(3,2),ln(7)+log(2,8), 2^(1/2),如图2-40。注意，测量命令执行后，测量表达式对话框的上面两栏应当都是空的，这里特意保留一行以供参考。从图2-40看出，中间栏里是当前要测量的表达式将在文本框中显示的数据名，测量过的数据都保存在对话框下部的列表中。不再测量时，单击对话框右上角的“×”关闭它。
默认测量值保留2位小数，如需更改保留位数，可以在测量之后，双击进入编辑状态（图2-41），此时%号前面的部分“2/3+4/7”是该测量值的名字，可以删改，%号后面的数字“10”表示在小数点后保留10位。测量数据的有效数字可以达到16位。注意第三行的“2/3+4/7”是测量的表达式，不能改动，否则测量结果就会随之改变了。
图2-40
图2-41
（二）测量带字母的表达式
测量表达式不但能够进行数的运算，也能进行代数式的运算。计算floor(n)，得到结果“floor(n)=-4.00”。这表明计算机知道你使用了变量n，而且n的当前值的整数部分为-4；如需计算floor(n)2，可直接测量floor(n)2，或者测量m000^2，而m000可以通过双击“m000:[5] floor(n)=-4.00”输入，得到结果“floor(n)^2=16.00”（图2-42）。
图2-42
测量表达式对话框中还有一个选项“测量结果表示为弧度”，默认是勾选，也就是测量结果表示为弧度。测量恒等式arctan(x)+arccot(x)，直接点击确定得到1.57；再次测量arctan(x)+arccot(x)，去掉勾选后再点击确定得到 （图2-43）；如果 的单位没有显示出来的话，双击测量文本即可显示，这里的双击起到数据刷新的作用。测量之后，如果需要将弧度1.57转成角度 ，可在其属性的文本选项中，去掉左下方弧度的勾选，如图2-44。
图2-43
图2-44
计算 。提示：测量发现 ，为恒等式，而 ；此题的最后结果为 。
2.2文本命令应有尽有
通过前面的学习，我们看到超级画板的许多重要功能，不需要注册就可以使用。这些功能主要包括智能画笔、文本公式的直接输入、测量表达式以及后面要介绍的代数运算和算法编程。
但在操作中，我们也看到免费版本里的有些菜单命令是灰色的，例如右键菜单上的“坐标点”和“函数或参数方程曲线”，在免费版本中变为灰色，不能激活了。如果这些功能被禁用，免费版本的功能就十分有限了。
菜单呈灰色有两种可能，一个原因是有些功能要选择对象后才能激活，如右键菜单中的“隐藏”,不选择对象，不知道隐藏什么，就是灰色的；如果选择了一个对象，它就是黑色的了；另一个原因是有些操作在免费版本中不能直接用菜单操作，只能文本作图或程序命令执行。例如,右键菜单中的10多个灰色选项所对应的功能，免费版本都可以执行。超级画板的绝大多数功能可以在免费版本中实现，只有极个别的功能必须用注册版本。
下面我们详细介绍“文本作图”的使用方法。仔细看完本节就知道，使用文本作图，可以作坐标点、画函数曲线，可以做许多看似只有注册版本才能做的事！后面将用更多的例子展示文本作图的力量和技巧，还将引进一些文本作图对话框里没有的作图函数。
“文本作图”在【作图】菜单下面。由于它太常用了，建议你把它拉出来放到上面的工具栏里，和前面已经拉出来“测量表达式”并列（记得如何拉吗？复习一下！）。
单击文本作图按钮，打开文本命令作图对话框，如图2-45。对话框左栏列出了共11类文本命令，分别为点、直线、圆和圆弧、圆锥曲线、曲线、图形变换、对象组、文本、测量、动画轨迹和跟踪、对象的属性。每类中有若干文本命令，也叫函数。下面我们按照顺序，选择其中一些较常用的函数，动手试一试。
图2-45
2.2.1点可不简单
单击对话框左栏第一行前面的“+”，列出作点的函数名称和有关参数。
双击第一行作自由点的函数Point(x,y,[,Text]), 上方空白栏里出现Point( , , )。在括弧里第一个逗点的前后分别键入初始坐标2，3；在第二个逗点后面键入点的名字D。如果这时单击对话框右部“运行命令”按钮，就会作出自由点D，其当前坐标为（2，3）。
其实不忙着运行命令，多安排几道命令一起运行更方便。
自由点不用文本命令也能作，但在超级画板的免费版里，坐标点就要用文本命令了。
双击第二行作坐标点的函数：
Point(x,y,xDrag,yDrag[,“right”(“polar”)[,Text]])；
上方空白栏里出现Point( , , , , ,)，在括弧里第一个逗点的前后分别键入坐标4，5。
用光标指着某一行，这行命令的注释就会显示出来（图2-46）。
图2-46
单击“运行命令”按钮，作出两点D、A。点D是自由点，只不过初始位置为（2，3），可以任意拖动，它的名字是我们给的。点A是坐标为（4，5）的点，拖不动。点A的名字我们没有给，是计算机自动给的。
那么在作坐标点的文本命令中，为何准备了5个逗点呢？“xDrag,yDrag[, “right”(“polar”)[,Text]]”又是什么意思呢？
通过动手操作自己发现答案更有乐趣。双击第二行作坐标点的函数3次，在上面空白栏出现3个待填写的文本命令，分别填写为“Point(a,b,a,b,P);Point(b,a, b,);Point(a,b,“polar”,Q);”。为了清楚，可以把光标放在两个函数之间，然后敲击“Enter”键换行，如图2-47。
图2-47
单击“运行命令”按钮，作出三个点。先看它们的名字，分别是P、B、Q. 其中P、Q是我们指定的，B是计算机自动给出的。这说明作坐标点的文本命令中最后一个参数是点的名字。这具有一般性，最后一个用Text表示的参数是对象的名字，可省略。
第3、4两个参数有什么作用？用鼠标拖一拖它们就可见端倪。先拖点Q, 拖不动。是不是因为作点Q的函数中这两个参数没填呢？再拖点B看看，它只能被水平拖动。而作点B的函数中第四个参数没有填，第三个参数xDrag是b,是点B的横坐标！再拖动点P, 它可以被自由拖动。相应地，作点P的函数中这两个参数都填了，而且和坐标中的参数一致！
总结出一条规律：如果坐标点的坐标中有参数，要在第3、4两个参数的位置填上相应的参数才能拖动。拖动点，也就改变了参数。因此，拖动点P时，点B、Q都会跟着动。
现在进一步探索第五个参数的作用。按着Ctrl 键单击点P、B、Q将此3点选择，在右键菜单中单击“跟踪”，对3点跟踪。再拖动点B, 点B作水平运动时，参数b跟着变化，于是点P的纵坐标变化而作上下运动。但是，点Q却沿圆弧运动（图2-48）！
原来，点Q的文本作图函数中第5个参数是“polar”,表明其第1、2参数是该点的极坐标。第1个参数a是向径，第2个参数b是极角。极角b变化，当然是画圆啦！
图2-48
下面这个例子可看作是坐标点的一个运用。原本需要用到二次函数的性质或者用均值不等式才能解答的问题，运用超级画板，小学生都能很快得出结果。
周长为8的长方形，问长和宽为何值时，面积最大？
在对象区，展开对象组：坐标系，右键单击[0]直角坐标系，弹出对话框后勾选显示坐标刻度；设长为x，则宽为4-x,分别测量表达式x和x*(4-x)；作坐标点A（x，x*(4-x)）；作参数x的动画，改为“一次运动”，将参数最小值改为0,最大值改为4；
跟踪点A，点击动画，观察点A的运动以及测量数据。容易发现，当x为2时，A的纵坐标最大，即长方形面积最大，等于4（如图2-49）。
图2-49
文本作图对话框中列出的有40多个作点的函数，这里只能举出个别的例子。作坐标点是一个十分重要的函数，所以特别详细说明。
三角形的重心、垂心、内心、外心，也是经常碰到的，我们作出三角形后，就可以直接作出这些“心”，而不必再一步一步从头开始。以作△ABC的外心为例，外心通常用 表示；智能画笔作图时，都不会出现字母 ，因为字母 是预留给坐标系原点的。单击“新建”按钮打开一个新文档，用智能画笔作△ABC；打开文本作图对话框双击函数Circumcenter(,)，使它显示在上方的空白栏里，顺次填入参数值5,6,8, （图2-45），运行后作出外心 。
点有名字，也有编号，就好像人有名字，也有身份证编号一样；人有重名的，点的名字也可以随便修改的，不像编号那样具有唯一性。所以在函数命令中，都是用编号来代表该对象。查看对象编号，有多种方法：（1）选中该对象，状态栏会出现其编号；（2）通过对象区查看对象编号；（3）在文本作图对话框弹出状态下，可“运行命令”下面一栏查看对象编号（图2-50）；
图2-50
还有一个很有用的作点函数，可以作旋转缩放点，在作点函数列表中位于倒数第16行。函数的第1、2个参数P、A是点（填写点的编号），第3、4个参数nTime和nAngle都是数值。执行这条命令作出点P绕点A沿逆时针方向旋转的点Q，且满足条件：QA/PA=nTime，∠QAP的度数等于 nAngle。这里旋转的角度是度，旋转的方向是逆时针方向。如果要求顺时针方向旋转，可将Angle的值反号。
新建文档，用智能作图功能作线段AB；则两点A、B的编号为5、6。打开文本作图对话框双击函数PointFlexRotate(,)，使它显示在上方的空白栏里，顺次填入参数值5，6，3/4，30并运行，作出点C。关闭文本作图对话框后连接线段BC（图2-51），图中BC长度是AB的3/4，∠CBA=30o 。
图2-51
如果旋转角度和放缩比例是带变量的表达式，则会产生一些不错的效果。
先任作AB两点；利用PointFlexRotate函数，依次填入6，5，sin(5t)，t180/pi，运行命令后得到点C，跟踪点C；连接AC并跟踪。作出变量 的动画，运行动画，就得到了一个5瓣花形（图2-52）。修改点C的属性，将前一个参数改为1+sin(5*t)/2，则效果如图2-53所示。试想将其中的5改成其他数字如何？改成小数又如何？
图2-52 图2-53
比例点也很常用，通常下面几种方法：
（1） 参数修改法是最方便的方法。在线段 AB上任作一点C，修改点C的属性，将参数改为1/3，而x-拖动参数一栏则删除，即可作出AB从三等分点；注意此时要确保勾选线段比例一项。
（2） 用作比例点的命令RatioPoint(A, B,r[,Text])，作出的点P满足如下条件：A、B、P三点共线；AP=rAB；r>0时，P和B在A的同侧，反之在异侧。
（3） 用作定比分点的命令DivisionPoint(A, B, k[,Text])。作线段AB的分比为 的定比分点。如果 、 ，则定比分点的坐标为： 。
（4） 用点绕点旋转缩放命令PointFlexRotate(P,A,Times,Angle[,Text])。
另外，圆锥曲线的焦点、中心、顶点，线段的定比分点，直线与圆锥曲线的交点等，都可以通过文本命令完成。
2.2.2直线面面观
直线类的作图函数较少，举一个例子。
新建文档，用智能作图功能作两个圆，编号为7、10。单击“文本作图”按钮，在对话框里单击直线项，列出作直线的函数。双击倒数第4行作两圆公切线的函数，使它出现在上面的空白栏里，顺次填入两圆的编号7和10，再将它复制3行，在第3个参数的位置顺次填入0、1、2、3（图2-54），此处的0、1、2、3分别表示4条公切线，命令运行后作出了两圆的4条公切线（图2-55）。拖动A、B、C、D各点，观察切线的变化。
图2-54
图2-55
角平分线，圆锥曲线的切线、准线、渐近线等，也可以通过文本命令完成。
试比较一下角平分线AngleBisector(A, B, C)与角平分线上的点PointOfAngleBisector(A, B, C[,Text])有何不同。
2.2.3圆和圆弧很重要
新建文档，用智能作图功能作3点A、B、C, 编号顺次为5、6、7。在文本作图对话框里单击“圆和圆弧”展开函数列表，双击列表中的第2、3、4这三个函数，在上方填入参数如图2-56。命令运行后作出了三个圆（图2-57）。通过拖动点，探究三个作圆函数的作用和其中参数的意义。
图2-56
图2-57
两个利用“圆心和半径”作圆的函数是有区别的，一个是作已知圆心通过指定点的圆：Circle(Center,P)，Center为圆心，通过点P；另一个是作已知圆心和半径的圆：CircleOfRadius(Center,Radius)，Center为圆心，半径为Radius。
我们还可以以Center为圆心作一个和直线Line相切的圆：CircleOfTangent(Center, Line)；以AB为直径作一个圆：DiameterCircle(A,B)；作△ABC的外接圆的圆周角∠ABC所对的弧：AngleArc(A,B,C)；作△ABC的外接圆周上的圆弧ABC：ThreePointArc(A,B,C)。
2.2.4圆锥曲线条件多
第一行的函数是以Center为中心，作一个符合条件的标准椭圆：NormalEllipse(Center, a(b/c/e)=expr1, b(a/c/e)=expr2, sXy)。参数a(b/c/e)=expr：等号的左边必须为a、b、c或e，右边必须是一个合法的且符合条件的数学表达式。a、b、c和e的意义如下：a 长半轴、b 短半轴、c 半焦距、e 离心率。而sXy决定焦点所在的轴，其值只能为x或y，如果值是x表示焦点在x轴上，否则焦点在y轴上。
第二行的函数是以F和G为焦点，作一个过点A的椭圆EllipseOfFocusPoint(F, G, A)。
