泊松过程

计数过程

如果用$N(t)$表示到时刻$t$为止已发生的“事件$A$”的总数，若$N(t)$满足下列条件：

1.$N(t)\ge 0$
2.$N(t)$取正整数值
3.对任意两个时刻$t_1<t_2$， 有$N(t_1)<N(t_2)$
4.对任意两个时刻$t_1<t_2$，$N(t_2)-N(t_1)$等于在区间$(t_1,t_2]$中发生的“事件A”的次数
则随机过程$N(t),t\ge 0$称为一个计数过程

• 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
• 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。

泊松过程

第一定义

设随机过程$X(t),t\ge 0$是一个计数过程，满足

1. $X(0)=0$
2. $X(t)$是独立增量过程
3. 对任一长度为t的区间中事件的个数服从参数为$\lambda t(\lambda >0)$的泊松分布，即对一切$s,t\ge 0$，有$PX(t+s)-X(s)=k=e^{(-\lambda t)}\frac{(\lambda t{)}^k}{(k!)}$(其中k=0,1,2,…)

则称$X(t)$为具有参数λ的泊松过程。

第二定义

设随机过程$X(t),t\ge 0$是一个计数过程，参数为$\lambda (\lambda >0)$，满足

1. $X(0)=0$
2. $X(t)$是独立平稳增量过程
3. $X(t)$满足下列两式：$P[X(t+h)-X(t)=1]=\lambda h+o(h)；P[X(t+h)-X(t)\ge 2]=o(h)$；其中$o(h)$表示当$h\to 0$时对$h$的高阶无穷小

则称$X(t)$为具有参数λ的泊松过程。

泊松过程的特点

• 增量平稳性：在时间或者空间上的均匀性，可以使用均匀分布取值然后排序的方法获得泊松点。
• 增量的独立性：未来的变化与过去的变化没有关系。

泊松过程与伯努利过程

​ 对于一个泊松过程$X(t)$，以及$x_1<x_2$，已知$t_2$时刻有$n$个质点到达，求$t_1$时刻有$k$个质点到达的概率构成一个伯努利分布。

$$P[x(t_1)=k|x(t_2)=n]=C_n^k(\frac{t_1}{t_2}{)}^k(1-\frac{t_1}{t_2}{)}^{n-k}$$

这说明泊松分布确实是平稳增量的，在任何一个时刻质点到达的概率都相等。

泊松分布是二项分布在p较小n较大时的极限

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

泊松过程与指数过程

        两个泊松点之间的时间间隔服从指数分布
        指数分布描述的是泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔。间隔大于t的概率就是 泊松过程中k=0的情况，（t是连续的）这是 只随时间变化的指数函数 !我们看指数分布无记忆性的定义我们回溯一下，就会发现，指数函数的无记忆性来自于泊松过程k=0时的 时间指数性，而泊松过程k=0时的 时间指数性 来自于泊松分布时 lambda的恒定性，也就是离散情况下，二项分布的n*p的恒定性。
作者：郝曌骏
链接：https://www.zhihu.com/question/36965252/answer/143695500
        指数分布这个例子中的产品寿命不是现实中我们理解的寿命，而是在这个产品的的质量不会有任何改变的假设下，故障出现前正常使用的时间，或者两次故障发生之间的正常使用时间。

非齐次泊松过程

​ 当质点来流强度$\lambda$是时间的函数$\lambda (t)$时，称为非齐次泊松过程，其均值函数为
$$m_X(t)={\int }_0^t\lambda (s)ds$$
$$P[X(t)=n]=e^{-m_X(t)}\frac{[m_X(t){]}^n}{n!}$$

复合泊松过程

定义：设$\{N(t),t>=0\}$是强度为$\lambda$的泊松过程，$\{Y_k,k=1,2,...\}$是一列独立同分布随机变量，且与$\{N(t),t>=0\}$独立，令
$$X(t)=\sum _{k=1}^{N(t)}{Y}_k$$
则称$X(t)$是复合泊松过程