新建文档，用智能作图功能作3点A、B、C, 编号顺次为5、6、7。在文本作图对话框里单击“圆锥曲线”展开函数列表，双击列表中的第2行。在上方填入参数（图2-58），运行后作出了以A、B为焦点，并过点C的椭圆（图2-59）。
图2-58
图2-59
可以以F和G为焦点，作一个长半轴为a的椭圆：EllipseOfFocusAxis(F, G, a)，若|FG| = 2a，此时椭圆将退化为直线；若|FG| > 2a，则椭圆转化为双曲线；作给定方程Equation=0的圆锥曲线：ConicOfEquation(Equation)，Equation为关于x和y的二元二次多项式；根据二次曲线的顶点(Vertex)、准线(Line)、及离心率(Ecc的绝对值)作二次曲线：ConicOfUniform(Vertex, Line, Ecc)；作一条过五点A、B、C、D和E的二次曲线：ConicOfFivePoint(A, B, C, D, E)。
对其他圆锥曲线也有类似函数。当然各种圆锥曲线有其独特性，譬如可以已知顶点和焦点作抛物线：ParabolaOfVertexDirectrix(V, Line)，已知顶点和焦点作抛物线：Parabola(A, B)，这是椭圆和双曲线没有的。
2.2.5函数曲线最有用
在文本作图对话框中单击曲线项，打开函数列表。曲线类中的作图函数不多，但都很有用。两次双击列表中的第1行“显式函数”，在上方填入参数（图2-60）。第一行的第一个参数的位置，填写了函数表达式y=2sin(5x)。这里*表示乘号不能省略，函数符号sin后面的括弧也不能不写。第2、3 两个参数是变量x的范围，第4个参数是描点画曲线时所取的点数，点数够多才能画得比较准确。第二行里，把变量x和y分别换成了thet和 rho,表示是在极坐标下作图。变量thet代表 ，rho代表 。运行后作出两条曲线（图2-61），看似相同的两个函数，在不同的坐标系下，为什么区别这么大呢？如果引入变量（变量尺的详细作法见本章2.8节），跟踪图像，还会产生更多的效果（图2-62）。
图2-60
图2-61
图2-62
不少同学都是讨厌数学的。有人这样形容学习数学的枯燥：“12345，数学学得真辛苦；1234567，数学学得真没劲”。甚至还有人感叹：“我爱数学，但数学不爱我！”
其实数学并不枯燥，更加不是冷酷无情。譬如自然数2就被认为是一个充满爱心的数，因为它是个“双数”，取成双成对之意。“双数”又叫“偶数”，在古文中里，“偶”也就是成双成对的意思。又如相亲数220和284，自身所有真因数之和等于对方，你中有我，我中有你，相亲相爱，永不争斗。
不需要太高深的数学，将中学所学的一些函数加以组合，譬如正弦函数、余弦函数等，就能描绘出自然界的很多物体，也包括人的爱心！用超级画板尝试绘制下面这个函数： ，您会惊奇地看到原来数学竟是也如此有“爱心”（图2-63）！
图2-63 图2-64
在几何作图中，有时需要标注角度和线段（图2-64）。需要用到函数对∠ABC作标注记号：LabelAngle(A,B,C[,Text])和对线段AB作标注记号：LineLabel(AB,n,k) (文本作图中没有此命令，本书特别补充)，第二个参数是标注线的条数，第三个参数0表示是否有箭头，若为0，则没有箭头；若为正数，则箭头指向为AB；若为负数，则箭头指向为BA；查看所标注的线段的属性，找到有两个关于标注的属性：标注间距和长度，尝试着修改，看看这些参数有何作用。
2.2.6图形变换功能强
最常用的图形变换是轴对称、平移、放缩和旋转。其中前两种变换可以用右键菜单实现，而放缩对象可利用放缩点来完成。下面介绍作图形旋转。
如图2-65，旋转变换函数Rotate( , , ,) 位于“图形变换”下函数列表的第3行。除了名字，它有3个参数。第一个参数是要旋转的图形对象，如点、直线、圆、曲线以及可变换文本；第2个参数是旋转中心，是一个点；当然会想到，这两个参数要填入对象的号码。第3个参数是旋转角，是一个数值或含有字母的表达式。这也正是旋转的三要素：旋转对象、旋转中心、旋转角度。中学教学时，让学生操作一遍，就很容易理解记忆这三要素。
新建文档，启动文本作图功能，分别调出作自由点、坐标点、函数曲线和旋转等函数并填入参数（图2-65）。运行后，第一条命令作出自由点A, 编号为5，准备作为旋转中心；第二条作出x轴上的一个坐标点B，拖动点B可以让变量a的值变化，准备用来控制旋转角；第三条作出一条曲线，编号为7，是要旋转的对象；第四条是说让7号对象（曲线y=cos(x)）绕5号对象（点A）旋转a弧度，图2-66显示出原曲线和旋转得到的曲线。
图2-65
图2-66
拖动点A或B改变旋转角, 可以看到曲线的运动。跟踪曲线后再拖动点B，旋转的曲线留下一串痕迹（图2-67）。
图2-67
利用仿射变换函数AffineTriangle(affObj,A,B,C[,D,E,F][,Text])可以实现四种变换的组合。此函数构造一个由图形对象Obj经仿射变换得到的对象；确定仿射变换的条件是把三角形ABC变换成三角形DEF。如果D、E和F缺省，则指定的仿射变换把三角形(0，0)(1，0)(0，1)变换成三角形ABC。此处A、B、C、D、E和F必须是点对象。对象Obj必须是下列几何对象：点、直线类对象、二次曲线、函数曲线、参数曲线、多边形、离散点曲线、轨迹、手写手画对象或可变换文本等。
2.2.7对象组分合遮盖
这里只有一个函数Group(,)，它的作用是把多个对象编成一个“对象组”。虽然括弧里只有4个逗号，里面可以填写的对象编号可以多得多，只要多打几个逗号就是了。
随手作一些对象，如圆和三角形，再调用一个曲线作图的文本命令和函数Group(,)，填上参数（图2-68）。看左边，对象编号最后是13，但运行命令后又作一条曲线就到14号了！所以函数Group(,)的参数填到了14号。运行后如图2-69所示，左边的对象工作区简化了。接下来可以很方便地同时选择其中的所有对象，控制对象组所有对象的显示或隐藏。进一步还可以同时改变颜色、线的粗细等；此操作在【编辑】菜单下通过修改“对象的画笔、画刷和字体”来完成。如果要对组内某个对象单独操作，就要单击“[15]对象组”前面的+号，把对象组展开。你不妨试试看。
分组的好处就是能够“统一行动”。譬如将所有的点编入一个组，就可以很方便地移前移后。
图2-68
图2-69
2.2.8文本含变量表格
在“文本”类的几个函数中，有一个是可变换文本，另一个是变量。
双击列表中第3行可变换文本函数TransformText( )，使它出现在上方空白栏里，输入文字（图2-70）。运行后在作图区左上角出现“可变换文本”字样。它与前面所说的用文本按钮启动输入的文本不同，可以用鼠标拖动连续改变大小长宽，可以用颜色或图案填充，可以作旋转等变换。可变换字体作为作品的标题，美观实用，灵活方便。单击选择它，周围出现几个小的黑方块。拖动这些黑方块，可以改变大小长宽。图2-71因在选择状态，字体较淡。
图2-70
图2-71
在右键菜单中单击“属性”，打开属性对话框（图2-72）；单击下部“字体”按钮，在字体对话框里选择黑体、粗体，单击“确定”关闭字体对话框。
图2-72 图2-73
这时属性对话框仍在。在属性对话框上部单击“填充”，打开填充选项卡，在“类型”栏单击“填充”字样前面的小方框打“√”，表示要对字体填充（不仅仅是可变换文本，其他的可填充对象都是类似填充；如果要去掉填充，去掉填充勾选即可）；并且选择“阴影线条画刷”，在右下方选择适当的图案（图2-73），最后单击确定关闭对话框，文本变为粗黑体并填充后如图2-74所示。
图2-74
注意，列表的第4行也是“可变换文本”，其参数比第3行的函数多了两个，即x,y。这里x、y是文本的初始位置坐标。如果希望可变换文本一开始就在指定的位置出现，可以调用第4行的函数。
可变换文本中的文字，可以在属性对话框中修改，也可以双击它使它进入可编辑状态直接修改。也可用工具栏的调色盘来改变线条颜色和填充颜色。
另一个非常有用的函数是变量Variable( ,)。调用它时可以填入变量名。运行这条命令后，作图区出现一条水平的变量尺，上面有一个滑钮，鼠标移至上方变成左右箭头形状，拖动滑钮就能改变变量的大小。列表的5、6两行都是变量函数。不同之处在于，第6行的函数多了两个参数，用这两个参数可以设定变量尺两端的数值。说明一点，对于每一个参数，软件会根据一定的算法给出一个初值，如果初值不在你所设置的范围内，则设置范围失效。
下面的操作说明了变量的用处。在文本作图对话框中调用作曲线的函数两次和变量函数3次，填入参数(图2-75)。图中命令是先作二次函数y=ax2+bx+c的曲线，再作三角函数y=asin(bx+c)的曲线，然后建立a、b、c 这三个变量的变量尺。运行后，拖动变量尺上的滑钮，可以改变a、b、c的值，使曲线的形状连续地改变。
图2-75 图2-76
在图2-76中，还有一个标题文本，该文本中含有变量a、b、c，其数值会随着比例尺的拖动改变。该文本的生成可在文本作图中运行“Text(y= b l a , 12 ∗ x 2 + bl{a,12}*x^2+ bla,12∗x2+bl{b,12}*x+ b l c , 12 ) ; ” ， 也 可 直 接 在 工 具 栏 中 的 文 本 输 入 框 中 输 入 “ y = bl{c,12});”，也可直接在工具栏中的文本输入框中输入“y= blc,12);”，也可直接在工具栏中的文本输入框中输入“y=bl{a,12}*x^2+ b l b , 12 ∗ x + bl{b,12}*x+ blb,12∗x+bl{c,12}”，$bl{,}是插入变量的控制符，其中“bl”是“变量”之意，花括弧里逗点前填写变量名，逗号后面填写小数点后四舍五入要保留的位数，最多为9位。这里不填或填0意思是取整数；填入大于9的正整数时表示变量为负值时要加括弧，而该正整数的个位数为小数点后四舍五入要保留的位数；填入其他数字或符号则一律保留6位小数（图2-77）。
图2-77
下面这个例子可用于小学数学教学。如图2-78，作一行带变量的文本，使显示的字样为“6+12=18”，并用两把变量尺控制两个加数，使它们可以变为其它整数，但保持等式成立。这其中需要测量表达式：floor(x)、floor(y)、floor(x)+floor(y)，再作一个文本“ b l m 000 , 0 + bl{m000,0}+ blm000,0+bl{m001,0}=$bl{m002,0}”，其中的m00x对应所测表达式。然后作x、y的变量尺，默认保留两位小数。将屏幕右边的对象属性工作区拉宽一点，在最下方的“其它”一栏下，有显示浮点数的精度的设置。具体操作是先选择变量尺，然后将该栏中的2改为0，那么变量尺上的数字就显示为整数了。
图2-78
2.2.9测量招数真不少
《超级画板》的测量功能十分丰富，很多可以用测量菜单命令执行。在平面几何探究中会多次遇到，后面还会有更多的介绍，这里举少量例子。
测量类文本命令的函数列表中，第2行是测量点的直角坐标的函数MeasureRightCoor( )，第4行是测量点的x坐标的函数MeasureXCoor( ), 第14行是测量多边形面积的函数MeasureArea(,)，第15行是测量封闭图形内坐标为整数的点（简称整点或格点）的个数的函数IntPointIn( )。下面试用这几个函数进行测量操作。
如图2-79，选择坐标系，在右键菜单中单击“属性”打开属性对话框，设定“画坐标网格”。再作4点A、B、C、D。顺次选择此4点，在右键菜单中单击“多边形”，作多边形ABCD。这些点和多边形的编号分别为5、6、7、8、9。在文本作图对话框中调用测量函数列表的2、4、14、15 诸行的函数并填入参数。要注意的是，测量多边形的面积要填入多边形顶点的标号(用菜单测量，可以选择多边形，也可以选择诸顶点)，而测量封闭图形内整点的个数时要填入多边形的标号（先要作出多边形）。运行后显示出测量数据，拖动有关的点，可以看见测量数据的变化。
图2-79
在【作图】菜单下“点”子菜单下有一个作整数点的选项，点击该选项，鼠标变成笔的的形状，此时作出的点都是整数点。再结合IntPointIn函数，可以对整数点问题作一些探究，譬如探究毕克定理：格点面积=内部格点数+周界格点数÷2－1（图2-80）。
图2-80
用文本命令作半径为r的圆，作变量r的变量尺，测量圆内（包括边界）整点个数、圆面积和两者的比值。改变r的值，观察比值的变化趋势，思考这比值与圆周率有什么关系(图2-81)。
图2-81
2.2.10动画轨迹和跟踪
动画、轨迹和跟踪这三个功能都是很受大家喜欢的，因为展示的很多效果是纸笔所不能及的。动画和跟踪前面已经有所介绍，如果有遗忘，可先复习。
对象之间的几何关系基本上都可以用参数或表达式来表示，而其中最重要的则是关于点的参数。掌握好参数是灵活掌握动画和轨迹功能的基础。下面对常见的点的参数的含义作一些解释：
（1）线段AB上任作一点C，查看其属性，参数为u000。此参数表示比值 ，AC为有向线段。
（2）在直线（包括横轴，纵轴）上任作一点，查看其属性，参数为u000。此参数不是一个比值，而是一个距离，是该点到屏幕右方或者到屏幕上方的距离！（提示：先在横轴上作点A，再利用坐标点函数作点B（u000，0），拖动点A，则会发现二者的不同）。
（3）圆上的一点，参数代表圆心到该点的向量的方向角，取值范围是0到2π。
（4）在多边形边上的一点的参数u000，控制的是在多边形边上的位置。譬如任作一个四边形ABCD，然后作四边形边上的点E，此时查看属性，可以看到点E的属性为u000；作出u000的动画，当变化范围从0到1时，点E在AB边上运动；当变化范围从0到2时，点E先在AB边上运动，然后在BC边上运动，依此类推。
（5）函数曲线上的一点，其参数就相当于一般的参数t。用智能画笔在函数曲线 上作点和用“Point(t,t^3,);”命令作点，二者的区别在于后者缺少“x-拖动参数”，如果用“CurveTangent(A);”命令作出过该点的切线，前者可行，后者不行，需要修改属性，填写“x-拖动参数”之后方可。
注意1：在圆上作点，删除圆之后，则点也被跟着删除。而在函数曲线上作点，删除函数曲线之后，点不会被删除。譬如在曲线 上作点，则点的坐标是（u000，u000^2）。如果将 改为 ，点（u000，u0002）不会跟着变化，此时若将点的坐标改为（u000，u0003），则点又在函数曲线上。
注意2：超级画板中表现为线段上的点可以在线段所在直线上运动；类似地，圆弧上的点可以在圆弧所在的圆周上运动。如果希望限制点的运动，则可设置参数的变化范围。具体操作在【对象】菜单下的“设置变量的范围”中实行。
动画的6种类型前面已有介绍，下面分别举例介绍动画按钮的属性设置。
（1）运动频率
如图2-82作圆，圆心是原点O，点A在x轴上，在圆上作点B，连接OB，点C是线段上的一点，跟踪点C；作出点B的动画，将动画类型改为重复运动，其他保持不变；作出点C的动画，将动画运动的频率改为10，其他保持不变。启动两个动画，就会得到类似于图2-83的图形了。更改点C的动画参数，将动画运动的频率改为15，其他保持不变。启动两个动画，就会得到类似于图2-84的图形了。我们还可以作出更多式样的花瓣来，譬如说将点C的动画运动的频率改为25，30，35……还可以改变点B的动画运动的频率，甚至还可以将圆上的点改为多边形上的点（图2-85）；只要你有足够多的时间去探索，去发现！
图2-82 图2-83
图2-84 图2-85
（2）参数范围
任给一个数，乘以0.5得到一个新的数；再将这个新的数乘以0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢？
增加一点难度。任给一个数，乘以0.5后再加上0.5得到一个新的数；再将这个新的数乘以0.5后再加上0.5得到下一个数；继续下去，最终这个数会等于多少呢？
图2-86
可以用动画功能探究这个问题。如图2-86，测量参数x，初始值为-3；作参数x的动画，频率改为1，参数范围改为x到x*0.5+0.5,动画类型改为一次运动；多次点击动画按钮，发现x的测量值越来越接近于1。用变量尺改变x的值，再点击动画试试。
这是一个简单的不动点例子。通过这个例子可以看出，动画的变化范围可以是变量（或表达式）之间的转化，而不是单纯的数值转化。如果将变化范围都填写为同一数值，那么运行动画即可将该参数赋予指定的数值，这一技巧常常用来控制参数为指定值。
（3）并行按钮
图2-87
如图2-87，分别测量参数x、y、z、(x+y+z)/3；分别作参数x、y、z的动画，频率改为1,动画类型改为一次运动，参数范围分别设置为x到(y+z)/2、y到(z+x)/2、z到(x+y)/2；用“AnimationParallel(A,B,C,);”命令作出控制三个动画的并行动画按钮，A、B、C为动画按钮的编号；多次点击动画按钮，发现x、y、z最终会趋向相等，为(x+y+z)/3。也可以选中三个动画按钮，点击工具栏画线颜色左边的“启动动画”按钮，可以同时启动三个动画；在下一节，还会讲到作多个动画的并行动画的方法。
在超级画板的免费版本中，不能用菜单命令作轨迹。而作轨迹的这个函数Locus( ,)又十分重要，所以一定要掌握它的文本命令操作。
说到轨迹，当然是一个运动或可能运动的对象的轨迹。在超级画板的当前版本中，只允许点、线（线段、射线或直线）和圆这三种几何对象产生轨迹。
产生轨迹的运动，可能是由参数的变化所引起的，也可能是由半自由点（有一个拖动参数）的运动所引起的。但参数的变化也可以用坐标点的运动来表示，所以，总可以把轨迹看成是一个或几个半自由点或具有一个拖动参数的坐标点驱动的结果。这一个或几个起驱动作用的点叫做轨迹的主动点。在填写轨迹函数的参数时，主动点依次写在前面，产生轨迹的对象写在最后。如果要给轨迹起名字，最后再添上名字。一定要注意轨迹点要是半自由点。请看下面的例子：
新建文件，用文本作图命令“Point(x,sin(x),);”绘制了点A(x,sin(x))，执行“Locus(5,5);”命令后会出现提示“函数参数值错误”。
出错的原因就是超级画板将x已经赋初值，点A就是一个固定点，解决办法就是将该点变为半自由点，具体操作是在点A的属性中“x-拖动参数”后面的方框内填写x。当然如果一开始作点是用文本作图命令“Point(x,sin(x),x,);”则不需要修改了。
点A的轨迹是一条正弦曲线。注意，在生成这个轨迹时，点A既是主动点又是轨迹点。
上面生成的轨迹，只有一个主动点。下面举出一个有两个主动点的例子。
新建文档，如图2-88，作一个圆 (圆心为A，过点Ｂ)和圆上一点C；过点A作线段AD, 在AD上取一点E；过C作AD的平行线CF, 自E向CF引垂足G。文本命令“Locus(8,11, , ,14);”是要作以C、E为主动点时点G的轨迹。运行后作出轨迹如图2-89所示。
图2-88
图2-89
如果你多思考一会儿，就会问，如果点C在圆上跑得更快呢？例如，点E从A跑到D这段时间，点C在圆上不是跑一圈而是3圈，轨迹还是这样吗？如果不是，如何调整C、D两点的速度的比值呢？
鼠标双击轨迹，可以打开轨迹属性的对话框（图2-90），在对话框中部有两行参数，第一行是关于点C的，第二行则关于点E。从第3列“周期比”看，当前的设置是1：1。你可以把它们改成任意两个正整数，例如7比5。单击确定后再看，轨迹如图2-91所示。图中共有7峰7谷，5段曲线，说明C绕圆7周，而E在线段上跑5次。
图2-90
图2-91
很多问题不借助计算机是很难想象的，譬如作坐标点（5sin(nt), 3cos(mt)）, 当改变m、n和t时，轨迹如何变化。参看课件《2-91轨迹法作曲线》的第二页。
如果把跟踪结合其他功能，效果更加理想。
如果希望一个点在多边形的边界上运动，那么就需要用到点类别下的多边形上的点的函数命令PointOnPolygon(, , , ,)，这个函数的参数是对应多边形的顶点编号，注意必须依次填写，否则效果不同。填入的参数个数不受限制，添加一些逗号而已。
如图2-92，作多边形ABCDEFGHIJKLMNP，并摆成一个牛头的形状，接着利用PointOnPolygon函数作出多边形上点Q；拖动Q，就会发现Q在多边形上运动；然后在平面上任作点R，连接QR，并在QR线段上作点S。跟踪S，作出Q的动画。启动动画，得到一个与原来多边形相似的图形，很明显R是放缩中心，S控制放缩比例，当S在QR延长线上时，生成倒像。
这个案例在相似性的教学中比较有用。有几点注意：（1）若直接用智能画笔作点，则该点只能在某一条线段上运动；（2）没有出现点 ，这是由于 被保留作坐标系原点；（3）若将所有对象隐藏，仅保留S的踪迹和Q的动画，则会有另外一种感觉。
图2-92
利用多边形上的点这一功能，能够很好地控制点的运动路径。譬如希望有一个点从A出发，依次经过B、C，最后到达D，那么可以作出四边形ABCD上点E，此时点E的参数为u000，再作一个参数u000的动画，参数范围0到3，一次运动。这样点E就不绕多边形一圈了（图2-93）。尝试将参数范围改为0.5到2.8，看看有什么不同。而直接作点E的动画，点E就会绕多边形转一圈。
此时如果作点E的轨迹，会生成什么样的图形呢？图2-94是作好的轨迹的属性对话框，，最小值和最大值都是可以修改的，甚至可以填写点E的拖动参数u000，这一功能可以作出点动的同时带动线的效果。运动点的基本频率、间断点的最小值这两个选项是为了使轨迹作得更精确一点，通常将基本频率调大一点，间断点的最小值调小一点为好。
图2-93
图2-94
在很多情况下，轨迹和跟踪的表现效果差不多，但二者有以下区别。
（1）被跟踪的对象运动时留下的踪迹是临时的图象，鼠标一点就消失了；将对象设置成跟踪之后，在作图区无法取消跟踪，应该在对象区将之删除或隐藏。而轨迹则和作图产生的点、线、圆一样，是确定的几何对象；可直接选中删除或进行操作。
（2）要作出点、线或圆的轨迹，要调用驱动它的自动点和它本身，才能激活轨迹命令。而要跟踪几何对象时，只需选择跟踪对象本身即可。
（3）执行轨迹命令，设置轨迹属性就出现轨迹，而被跟踪的对象要运动才能出现踪迹。如果参数改变，轨迹立刻变化，而踪迹的变化则要等再次运动才能看出来。
（4）对轨迹可以进行几何变换，对踪迹则不能。
（5）由半自动点驱动的点、线或圆才有轨迹，而所有的几何对象都可以被跟踪。
2.2.11对象属性有奥妙
熟练掌握这一类文本命令的功能能使课件增色不少。因为这些命令执行后生成按钮能够很好地控制对象的属性。我们先用第一行的函数命令“Button( );”作出一个动作按钮，该函数需填写的参数就是动作按钮的名称。打开动作按钮的属性对话框（图2-95），可看到按钮中所包含的动作类型。
图2-95
Hide：将指定的对象隐藏。
HideAll：隐藏作图区中的所有对象，包括按钮本身。
Show：将指定的对象显示在工作区中。
ShowAll：将所有对象显示在作图区中。
Pen：设置对象的画线颜色、线宽、线型等属性。
Brush：设置对象的填充类型、填充颜色以及是否选择填充等属性。
Font：设置对象的文字的字体、大小和颜色等属性。
Animation：启动动画按钮的动作。
Play：开始播放Flash、Movie、Gif等动画对象。
Wink：使指定的对象开始闪烁。
Stop：停止动画、闪烁、Flash动画和Movie动画。
PointSize：设置点的大小。
SetVarValue：将参数、变量设置成指定的数值。
AnimationSpeed：设置动画的速度。将对应动画对象的运动间隔时间重新设置，在左下方的编辑框中输入时间间隔的时间，单位是毫秒。
AnimationType：设置运动的类型。将对应动画对象的运动类型重新设置，在下方的编辑框中输入运动的类型对应的有效数字。其中，0表示重复运动，1表示往复运动，2表示一次运动。
ToPage：从当前活动页面转到指定的活动页面。需要在左下方的编辑框中输入页面的序号，如：1、2、3等数字。但数字对应的页面必须存在；若对应的页面不存在，则不执行命令。
注意：免费版本是不可以直接增加新的页面的（工具栏第4个按钮），解决办法是用菜单命令“文件|保存当前活动页面”将空白页面保存成pag格式，然后用菜单命令“文件|打开页面”打开所保存的空白页面，这样文件就增加了新页。甚至可以设置模板：新建文档，在【编辑】菜单下，可连续看到两级子菜单“对象的画笔、画刷和字体”，单击后弹出对话框后，设置字体为斜体、三号，线宽为2；然后将这一页保存成pag格式，随时可调用。这样的模板所画出的线都是加粗过的，字体也大一些，斜体，作图就比较好看，教学时让后面的同学看得更清楚。
充分利用这些按钮有利于增强课件的效果。譬如我们要设置一个动画使得参数a变为1，那么只要选中“SetVarValue”，点击“增加动作”，选中“设置变量的值”，再在下面的框中填写“a=1”，点击确定即可。需要注意的是一定要选中“设置变量的值”，表示对设置予以肯定。隐藏对象也是如此，要先选中增加的动作“隐藏对象”，然后才去右边对象列表框中双击选取需要隐藏的对象。
一个按钮可以同时执行多个操作，譬如在设置好将变量赋值之后，我们还可以将这一按钮赋予隐藏横轴的功能，选择“Hide”，点击“隐藏对象”，选中“隐藏对象”，再在最右边的框中双击“[2]直线：x轴”，此时“[2]直线：x轴”出现在中间的框中（图2-96），点击确定即可。如果要取消某一操作，双击其命令即可。
图2-96
如果希望作一个动画按钮，点击一下，隐藏某对象；再点击，则显示该对象。这样的效果是可以实现的，首先得作两个按钮，一个控制显示，一个控制隐藏，然后利用对象属性下的第二行的函数命令“Button( ,);”作按钮，其中的参数填入刚才所作的两个按钮的编号。这样作出的按钮是满足要求的，但作得有点辛苦。其实直接在对象区勾选进行对象的显示隐藏是很方便的，也很省事；而作出按钮形式显得更傻瓜化，方便那些没学过超级画板基本操作的人使用。
其他的一些函数命令也是很有用的，譬如“Move( ,);”就能同时启动多个动画按钮；请读者自行探索总结经验。
使用文本命令操作，是本书的重要内容。后面将看到，执行文本命令不一定要打开文本命令对话框，在程序工作区里也可以执行。
2.3平面几何
平面几何作为人类最古老的学科之一，已有两千多年的历史，其魅力经久不衰。计算机科技的发展，出现了一些计算机作几何图形的软件。传统教学虽然强调数形结合，但由于条件的限制，不可能将数形结合这一重要的数学思想方法发挥得淋漓尽致。平面几何能给人的印象是静止的，如果能让几何图形动起来，在运动过程中还保持原有的几何关系，这就是动态几何，是几何作图的发展。专门用于作动态几何的作图软件应运而生，使这门古老的科学焕发青春，变得更加丰富多彩，更有吸引力和挑战性。《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来，平面几何动态作图当然是它的基本功能。基本功能熟练了，就有了登堂入室的基础。
超级画板能提供一种数与形在动态中相结合的情境，能揭示复杂现象中整个过程的每个细节，对数学教学手段改革有很好的促进作用。运用超级画板作图，首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。相关的测量数据也会随图形的运动改变；一次测量，无数次使用，可谓一劳永逸！
下面我们将通过一些实例，学习动态几何作图，图形的旋转、平移和缩放的操作机制，图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法。
看了这些例子你会看到，优秀的作品源于对知识的创造性地运用。再好的软件也不过是你手中的工具，不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展。创意永远是最重要的。
首先来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。
2.3.1动态几何暗藏玄机
大家一起来试一试，画出过同一点的三个圆。合上书本，自己动手。完成后，看看你的制作结果是不是与图中的图形相似？有三个圆，六个点。
请大家随意拉动几个点试试，看这三个圆是否还能“过同一点”？拖动结果可能如图2-97所示：
图2-97
为什么图形会“散架”？图2-98列出了最典型的初学者“画共点三圆”的步骤，很大程度上受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响。
图2-98
在拖动过程中，动态几何作图能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么，你思考一下，上述方法在画圆时，到底给定了什么样的几何关系？
我们知道，圆是由两个点来决定的，双击鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点，此点与圆心共同决定圆的半径；改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。
而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共三个圆，六个自由点）。根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。这就表明在超级画板中，不能再像纸上作图那样过于随意，每时每刻都得考虑图形之间的几何关系。
那么怎么能保证它们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看？
步骤 过 程 描 述 作图结果
1 选择智能画笔 （无）
2 画第一个圆：圆心为A，圆上一点为B。
3 画第二个圆：在任意一点处双击鼠标键即规定了圆心C，拖动鼠标移向B，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点处松开鼠标，即圆上的点为B；这样做不会生成新的点D。
4 画第三个圆：在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心D，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点处松开鼠标，即圆上的点为B。
现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。很显然，在这种做法中，由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B，因此不管如何拖动这三个圆，它们都会经过点B。
这就是动态作图！这就是动态中保持几何关系！
这里所说的几何关系，其实指的就是数学中的逻辑关系。在运用《超级画板》作图时，要多联系数学，想想其中的原理。以最简单的“作一条线段”为例，我们用智能画笔点击拖动即可作出线段AB，看起来好像是先作出点A，再作出线段AB，最后作出点B；其实不是这样子，两点确定一条线段，点B若不定下来，何谈线段AB？我们可以在对象区里查看编号，就会发现点B的编号在线段AB的编号之前。
有人将对象区比喻为花名册，因为对象区将所有对象一一编号列出；这一比喻有其合理性，但并不准确。因为花名册中所记录的对象之间很可能是没有什么联系的，而超级画板的对象区里所记录的对象之间通常都有比较紧密的联系。譬如你点击线段AB前面的+号，就能看出A、B两点是线段AB的父对象。所以说，对象区更像一本家谱，不但将对象一一列出，更重要地是暗藏了对象之间的关系。这就是软件的开放性，通过对象区很容易就能看出别人作课件的步骤和方法，便于交流和资源共享。
看似一样，其实不同。下面我们通过一个三等分点的例子进一步感受这一点。
先作线段AB，然后用定比分点函数“DivisionPoint(5, 6,1/2 , );”作出三等分点C，现在有两种方法作另一个三等分点D（图2-99）；
法1：继续用定比分点函数命令作AB的三等分点，逻辑关系如图2-100所示。
法2：依次选中A、C，在右键菜单中单击“选择平移向量”；然后选择点C，在右键菜单中选择“平移几何对象”得到点D，逻辑关系如图2-101所示。
图2-99
图2-100 图2-101
表面看来结果一样，其实内部的逻辑关系大不相同。按法1绘制的点D，当删除点C后，点D则不会消失，因为点D和点C之间没有依赖关系，同属于点A和点B的子对象；按法2绘制的点D，当删除点C后，点D则会自动消失，因为其父对象已经消亡。
这又一次提醒我们：动态几何作图一定要注意逻辑关系，而且不要随便删除对象。对于不需要显示的部分，可采取隐藏措施；确定不影响其它，才作删除处理。
法1中对象关系只有两级，也就是说当拖动自由点A（或B）时，其他的非自由点能够更快地接受到信息。还有作法是作好点C后，以C为圆心，CA为半径作圆，圆与线段的另一个交点则为所求作的另一个三等分点。这样的作法增加了一个本来是不需要的几何对象，同样会增加计算机的运算量，影响效率。
作等分点的小技巧：先在线段上任意作两个点，然后修改属性，将参数改为1/3、2/3即可得到两个三等分点。注意要删除可拖动参数u000、u001，否则该点还是可以随意拖动的。
2.3.2动点定值眼见为实
有人认为：培养逻辑思维能力最好的办法就是学几何的证明，而不是看逻辑学方面的书。学习几何不光能够锻炼思维，而且能够培养直观能力。著名数学家庞加莱在著作《科学的价值》中提到，数学家里面有两种不同的类型——有的偏于直观，有的偏于逻辑，譬如说几何学家比较偏于直观，那么分析学家、代数学家则偏于逻辑；而从另一个角度来说，没有一个数学家，光靠逻辑没有直观就可以做事情，同样光靠直观没有逻辑也不行。我们做事情主张大处着眼，小处入手。大处着眼就是对全貌有所认识，有较多的想法；但光有想法，没有踏踏实实一步一步推理那也不行；反过来，光是推理没有一个对整体的认识，也是不行的。几何则是逻辑和直观的完美统一。
那么怎样培养几何直观呢？最典型的例子就是勾股定理，它不是演绎证出来的，而是靠直观证出来的，是靠运动证出来的。通过割补，严格一点说，是用变换的手法证出来的。它是借助于平移、旋转、对称这些方法证出来的。而对称、平移、旋转，其实就是直观的数学表述。
爱因斯坦在晚年回忆自己12岁时读到一本几何教科书时说：“这本书里有许多断言，譬如三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。”
在学习几何的时候，老师们一般要求学生买一套工具，包括三角板、圆规、量角器等。这套工具可以用来作几何图形，还可以进行简单的测量。动态几何软件继承了传统，并有所发展；用智能画笔可作出基本的几何图形，而测量功能更强大，譬如说可以测量多边形面积，而且是动态测量。
顾名思义，有关测量的命令当然是在测量菜单下，常用的有线段长度的测量，角度的测量，多边形面积的测量，有时候测量之后，还需作一些计算，则需要用到测量表达式，而测量值早就保存其中了。
菜单操作与文本命令操作有所不同。菜单操作常常需要先选定一些先决条件才能进行。譬如要测量线段，首先得选择该线段，否则计算机怎么知道你要测量什么啊？
选择线段的方式有两种，一种是选中两端点，另一种则是选中线段本身。
测量角度是根据三个点确定一个角的原理，所以选中时要确保角的顶点要放中间。对角度的测量值作运算时要注意弧度和角度的切换，具体操作是“测量结果表示为弧度”的勾选与否。
测量多边形面积也有两种方式，一种是依次选中多边形顶点测量面积，另一种则是先构造出多边形再测量面积。构造多边形的操作是依次选中多边形各个顶点，在右键菜单中选择“多边形”。
下面给出一些几何实例，大家在直观感受的同时，也想想该怎样证明这些结论。
例：等腰三角形与定值问题
如图2-102，△ABC中，AB=BC；在BC上作点D，作DE垂直AB，作DF垂直AC；测量线段DE，DF，计算两者之和与两者之差；拖动点D，寻找其中规律。此问题称为维维亚尼定理。
对于这种动点定值问题，随着点的拖动，一个测量值增大，一个测量值减少，我们可以猜测两者之和为定值。而如果两测量值同增减，那么我们可以猜测两者之差为定值。
在等边△ABC内部作点D，过点D作DE垂直于BC，过点D作DF垂直于AB，过点D作DG垂直于AC；测量线段DE，DF，DG的长度，并相加；在△ABC内部拖动点D，寻找其中规律。当点D在三角形外时，又有什么规律？进一步探究，参看第七章的论文《关于一个等边三角形经典问题的探究》。
图2-102 图2-103
如图2-103，△ABC中， ，点D是BC上一点，过点D作BC的垂线交三角形另外两边（或延长线）于E、F两点，求证： 为定值。当点D在BC延长线时， 为定值。
显然当D与点B或点C重合，或处于BC中点位置时， 为定值：BC边上高的两倍。这给证题提供了方向，启发我们作出BC边上的高AG。 。对于点D在延长线时，可类似处理。
例：圆幂定理
任意作圆，点A为圆心，AB为半径；在圆上任取C、D、E、F四点，连接CD，EF，作出交点G（有两种情况，图2-105和图2-106）；测量线段EG、GF、CG、GD的长度，计算EGGF和CGGD；拖动C、D、E、F四点，寻找其中规律，特别是C、D两点（或E、F两点）比较靠近时。
图2-105 图2-106
圆幂定理的推广：如图2-107，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B为大圆上的任意两点，过A、B作小圆的割线AMN和BPQ，求证：AMAN=BPBQ。
图2-107
例 :中位线问题
如图2-108，作△ABC，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE。测量线段DE，BC，计算 ，测量∠ADE和∠ABC，验证 且 。
如图2-109，作四边形ABCD；点E、F、G、H、I、J分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，验证四边形EFGH和四边形EJGI都是平行四边形。
如图2-110，作五边形ABCDE，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，验证 且 。
关于这3个问题之间的关系，可参看第一章中教学案例。
图 2-108 图 2-109
图 2-110 图 2-111
例 ：共点共线与面积法
如图2-111，在△ABC中任作点G，连接AG、BG、CG分别交BC、CA、AB于点D、E、F，验证 和 。
这两个结论的证明通常需要添加辅助线，而采用面积法则不需要，且证明过程更简单。下面介绍面积法中的一个基本定理——共边定理。
共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（如图2-112，有四种情形）,则有 。
图2-112
证明：在直线AB上取一点N，使得MN=AB，则 与 共高，即有
。
在△ABP的边AB上任取一点M, 则有 ，这是《几何原本》中的一条命题，欧几里得将它作为一个有用的工具。如果将点M分裂成M和Q两点，保持M仍在AB上，Q在直线PM上，便得到 ，根据对称性可得 。也就是说共边定理可看作“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论，看起来不显眼，但用途很广泛，是几何机器证明的消点法的主要基本工具，所有的只涉及关联性质的几何定理，即所谓希尔伯特机械化类几何命题，都可以用共边定理来判定。关于共边定理的更多应用详见《新概念几何》（张景中著）。下面这个题目是1985年齐齐哈尔、大庆市竞赛题，用共边定理可轻松搞定。
如图2-113，F为△ABC中位线上一点，BF交AC于G，CF交AB于H。求证 。证明： 。
图2-113
例 ：井田问题及面积比问题
如图2-114，作四边形ABCD，点E、F、G、H、I、J、K、L分别是四条边上的三等分点。计算 ，看看有什么发现?
此问题可推广 ：（1）将三等分点改为四等分点，则中间四个小四边形面积之和与整个四边形面积有何关系？六等分点呢？（2）将三等分点改为五等分点（图2-115），则中间的小四边形面积与整个四边形面积有何关系？中间四个小四边形面积之和与整个四边形面积有何关系？七等分点呢？（3）若AB和CD边采用m等分，BC和DA边采用n等分，又有何结论？
图2-114 图2-115
关于面积比的问题还有不少，此类问题通常不宜蛮攻，只宜智取。下面几题供大家探究和思考。
如图2-116，有一个正方形，将各个顶点和各个顶点相对的一条边的中点连接，这样四条线段相交有形成一个小正方形；然后以同样的方式作一个更小的正方形（阴影部分），假设测量得到阴影部分面积为1，那么整个大正方形面积为多少？
如图2-117，△ABC中， ， ， ，连接AD、BE、CF，得到新的△IQR，计算 。
如图2-118，连接六边形ABCDEF中的对角线，连接这些对角线的中点得到一个新的六边形GHIJKL，计算 。（第9届全苏奥林匹克试题）
如图2-119，平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点相连。这些直线所围图形的面积是平行四边形的几分之几？
图2-116 图2-117
图2-118 图2-119
下面给出一些平面几何经典实例，供大家作练习使用。
如图2-120，绘制两个圆，处于外离位置；作出4条公切线和4个切点，以及内外公切线的4个交点；提示：内公切线与两圆的4个交点共圆；请你寻找更多的四点共圆，以及这些圆之间有何关系？能否将之总结成一个数学定理。
如图2-121，分别从两个相离的圆的圆心向另一圆作切线，则EF＝GH。此称为眼球定理。
图2-120 图2-121
据说数学家牛顿曾经考虑过这样一个趣题：有九棵树,要栽十行,每行三棵,请你帮忙。有人设计了一份答案，就是图2-122。你认为这份答案对么？可以用《超级画板》来验证，看看I、G、F三点是不是总保持共线。此问题的实质是帕普斯定理。
植树问题可进一步扩展。假如有20棵树，每行4课，最多能成几行呢？有人摆成了五角星的形状，得到20行；有人摆成图2-123所示，得到23行，你能得到更多么？
图2-122 图2-123
如图2-124，任作四边形ABCD，设AD交BC于E，BA交CD于F，点G、H、I分别是BD、AC、EF的中点，则G、H、I三点共线。由任意四点及连接它们的六条直线的确定的图形称为完全四边形，完全四边形三条对角线的中点共线，此线被称为高斯线。
图2-124 图2-125
如图2-125，平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点O，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。此称为笛沙格定理。
如图2-126，任意△ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△DEF。此称为莫莱定理。
与角对应的是边，三等分角性质如此美妙，三等分边又如何呢？如图2-127，作△ABC的6个三等分点，6条三等分线产生6个交点；虽然这6个点三三组合不能构成等边三角形，但其中蕴藏的一些性质也相当有趣，被人遗忘实在可惜。
。另外，图中还隐藏着共点共线问题、线段比例问题，有兴趣的读者可自行探究。
图2-126 图2-127
下面给出一个五角星相关的几何题，读者可以尝试将它推广，譬如推广到7角星。
如图2-128，五角星ABCDE中，各边相交产生五边形FGHIJ，连接AI、BJ、CF、DG、EH，得到五个新的交点 、 、 、 、 ，求证： 。
提到五角星，很难不让人联想到正五角星与黄金分割（图2-129），正五角星的作法见图2-133。不妨用超级画板测量试试。
图2-128 图2-129
运用超级画板研究几何,能使抽象问题直观化，诱发直觉思维,让人先从感观上得出相关结论，这对进一步学习与探索无疑有很大的帮助；能激发想象，驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律，印证数学猜想，揭示数学本质。所以超级画板被认为是“做数学”的虚拟实验室，是培养创新能力的优秀认知平台。
几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量。近些年，测量之风在中学教学中相当盛行。有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些，采用动态几何软件。测量之风盛行原因有二：一方面是与这些年高调提倡的教学方式、教学理念接轨，依据是“老师让学生测量，有益于学生的动手能力的培养，有益于学生协作精神的形成”；另一方面是由于传统测量非常简单，基本上就是不教自会；即使是学习动态几何的测量功能，也不过是几分钟的事情。学会之后，则是一本万利，从初一的三角形内角和定理、中位线定理到高三的正、余弦定理，都是可以用测量来教学的案例。正因为如此，很多老师不单自己在教学演示的时候喜欢用测量，有条件的学校还极力鼓励学生动手。
对于测量，近几年批评的意见也不少，而且相当尖锐。李大潜院士指出：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了，当初古希腊学者不是‘量’出来的”。张奠宙教授说得更加具体，他以正弦定理的教学为例，认为让学生通过测量发现 、 、 之间的关系,是一个败笔，是一个忽略数学实质的设计。
三角板、量角器使用上千年了，已经成为学习数学必备的工具，而动态几何软件是这些古老工具的发展与延伸。照道理来说，这些工具都应该是好的，但为什么老师们使用这些工具，还会被专家指责呢？这是一个值得探讨的问题，第一章概论中已经作了一点探讨，同时也希望大家多实践多思考，闯出一条信息技术辅助教学的道路来。
下面以一个勾股定理的小课件结束本小节。虽然制作简单，但综合了测量角度、线段、面积以及作多边形、测量表达式多种功能，是一个综合性案例。
如图2-130，隐藏坐标系，作直角△ABC，其中 ；测量AB、BC、CA长度，测量 ；计算 和 ；作多边形BADE并填充颜色；同理作多边形ACFG、CBHI，填充颜色；测量三个正方形的面积，将两个小正方形面积相加。
图2-130
2.3.3图案组合美不胜收
在日常生活中，到处都可以看到各种各样漂亮的图案，这些图案给我们带来了美的享受，而图案设计除了需要美术功底之外，很多也需要用到一些数学知识。下面我们就来看一些简单例子。
前面提到，在【作图】菜单下“点”子菜单下有一个作整数点的选项，点击该选项，鼠标变成笔的形状，此时作出的点都是整数点。但那样作出的点不能再拖动，导致作好的图形产生不了新变化，下面我们将介绍一种做自由点为网格点的方法。
例：绘制数字。
（1） 在对象工作区中，右键单击【[0]直角坐标系O-xy】,弹出【对象的属性】对话框后，勾选 “画坐标网格”，点击确定（图2-131）。将屏幕右边的【对象属性工作区】拉宽一点，在最下面的“其它”一栏里，点击“自由点为网格”右边的小三角，弹出下拉菜单后，选择“是”，此时下方还会出现提示（图2-132）；
图2-131
图2-132 图2-133
（2） 此时在屏幕上画点，所画的点都在网格上；仿照图2-133，先画点再连线；注意不要边画点边连线，这样可能会导致网格点与智能画笔相冲突，作出的点不是网格点，而是线上的点；
（3） 在【编辑】菜单中，去掉“全部点的名字”前面的勾选；在【编辑】菜单中，点击【选择对象】；在其子菜单中，点击【选择全部的直线、线段、向量或射线】；改变所选线段的颜色、线宽等，可得图2-134。
图2-134
如果要修改网格的颜色，可修改【[0]直角坐标系】的属性，在填充选项卡下，将纯色画刷下的填充颜色改为你需要的颜色。
例：绘制圆弧图案
（1） 显示网格，设置自由点为网格点之后，容易作出图2-135；依次选中圆，点B和点D（选择圆上两点时，要按逆时针方向），在【作图】菜单中点击【圆和圆弧】，在其子菜单下点击【已知圆上的圆弧】；隐藏所作圆（图2-136）；作出的圆弧是和圆重合在一起的，但从对象区可以看到圆弧已经作出。
（2） 如图2-137所示，作出其它三条圆弧；以点E为圆心，EF为半径作圆；选中该圆，点击【对象】菜单中的【移动对象到最后面】；因为后作对象会遮挡先前对象，为达到图2-138的效果，所以需要将圆移到后面，以免填充后遮挡圆弧；
（3） 如图2-138，分别对四条圆弧和圆进行修饰；对圆弧的填充和其他对象一样，也是先选择然后用油漆桶填充。
图2-135 图2-136
图2-137 图2-138
例：分割圆内接正六边形
（1） 如图2-139，作出7个圆，得到圆内接正六边形的6个顶点，并隐藏外面6个圆；
（2） 如图2-140，对正六边形进行分割，作出H、I、J三个交点；
（3） 如图2-141，填充分割后的多边形，形成对称互补的图形。
图2-139 图2-140
图2-141
正六边形有一定的特殊性，可以用作圆的方法作出。但这作法似乎有点繁琐，而且还不具有一般性。那么一般的圆内接正多边形如何绘制呢？文本作图中点选项下有关于圆内接正多边形的函数命令VertexOfCircle(Circle,A,n,k[,Text])，函数的作用是以点A作为起始点，按逆时针方向，作圆Circle的内接正n边形的第k个顶点(顶点的第一个编号是0)。其中第一个参数填写圆的编号，第二个参数填写圆上点的编号，第三个参数填写圆内接正多边形的边数，为大于或等于3的整数，第四个参数k表示圆内接正n边形的第k个顶点，其中0
用得最多还是正多边形的顶点：VertexOfPolygon(A,B,n,k[,Text])。此函数作出以AB为边的正n边形的第k个顶点；这里A、B分别为第0个和第1个点。显然第k个顶点P的位置有两个，即ABP逆时针或ABP顺时针。系统缺省的方向是逆时针方向，通过修改点的属性可以改变此旋转方向。请利用此函数绘制图2-142和图2-143。
图2-142 图2-143
下面这两个例子能够产生很多的变化，充分体现出自由点为网格点的优势。
例：绘制平移图案
（1） 显示网格，设置自由点为网格点；如图2-144所示，作好8个点，依次选择A，C，F，G，H，E，D，B等8个点作多边形；
（2） 依次选中点A和点B，点击【变换】菜单中的【选定平移向量】；选中点B和多边形，点击“变换”菜单中的“平移几何对象”，得到图2-145；
（3） 依次选中点B和点G，点击“变换”菜单中的“目前正在使用的平移向量为AB”；先将两个多边形填充不同的颜色，然后选中，点击“变换”菜单中的“平移几何对象”； 再次点击“平移几何对象”得到图2-146；
（4） 依次选中点A和点I，点击“变换”菜单中的“目前正在使用的平移向量为BG”；选中所有多边形，两次点击变换”菜单中的“平移几何对象”就可以得到图2-147；
（5） 拖动8个点，可以得到很多漂亮的图形，图2-148就是其中的一个。
图2-144 图2-145
图2-146
图2-147 图2-148
前面提到，在“文本作图”中执行的命令也可以在“程序区”中执行。如果你找不到程序区，可以执行菜单命令“查看|工具栏|程序工作区”，使程序工作区显示出来。“文本作图”中虽然能够一次执行多条语句，但不能够编程；“程序区”功能更强大一些，不单能够执行函数命令，还能编程，并支持符号运算。需要注意的是，在“程序区”执行命令，首先会生成一个文本命令，该文本对象需要占一个编号，而“文本作图”不会生成一个新的文本。在左面的工作区下方有个“程序”按钮（图2-149），单击它就打开了程序工作区。在程序区输入函数命令，要注意是在英文输入状态下，以分号结束；执行方式是按着Ctrl键打Enter键，或者只按小键盘的Enter键也可。
图2-149
例：绘制旋转图案
（1） 显示网格，设置自由点为网格点，容易作出图2-150；依次选中A，C，D，B四点作多边形，填充为黑色；
图2-150 图2-151
（2） 在程序区输入“Rotate(9,5,pi/2); Rotate(11,5,pi/2);Rotate(12,5,pi/2);”，执行命令可得图2-151。此处的9表示四边形ACDB，输入文本后占用第10号对象的编号，所以9号对象旋转得到11号多边形，再将11号旋转得到12号，12号旋转得到13号。
（3） 拖动四个点，可得到很多漂亮的对称图案，图2-152只不过其中部分截图而已。
图2-152
例：绘制放缩图案
（1） 先作A、B两点，以此作正方形ABCD，连接AC，作AC中点E；
（2） 在程序区输入“Rotate(5,14, pi/4);Rotate(6,14, pi/4);”可得到F、G两点，并以F、G两点作出正方形FGHI（此时屏幕上已有较多对象，智能画笔会受到干扰，最好是选择这两点，用作图菜单的下的常见多边形中的正方形命令完成）；作出线段的交点J、L、K三点（图2-153）；
图2-153 图2-154
（3） 测量EC、EL的长度，并计算 （约等于0.71，其数据测量编号为m002）；作出多边形CJK；
（4） 在程序区输入下列函数命令，执行命令后生成3个新的多边形，将4个多边形添加颜色可得到图2-154；放缩与旋转一样，同样有三要素：放缩对象，放缩中心，放缩倍数。Dilate(30,14,m002);Dilate(31,14,m002);Dilate(32,14,m002);
（5） 在程序区输入下面函数命令，执行命令后生成4个新的多边形；Rotate(30,14, pi/4);Rotate(31, 14,pi/4);Rotate(32,14,pi/4);Rotate(33,14,pi/4);
（6） 修改上述4条函数命令中4个多边形的编号，再旋转6次可得图2-155；
图2-155
例：绘制对称图案
美国代数学家豪斯霍德有一天在桌面上用火柴棍摆出了两个“不寻常”的式子（图2-156），然后对身旁的助手：“小伙子，这两个等式显然是不成立的。现在请你移动最少根数的火柴棍，使这两个式子成立。”助手把火柴棍反复摆弄，始终不得要领。他直觉地看到，教授出这个题目，其中必有深意。如果真的是为了摆弄几根火柴棍，那只不过是给大家熟悉的智力游戏中增加一个小节目而已。平淡无奇的解法，老生常谈的套路，肯定不会是教授的要求。助手回到家中，看到妻子手中镜子，突然灵机一动，爆发了一个念头。原来，教授要求的“移动根数最少”，竟然是一根也不要移动，借助镜面反射就可以得到两个正确的等式，确实有点出人意料。这位豪斯霍德教授正是研究反射问题的权威，线性代数中的一般反射变换就是以他的名字命名的，助手的解法完全符合他的原意。
如图2-156绘制等式，然后等式下方作一条水平的线段；依次选中两个等式和水平线段，点击【变换】中的“关于直线的对称图形”，即可得到图2-157。
图2-156 图2-157
例：集合与填充
画好图形之后，再填充颜色能够起到锦上添花的效果，但是有些图形的是由曲线围成的，用简单的填充难以奏效。
第一招：区域的交，作用是填充多个区域的公共部分；
（1） 先作两个圆（图2-158）；
（2） 在程序区输入“RegionAnd(7,10,);”，其中7和10为圆的编号；执行后得图2-159。
图2-158 图2-159
第二招：区域的并，作用是填充多个区域的所占有的部分；
（1） 隐藏图2-159中的交集；
（2） 在程序区输入“RegionOr(7,10,);”，执行后得图2-160；
第三招：区域的差，作用是填充被第一个区域包含而不被其他区域包含的部分；
（1） 隐藏图2-160中的并集；
（2） 在程序区输入“RegionDiff(7,10,);”，执行后得图2-161；
图2-160 图2-161
第四招：区域的与或，填充的范围是：多个区域的总和减去多个区域的相交部分；
（1） 隐藏图2-161中的差集；
（2） 在程序区输入“RegionXor(7,10,);”，执行后得图2-162。
2-162
你可以尝试着改变两个圆的位置，容易发现集合运算也是动态的，智能化的。以上四个函数除了用于图案设计时填充颜色之外，也常用于集合教学时用来作交、并、补集等。
交集与并集，不必在意参数的顺序，但区域的差、区域的与或，则一定要注意所填写参数的顺序。集合之间的运算，是可以推广到多个区域的，并不局限于两个。而且运算之后得到的集合，还可以进一步与其他集合做运算。有时候因牵涉到多个集合的运算，填充也并不容易，需要动一下脑筋。
一位小学教师想把下面这道问题出在奥数试卷上，图2-163是试卷插图，图2-164是用作参考答案的说明。但他不知道如何绘制这两个图，你能帮助他吗？
题目：如图2-163，规划设计将圆形花坛分为三个区域。四个小圆两两相交的公共部分是中心区（红色部分），四小圆之外是外围区（绿色部分）。请问中心区和外围区的面积关系。
图2-163 图2-164
死算，也不是很复杂，如图2-164所示进行分割。使用超级画板作图，需要用到集合（交集、差集等）。作图的同时，若仔细思考，说不定就会灵机一动，产生奇妙的作法。
显然大圆半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的4倍，也就是大圆面积等于4个小圆面积的和。假如4个小圆放在大圆里，如果既无重叠又无间隙，应该刚好能够铺满。而现在的情况是既有重叠又有间隙，也就是说，重叠部分刚好能够铺满空出部分，所以中心区和外围区面积相等。“出入相补”是解决面积问题的基本方法，而且并不局限于多边形，很有必要掌握。
2.3.4课件制作初步体验
例：平行四边形面积分割说明
（1） 如图2-165，作平行四边形ABCD；在AB上任作点E，利用智能提示，作EF平行BC且与CD相交于点F；作FG垂直AB，垂足为G；过点D作DH垂直AB，垂足为H；
（2） 隐藏点A、线段AD、AB，连接BH；依次选中F、E、G三点，构造“多边形”，并填充颜色；
（3） 作出点Ｅ的动画，将动画类型设置为“一次运动”，启动动画效果如图2-166。
图2-165 图2-166
这一动画就是典型的用线段上的点带动其他对象运动，图2-166中的多边形EFG完全由E控制。这一招式看似简单，但用途很广泛，凡牵涉面积分割平移大多使用这一招。
注意：如果平行四边形是“又斜又长”的情况，（以点D向AB作垂线段，垂足落在AB延长线上的时候），我们可以将平行四边形ABCD平移 ，得到一个与原平行四边形一模一样的图形，然后再分割三角形进行平移。或者像图2-168那样，将平行四边形先分割，再用前面的方法平移。也许有人会问：要是图2-168中的点G的垂足还是在AB的延长线上呢？这样不打紧，多重复多次就可以了，这有阿基米德原理作保障。
图2-167
图2-168
例 ：用面积剪拼说明勾股定理
勾股定理是几何学的一条特别重要的定理，被誉为“几何学的基石”。爱因斯坦晚年回忆中提到的在12岁时学到的几何定理，一个是垂心定理（后面将提到），另一个就是勾股定理。为了独立证明这个定理，他花了三个星期。虽然这是一个古老得有二千多年历史的定理，但是爱因斯坦经过一番努力总算得到了结果，他第一次体会到科学发现时的欣喜。
勾股定理的证法有400多种之多。最早的证明是由古代的中国数学家作出的。用计算机动画说明勾股定理的作品很多，大多是用了动态几何的平移或旋转功能。
（1） 如图2-169，作Rt△ABC，再分别以三角形的各边为边向外作正方形；注意作AB时，最好与x轴平行，这样作出的图形看起来“正”一些；而作正方形时，如果选取初始点的先后顺序有误，所作正方形的方向则会与预期相反。修改的办法：选择正方形的第三个点，在其属性中勾选“逆时针”一项即可。
（2） 如图2-170，以AB为边向△ABC内部再作正方形ABKJ；作CI与JK的交点L；在KB线段上作点M；之所以要作正方形ABKJ，是想把三个正方形移近一点；而这样处理之后，很容易看到正方形ABKJ和CBHI有重合部分CBKL。
（3） 如图2-171，作出多边形CBKL并着色；标记KM向量，并平移多边形CBKL；作出点M的动画；启动动画，多边形CBKL则会随点M运动。
（4） 如图2-172，观察可得正方形FGBA下方还差一个三角形，所以作 ，这样得到的三角形INH可填补；那么新得到的△ILN怎么办？延长IC交EA于P得到一个空白△CPA；那么新得到的四边形EPCD怎么办？显然需要将△KBH作分割，其中 ， 。这样斜边正方形CBHI就分成5部分了。
（5） 仿照平行四边形面积分割平移，先将初始位置和目标位置的两点连线，并作线段上的点，利用向量平移带动多边形，并作动画。
（6） 依此类推，作5个多边形的平移，最终课件效果如图2-173所示。
图2-169 图2-170
图2-171 图2-172
图2-173
赵爽弦图是勾股定理证明中一种具有代表性的面积拼割方法。容易作出图2-174，而当拖动点F到线段AB 的另一侧时（图2-175），又可得到勾股定理的一个新证法。同时这个课件还可以用来说明不等式 。
对于图2-174，常规的证明是 ，化简得 。其实还可以从另一个角度来看，因为 ，所以 ，即 。这一证明的好处就是无需用到平方和公式，小学生都能接受。
有老师指出：勾股定理是初二的内容，但这种作图用到了初三的知识：直径所对的圆周角是直角，是否妥当？其实只要连接EF，学生马上就能理解了， 。
图2-174 图2-175
勾股定理拼割方法很多，譬如图2-176和图2-177。余弦定理是勾股定理的推广，我们也可以利用面积分割来说明，图2-178和图2-179就是其中的两种方法。
图2-176 图2-177
图2-178 图2-179
勾股定理是几何学中的基本定理，大家探究的比较多。加以变化，温故知新。能够得到新的知识。
图2-180应该是大家非常熟悉的图形，据说欧几里德就是利用这一图形证明勾股定理的。其过程需要用全等三角形的知识证明 ，等价于 ，无需用到相似，轻松可得射影定理。
但假若不是直角三角形呢？如图2-181，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等， ， ， ，则 ，轻松可得余弦定理。
图2-180 图2-181
以前的很多教材利用相似三角形来证明勾股定理，后来考虑到这样做会导致勾股定理很晚才出现，所以现在一般就改作面积法证明。图2-182是现行教材采用较多的证法，也可只用其一半，也就是一个直角梯形。如果舍弃直角，就可以将之用来证明柯西不等式（图2-183）；类似地，也可只取图2-183的一半来证明。由于 不一定等于 ，所以最好还要将正方形改为长方形。
证明：根据面积相等可得 ，化简得 ，即 。
图2-182 图2-183
例：三角形面积公式
几何学源于面积的计算。一个基本的但并不显然的面积公式就是“三角形面积等于底和高的乘积的一半”，可以作一个小动画来说明这个公式。
（1）如图2-184，作△ABC，自A向BC引垂足D；作出AB中点E、AC中点F，EF和AD的交点G；作出多边形AEG、多边形AGF和多边形BCFE，对多边形填充颜色；
（2）打开文本作图命令对话框，调出图形变换类旋转函数Rotate( , , ), 填入参数如图2-184；这里17，18分别是多边形AEG和AGF的编号；13，14分别是旋转中心E和F的编号；用变量t作为旋转角，是留有余地，准备让t 来驱动旋转。单击运行按钮作出两个旋转复制的多边形。
（3）为了使两个复制的多边形停在预期的位置，要作出变量t的动画按钮。设置频率为200，以免过快，参数范围设为0到pi, 类型设置为一次运动。
（4）可将多边形AEG和AGF隐藏，造成一种“真的是这两块图形旋转出去了”的感觉。
图2-184
图2-185
点击动画，三角形分割组成矩形。点击动画按钮的副钮，矩形还原成三角形。如果希望由△AGF生成的多边形从△ABC的外部旋转过来，只需将该多边形属性中t改为-t即可，因为默认旋转是逆时针方向。或者在执行旋转命令的时候直接将旋转角度设置为-t。
用鼠标拖动点A, 三角形的高AD会随着变化。只要点D在线段BC上，动画就能保持原有的效果。当点D跑到BC之外，就要重新设计剪拼的方案了。这个例子体现了让复制的多边形旋转到指定位置的方法和应用。
本课件除了可以说明三角形面积公式之外，还可以说明三角形内角和定理以及三角形中位线定理。
同一个教学内容，可以以多种表现形式。课件制作所用原理不同，必然导致作出教学设计也有所不同。譬如三角形面积公式就有三种不同的表达方式： （与图2-186～2-188有对应关系），看似是乘法交换律、结合律的简单运用，但和图像结合起来了就很值得重视了。
2-186 2-187
2-188
有些人认为：小学学算术，初中学代数和平面几何；高中学解析几何，则是将数和形结合起来了。我们不这么认为：数形结合不是等到高中学习了解析几何才开始的，从小学就应该逐步渗透数形结合的思想方法。又譬如梯形面积公式 ，既可以以腰上中点为旋转中心，旋转 后和原来的梯形拼成一个平行四边形（图2-189），又可以直接作对角线，将梯形面积转化成两个三角形面积（图2-190）。更多案例请参看课件“2-186数形结合之系数篇”。
图2-189 图2-190
利用平移和旋转两大功能，可以作出不少课件。下面两个例子留作练习。制作动画，用剪拼方法说明“平方差公式”（图2-191）和“三角形内角和定理”（图2-192）。这两个动画都牵涉平移、旋转两种运动，能否用一个动画按钮控制呢？答案是肯定的。请查看动画属性加以理解。这里补充一个启动多个动画串联运动的函数：AnimationSerial(button1, button2, , button N)。
图2-191
制作动画时要多思考原理，譬如为什么点G要选用重心，垂心行不行？不行，垂心可能在三角形的外部；内心行不行，行，但操作起来不如重心方便。
图2-192
数学家已经证明：一个多边形可以通过面积分割重组成另一个面积相等的多边形。不过，具体操作的时候还是有一定难度，不信的话，可以试试正三角形与正方形之间的转换（图2-193）。一个大正方形经过分割重组能够得到两个小的正方形，而小正方形又可以继续分解，根据勾股定理是容易办到的；但是加上一些限制条件，难度就增大了。譬如将一个大正方形分解成3个面积相等的小正方形，应该如何分解组合呢（图2-194）？
图2-193
图2-194
例：为什么三角形三高共点？
有些几何现象看来很奇妙，会使人留下终身难忘的印象。大物理学家爱因斯坦在晚年回忆自己12岁时读到一本几何教科书时说：“这本书里有许多断言，譬如三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。”
几何中的辅助线有一种本领，能够把因果之间的迷雾一扫而光。单击“显示或隐藏辅助线”按钮和“显示或隐藏说明”按钮，如图2-195，水落石出了。
图2-195
三角形的三边的中垂线共点是容易证明的。辅助线把“不是显而易见的”的事情变成了“可以很可靠地加以证明，以致任何怀疑似乎都不可能”的定理。
单击两个按钮的副钮，辅助线和说明就隐藏起来了。作出图2-195中的几何图形不难，要注意到四边形ABCH、ABJC、BCAI是平行四边形。在本章2.11节中我们介绍了隐藏显示按钮。现在介绍另外的作法，分两步操作：
（1） 作参数s的动画，频率为1，参数范围设为0到1, 类型设置为一次运动。
（2） 选择需要隐藏显示的对象（此处是指说明文本），查看属性，在“填充”栏里单击“动态Alpha”，弹出如图2-196所示用户输入对话框。在名为“Alpha通道的表达式”的可编辑栏里，已经填了数字“255”，这个数字是用来控制对象的透明度的。取值为255时对象完全不透明，当然可见。取值为0时对象完全透明，就看不见了。把255改成255*s, 单击确定关闭对话框。则单击动画s的按钮的副钮时s变成0，对象就看不见了。单击主钮时s变为1，对象显示出来。
图2-196
（3） 作参数t的动画，频率为1，参数范围设为0到1, 类型设置为一次运动，按钮文本写成“显示或隐藏辅助线”。
（4） 选择点H，同上在H的属性对话框里把它的Alpha通道表达式改为255*t，则t的变化可控制点H的隐藏或显示。对点I和J的属性作同样设置。
（5） 本来，对其他辅助线也可以一一设置其Alpha通道表达式。但要设置的对象较多，共有6条线段和1个圆，要设置7次。用改变颜色亮度的方法也能达到同样的效果，操作如下：选择线段HA、HC、IA、IB、JB、JC和圆G，执行菜单命令“编辑|对象的画笔、画刷和字体|对象的画笔”，打开画笔属性对话框。在“线宽、颜色”栏选择“动态颜色”，打开动态颜色对话框。在“颜色类型”栏里，选择HLS颜色空间；再在下面的“Green(Lightness)”行的空白里，填上1-t（图2-197），再单击确定。
图2-197
这里解释一下：“Green(Lightness)”是“绿色（亮度）”，意思是这一行的参数在选择RGB颜色空间时表示绿色的指数，而选择HLS颜色空间时则表示亮度的指数。当前我们选择的是后者，所以1-t就是亮度指数。t为0时亮度指数为1，对象为白色；t为1时亮度指数为0，对象为黑色。
这样，参数t的动画按钮就同时控制了3个点、6条线段和1个圆的隐藏和显示。
其实，只要调用文本命令中对象组函数 Group(, , , , )，把这些对象的编号作为参数填进去，运行后就把这些对象变成一组。在对象工作区单击此对象组前的小方框，就能够隐藏或显示这些对象。做成按钮显得神气一点，可也多了一番辛苦。
不过，醉翁之意不在酒，我们借制作隐藏显示按钮的工作，了解一下有关“动态Alpha”和“动态颜色”的运用，倒是有更多的收获。
2.4代数运算
2.4.1符号计算力量大
使用测量表达式的功能可以作有效数字达16位的数值计算。如果要作符号计算，可以在程序工作区进行。在程序工作区，可以作大整数的四则运算、幂运算、因子分解、阶乘计算、求余以及排列组合数的计算等。也可以作多项式的四则运算、幂运算、因式分解等。
鼠标在程序工作区单击后按F1键，可以调出函数列表。列表中包含了所有的文本作图命令函数，这些函数在程序工作区执行的效果和使用文本作图一样。
程序工作区支持包含赋值语句、条件语句和循环语句的编程，并且允许定义函数。把程序写成函数形式，会带来很大方便。
操作方法是在英文输入状态输入要计算的表达式，以分号（也要求在英文状态）结束，然后按着Ctrl键打Enter键，或者只按小键盘的Enter键也可（此操作以后简称“执行”），计算机将在下一行显示“>>”符号和答案（以下简称“返回”答案）。这里，分号表示一个语句的结束。计算机执行下面的语句时，从这个#后开始阅读，所以这个#是有用的，不能随便删除。
如图2-198，输入“2/3+4/7;”，执行后返回结果26/21。
图2-198
可以看到，你的输入和计算机的返回以公式排版的形式同时在右面作图区显示出来，叫做程序文本框。这有便于编辑、复制和打印等等。
对程序文本框的操作和一般的文本对象相同。可以选择用“＋”、“－”号按钮放大缩小，调出属性对话框进行设置等等。如要清除程序工作区，可以选择程序文本框按Delete键，程序区还会暂时保留刚才的文本，实质上该文本已经删除；此时再用鼠标点击程序区，则会生成一个新的空白程序文本。
《超级画板》的程序区在缺省情形作代数运算，若要求出近似值来，可以执行一个做浮点计算的命令“Float(1);”，计算机返回：>> 计算结果显示浮点数 #；若想要回到符号计算，可执行：“Float( );”，计算机返回：>> 计算结果不显示浮点数 #。在程序区作如图2-199所示计算，注意执行“Float(1);”命令前后的区别。
Float( [nValue] )：控制程序中的计算结果是否用浮点数表示。若执行时该函数带任何一个参数，表明在“程序”中的计算结果将用浮点数来表示；若执行该函数时不带任何参数，表明在“程序”中的计算结果将使用精确值，而不采用浮点数来表示。系统在默认情况下采用精确值表示最后计算结果。例如计算sin(30)，得到sin(pi/6)；而当执行Float(1)后，再次计算sin(30)则得到sin(30)=-0.988032。
特别提醒：Float( )函数属于系统函数，这类函数只能单独执行，不能在自定义函数中使用！在符号计算状态下，输入pi或e，返回仍是pi或e。执行命令Float(1)可以把计算结果用浮点数表示，再次执行Float( )可以返回符号计算状态。
图2-200作的是一些趣味计算，超级画板支持大数运算，自动排版很容易让人在运算中看出规律。普通计算器一般一次只能计算一个结果，算完了就删除了；而有些计算工具，譬如Execl不支持大数运算，只能得到近似结果，也很难看出其中规律。
图2-199 图2-200
《超级画板》提供了符号计算的功能，并且把符号计算和公式书写联系在一起。使用这些功能，可以帮助学生建立代数式运算的基本概念，以及验算练习题或习题的计算结果。例如，讲乘幂的概念时，在程序工作区作图2-200所示的计算，就容易理解了。使用程序工作区的符号运算功能，还可以用来说明更多的运算法则（图2-201）。
双斜杠“//”表示后面一行是注解，不参加运算。记住，指数前用“^”号，乘法用“”号，除法和分数线用“/”表示。如果想将“”号省略或改成空格，或改成普通的乘号或圆点，可以用右键单击文本框，在右键菜单中单击“属性”打开属性设置对话框，在文本栏下面选择用什么代替“”号，如图2-202。
图2-201 图2-202
在图2-203中，函数Mod(34,5)是求34被5除的余数；Factor(22302)是求22302的素因子分解式；Factor(x6*y6-1)是将多项式x6*y6-1作因式分解；Factorial(10)是求10的阶乘，即从1到10的自然数的乘积；Diff(ax2+ln(x),x)是将函数a*x2+ln(x)对变量x求导数；函数Int(x3,x,a,b)是将多项式x3求不定积分；P(10,5)是求10中取5的排列数；C(10,5)是求10中取5的组合数。
要想知道更多的函数，可以将鼠标光标放在程序工作区单击后按F1键，在打开的函数列表里查阅，如图2-203，可以看到超级画板中的库函数包括：标准数学函数、一般运算函数、系统函数、三角函数式推理函数（三角函数推理设置函数、同角三角函数之间的关系、诱导公式和万能公式等）、作图函数（点、直线、圆锥曲线等）以及测量函数、文本设置函数、动画的属性设置函数等等。当鼠标光标指着某个函数时，该函数的说明会放大。这时双击，函数名就被复制到程序工作区，以便填写参数执行，如同执行文本命令时那样。
很多库函数都很有用，值得一试。譬如：
Subst(Expr, x, Expr1)：得到表达式Expr中的变量x用表达式Expr1代替后的表达式，结果中的表达式是展开后的表达式。例如输入Subst(x2+2*x+1,x,y+1)，结果得到，y2+4y+4。
Arg(z)：取复数z的复角主值。例如运算Arg(3-2i+4*i^2)，结果得到pi+arctan(2)。
CSqrt(z,n,k)：取复数z的第k个n次方根，要求k<=n。例如运算CSqrt(1,4,1)，结果得到i。
图2-203
2.4.2因式分解渊源长
用超级画板展开 ，不但能很快算出来，而且能排好版。如果是在课堂上代替老师作计算，就能给老师们带来很大的方便。算 ，可以慢慢算，利用杨辉三角也是算得出来的。但有时候慢慢算也为难，譬如说做因式分解。你不知道一个多项式能不能分解。比方说 ，这个因式到底能不能分解，人就很难判断。但是计算机马上就能分解出来，分解成 。像这样分解，就要动很多脑筋。对因式分解的研究，是自动推理中很难的一块，很多数学家、计算机专家发表论文上千篇，才能作到现在这个程度。符号运算给我们工作学习带来很大方便，现在理工科的很多项目离开符号运算软件，根本完成不了。
在学习因式分解的时候，常常是从最简单的 、 开始的，老师们也会教给我们这样一个公式： 。对于这个公式，将右边两个式子相乘，互相抵消后可得到左边，正确性毋庸置疑。但若从因式分解的角度来讲，此公式就未必对，因为因式分解要求分解要彻底，初中一般要求在整数范围内。举例来说，当 时， ；当 时， 。所以我们只能把 看作是一个恒等式，而不能将之作为因式分解的一个通式。
关于 ，还有一个典故。前苏联数学家契巴塔寥夫分解因式的时候发现：
于是提出了一个猜想：将 进行因式分解，所得结果中 的系数非0即 。这个猜想是不成立的，但也不容易检验。因为当 时，此猜想都成立，而当 时，猜想不成立。这个反例最早是由苏联数学家伊万诺夫发现的。用计算机来分解 ，容易看出 和 的系数是-2（图2-204）。
图2-204
与分解因式相类似的问题就是分解质因数。所谓分解质因数，就是将不是质数的数分解成若干个质数的乘积，例如 。业余数学家之王费马曾提出猜想“对任一自然数n， 都是质数”。很多数学家企图证明都失败了，后来数学家欧拉否定了该猜想，当 时， 。
下面这个故事也很有意思。在1903年美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇简短的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算 ，然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：147，573，952，589，676，412，927。他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算： 193，707，721×761，838，257，287。两次计算结果相同。因为数论中著名的默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没人向他提任何问题。据说，这个乘法是科尔用好几年的休息时间算出来的。”
由于超级画板不是专门的符号运算软件，所以只提供一些常用的符号运算功能。譬如用超级画板分解 是不能达到预期结果的，反之却可以将两个因数相乘而得到，这是因为 的最小的因子都比较大。而常用的分解因数的程序，从程序的有效性考虑，当试探因子达到一个比较大的数时，还没发现分解因子，则程序结束。超级画板的符号计算功能主要是为中学数学教学设计，更复杂的计算可采用MPALE等专业数学计算软件。但即便是采用最好的计算机和专业符号计算软件，大整数分解仍然是现代数学界的一大难题。譬如说，甲将两个200位以上的素数相乘，将结果告诉乙，乙是很难将结果分解出来的。大整数分解的难度所在也是RSA加密的保障，有兴趣的读者可参看这方面的书籍。
2.4.3赋值语句真方便
超级画板中的赋值语句和数学中常用的一样，用等号。要给a赋值5，可在英文输入状态键入：a=5;
执行后计算机返回：>>5 # 。这是计算机对所执行的程序的回答，叫做“返回”表示已经将a 赋值为5。不信你再键入：a+3;
执行后返回：>>8#
这说明计算机已经知道a的当前值是5。如果要让a的值增加2，可键入：a=a+2;
这行命令的含义是把a 的当前值加2后作为a 的新值，执行后返回：>> 7 #
这表明a的当前值已经改变为7。如不放心，要确认，可键入：a;
执行后返回：>>7 #
现在将b 赋值为6，键入“b=6;”，执行，于是a、b都被赋值，a=7，b=6。
例：编写程序，使a、b交换所赋的值。
要有第3个变量作为过渡，才能实现交换。程序为：
c=a;
a=b;
b=c;
执行上述程序（对于同时执行多行程序，需要将鼠标移至最后一行的分号后面，用Ctrl+Enter键执行），再检查一下，a和b的当前值是不是已经交换了？
我们看到，赋值语句虽然简单，用它还是可以做不少事的。
上面所举的例子，都是把数字赋予字母变量。其实，也可以将字母或数学表达式赋予字母变量。如果键入：a=1+y;
执行后返回：>> y+1 #
再键入：a^3;
执行后返回：>> y3+3*y2+3y+1 #
例：把 (x+y+z) 的9次方的展开式看成y的多项式，写出求其中y7项的系数的程序。
函数Coeff(f,u,k)可以求出多项式f 中u的k次项的系数，使用它容易写出所要程序：
p=(x+y+z)^9;
Coeff(p,y ,7 );
执行后返回：>> 36x2+72*x*z+36*z2#
如果要求(x+2y+xy)的9次方的展开式中x5y8项的系数，可以两次调用函数Coeff:
q=(x+2y+xy)^9;
A=Coeff(q,x,5);
Coeff(A,y,8);
执行后返回：>> 10080 #
要注意的是，把表达式赋值给变量后，表达式中的符号的赋值并不能影响该变量。也就是说，该变量所代表的表达式得到了“保护”。例如，把变量b赋值为u+2后，再给u赋值为7，这时u+2的值为7，但变量b仍保持u+2的形式。因此，不宜通过变量赋值来作多次代换。需要作代换，可以使用定义函数的方式。下面的操作说明把表达式赋值给变量后，表达式中的符号的赋值并不能影响该变量。
b=u+2;
u+2 #
b;u+2 #
u=7;7 #
b;u+2 #
u+2;9 #
b-(u+2);u-7 #
这时u-7为0，但仍写成u-7，就是为了保持b的形式。
如果定义B(u)=u+2，则B(x)=x+2，这是赋值和函数的不同（图2-205）。
图2-205 图2-206
2.4.4定义函数编程快
顾名思义，程序区应当可以编程和运行程序。但初中阶段一般用不了编程，只需一些简单的自定义函数就可以了。
图2-206中开始的4行程序，相当于设梯形上下底分别为a=3, b=7,高h=4，计算梯形面积s。
你会想，直接键入“s=(3+7)4/2;”，执行后不是一样吗，何必先给a、b、h赋值呢？
如果只想计算这一个梯形的面积s, 当然不必先给a、b、h赋值。
先给a、b、h赋值的好处在于，如果要计算其他梯形的面积，只要复制这段程序，把前面的数据改一下就可以执行，而不必改动公式中的数据。如果所用的公式比较复杂，这样先赋值再用公式计算的优越性就很明显了。
如果想再方便一些，可以把这段程序做成一个计算梯形面积函数。为此只要键入s(a,b,h){(a+b)h/2;}
执行后返回：>>s(a,b,h) #
这说明，函数s(a,b,h)的定义已经完成。这里，s叫做函数名，a、b、h叫做变元或参数，花括弧中的语句，可以是1行或几行，叫做函数体；函数名区别大小写。这是定义函数的一般方法。
要使用这个函数计算上下底分别为a=3,b=7,高h=4的梯形面积，只要键入：s(3,7,4);
执行后返回：>>20 #
把一些运算或程序写成函数，使用起来很方便。
例：编写一个由三角形三边a、b、c计算其面积m的函数程序。
使用海伦公式，即秦九韶的三斜求积公式，可写成下列函数程序：
m(a,b,c){s=(a+b+c)/2;
(s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2);}
执行后就建立了函数m(a,b,c)；要计算三边长为5、6、7的三角形面积，只要键入m(5,6,7);执行即可（图2-206）。
例：解二元一次方程组 。
在“程序区”里输入下面的运算式子，每输入一个式子，执行一次，最后的运行情形如图2-207所示。
A=3x+2y-5;
B=4x-3y-18;
4A-3B;
3A+2B;
D2(a,b,c,d){ad-bc;}
d=D2(3,2,4,-3);
x=D2(5,2,18,-3)/d;
y=D2(3,5,4,18)/d;
上面我们用两种解法得出：y=-2，x=3。前者是利用系数相消，后者用高等数学中的克莱姆（Cramer）法则,读者可以利用函数的嵌套计算余子式，尝试解一个三元一次方程组。（提示：D2(a,b,c,d){ad-bc;}，D3(a1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3,c3)，{a1D2(b2,c2,b3,c3)+a2D2(b3,c3,b1,c1)+a3D2(b1,c1,b2,c2);}）。
图2-207 图2-208
在程序区里输入下面的运算式子，每输入一个式子，执行一次，最后的运行情形如图2-208所示。
f(x){x^2+1;}
f(2);
f(-2);
f(a);
f(a+b);
g(x){ax^2+bx+c;}
g(0);
g(1);
g(-b/(2*a));
一些介绍数学归纳法的科普书上有这样的论断：“当n=1，2，3，…，11000的时候，式子 的值都是素数；即使如此，我们还不能肯定n是任何自然数的时候，这个式子的值总是素数。事实上，只要n=72490的时候，它的值就不是素数。这也就是说，即使试了11000次，式子 的值都是素数，我们仍旧不能断定这个命题一般的正确性。”
对于此论断，我们可以定义函数验证，很容易找到反例（图2-209）。稍一分析，就可以看出该论断中是有问题： ，当 为71的倍数时， 就存在71这一因子。
图2-209
这种自定义函数的作法，如果加以开发利用，还有更大的用途。譬如要探索参数对方程的影响，而方程 ， ， 都要用到3把变量尺，能不能用一个函数命令一次作出三把变量尺呢？当然也是可以的。
自定义函数：blc3(x,y,z){Variable(x,); Variable(y,);Variable(z,);}
执行后返回“>> blc3(x, y, z) #”，此时再执行“blc3(a,b,c);”，则会生成三把变量尺。类似地，我们可以定义“hsx(A){Function(x,A,x,-10,10,100,);}”，然后执行“hsx(ax^2+bx+c);”，则会生成一条一元二次曲线（图2-210）。
图2-210
暂时还看不出以上的自定义函数有什么优越性，因为直接执行“Variable(a,); Variable(b,);Variable(c,);”同样可以生成我们需要的三把变量尺，而且少输入一些命令。但是，如果我们多编写一些类似于blc3这样的函数，然后将它们复制到一个空白文件中，执行后生成一个带有很多自定义函数的模版。在这样的模版中，只要执行“blc3(a,b,c);”就能得到三把变量尺。这样一来，好处就明显了：（1）用中文拼音blc代替了英文Variable，符合国人习惯，3表示数量，相当好记；（2）原来要输入三条函数命令才能作出三把变量尺，而现在只需输入一条函数命令。
在程序区中，把编写的函数删除之后，你再执行，你会发现刚才定义的函数仍然有效；所以当自定义函数很多时，可以在程序内删除，以免干扰。那么删除后能否再让它显示出来呢？按F1，在系统函数下有显示自定义函数的函数FunctionText(sFunName)，填写参数就是该函数的函数名。使用ShowFunList()，则显示所有自定义函数。更多函数，请读者自己查看注释说明。如果是删除了程序文本或者是新建文件，那么刚才定义的函数就无效了。
我们将这样的模版命名为“方便面”(“方便空白页面”的简称)。实践表明，“方便面”使超级画板（特别是免费版本）的操作变得更方便。在本书提供的资源中有已经做好的方便面模版，其中含有200多个自定义函数，看看附带的制作说明和使用说明，你就能容易地使用该模版。如果你觉得不够用，可以把自己常用的再补充进去。也可以根据自己的习惯更改函数名。参看第七章中的论文《函数作图软件的评价与选择》。
2.4.5复数联通数与形
复数的有关概念和复数的运算，都有鲜明的几何意义。在《超级画板》的注册版本中，可以使用菜单命令方便地用几何图形表示复数的运算。但是，在文本作图的对话框里，找不到有关复数的作图的函数。为了使用免费版本的读者的方便，本节将补充几个有关的函数。
图2-211虽然简单，但右方的测量却涉及了有关复数的基本概念。
图2-211
单击“文本命令”按钮，可以看到作图时用到的函数。其中有些是文本作图对话框的函数列表中查不到的，说明如下：
Z=ComplexPoint(a+b*i,a,b,Z);（作代表复数a+bi的点Z ， a、b为拖动参数）
B=ComplexConjugate(Z,B); （作代表Z的共轭复数的点B）
MeasureComplex(Z); (测量复数的代数形式)
MeasureTfForm(Z); （测量复数的三角形式）
MeasureReal(Z); （测量复数的实部）
MeasureImage(Z); （测量复数的虚部）
MeasureAbs(Z); （测量复数的模）
MeasureArg(Z); （测量复数的幅角的主值）
上面这些作图或测量命令中，使用的都是代数语言。图上显示的另一些测量，则使用了几何语言；两相比较，可以帮助理解有关复数的这些概念的几何意义。
图2-212图上画有代表两个复数Z1和Z2的点和向量，展示了两个复数的和、差、积、商的几何意义。单击按钮“+”，图上出现表示两复数之和Z的点和向量。容易看出，复数的加法和向量的加法一样，满足平行四边形法则。
单击按钮“－”，图上出现表示两复数之差W的点和向量。单击“还原”按钮，表示和与差的点和向量隐藏。单击“×”按钮，图上出现表示两复数之积X的点和向量和一些测量数据。这时从画面上不容易看出复数的积的几何意义。但从测量数据中可以看出复数的积的模和幅角与相乘的两复数的模和幅角的关系。类似地，单击“÷”按钮，图上出现表示两复数之商Y的点和向量和一些测量数据。
图2-212
单击“文本命令”按钮，可以了解有关复数的四则运算的作图函数名：
Z=ComplexPlus(Z1,Z2,Z); （作代表复数和Z1+Z2的点Z）
W=ComplexMinus(Z1,Z2,W); （作代表复数差Z1-Z2的点W）
X=ComplexMult(Z1,Z2,X); （作代表复数积Z1×Z2的点X）
Y=ComplexDiv(Z1,Z2,Y); （作代表复数商Z1÷Z2的点Y）
其他命令都是已经用过的或在文本作图对话框里有的。
图2-213显示出表示复数Z=a+bi 的2次到10次乘方的点和向量。当Z的模大于1时，乘方的模随次数的增加而增大，当Z的模小于1时，乘方的模随次数的增加而变小。两种情形下，乘方的幅角总等于次数与底数的乘积。
图2-213
图2-214显示出表示一个复数Z的5次方根的点；它们共有5个，恰是一个正五边形的5个顶点。拖动点Z，可以使这个正五边形放大缩小或旋转。一般说来，表示一个复数Z的n次方根的点有n个；当n>2时，恰是一个正n边形的n个顶点。通过测量，不难验证图上的五边形是正五边形。
图2-214
查看文件中的文本命令，又多知道两个作图函数：
ComplexPow(Z,n, ); (作出表示复数Z的n次乘方的点，n是非负整数)
ComplexSqrt(Z,n,k,); (作出表示复数Z的第k个n次方根的点，k=0,1,…,n-1)