【paper-note9】Informer: Beyond Efficient Transformer for Long Sequence Time-Series Forecasting

论文作者：Haoyi Zhou Beihang University
收录：AAAI2021 best paper

前言

Transformer[1]模型在NLP领域提出之后，风靡众多领域，有大一统的模式。这篇论文就是对 transformer 进行改进，提出 Informer 模型应用在长时序预测领域。该模型设计合理精巧，利用长尾分布截取头部的attention点积对，提高运行效率、降低运行成本；同时模型结合长时序预测的特点，在输出阶段采用生成式的方法，一次性生成待预测的序列，避免了传统序列预测方法中串行生成的缺点。

核心思想

本文针对长时序预测任务（Long Sequence Time-series Forecasting, LSTF），提出了Informer模型，该模型最核心的思想是利用self-attention（SA）中点积对的长尾分布特性，只截取top u个点积对，把SA机制的时空复杂度从$O(L^2)$降低至$O(LlogL)$。也正是得益于这个$logL$的复杂度，模型在预测阶段才可以采用生成式的方法，即经过一步迭代操作就能输出预测序列。

图1：Inofrmer模型框架，模型基本遵守Transformer的Encoder、Decoder结构。

主要贡献

1. 本文提出了一个 $ProbSparse$ self-attention mechanism（以下简称PSA），以此代替标准的SA机制，PSA的时空复杂度均为$O(LlogL)$。PSA分析了attention过程中的所有$\{k_i,q_j\}$点积对，发现点积对服从长尾分布，大部分点积对产生较小的贡献，少数的点积对贡献非常大。可想而知，如果只计算贡献较大的哪些点积对，就可以降低模型的复杂度，但是如何在计算之前就知道哪些点积对贡献度大呢，这点就是本文最重要的内容，下文会详细阐述。
2. 提出了一个自注意力蒸馏操作（self-attention distilling operation），该操作从PSA的特征图中抽取较大的值并保留下来，其实是一个$\mathbf{M}\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{P}\mathbf{o}\mathbf{o}\mathbf{l}$函数，通过该操作，模型的空间复杂度被进一步降低为$O((2-ϵ)LlogL)$。
3. 在模型的预测阶段，作者使用一个全连接层直接输出想要预测的序列，如图1中右上角部分的模块，其中标黄色的元素是待预测数据，这种生成式（generative style）的预测方式只需要一步前馈迭代就可以得到整个待预测序列，避免了传统时序预测方法中逐步迭代带来的效率低下问题。

具体内容

问题描述

给定一个t时刻的输入序列$X^t=\{x_1^t,\dots ,x_{L_x}^t|x_i^t\in {\mathbb{R}}^{d_x}\}$，希望得到预测输出序列$Y^t=\{y_1^t,\dots ,y_{L_y}^t|y_i^t\in {\mathbb{R}}^{d_y}\}$，其中$y_i$不限于单一变量，即模型可以处理多变量问题。在LSTF任务中，作者希望能够预测尽量长的输出序列，即$L_y$尽可能大一点。

输入表征

在输入表征阶段，本文将全局位置信息（global positional context）和局部时序信息（local temporal context）融入到每个序列元素的表征中。

具体来说，全局位置信息将分，时，周，月，假日等信息编码并加入元素表征中，局部时序信息编码则是借鉴Transformer的位置编码方法，也是使用正余弦函数，得到每个元素的相对位置信息。

ProbSparse Self-attention Mechanism

标准 Self-attention

传统的标准 self-attention 定义如下：

$$\mathcal{A}(Q,K,V)=Softmax(Q{K}^T/\sqrt{d})V$$

其中，$Q\in {\mathbb{R}}^{L_Q\times d},K\in {\mathbb{R}}^{L_K\times d},V\in {\mathbb{R}}^{L_V\times d}$，d代表输入向量的维度。

文献[2]提出第i个query $q_i$ 的attention公式可以定义为一个带有内核平滑器的概率公式：
$$\mathcal{A}(q_i,K,V)=\sum _j\frac{k(q_i,k_j)}{{\sum }_{l}k(q_i,k_l)}{v}_j={\mathbb{E}}_{p(k_j|q_i)}[v_j]$$
上式中的$p(k_j|q_i)=\frac{k(q_i,k_j)}{{\sum }_{l}k(q_i,k_l)}$，其中$k(q_i,k_j)$是非对称指数核函数：$exp(q_i{k_j}^T/\sqrt{d})$。

以上就是传统的self-attention的计算方式，可以看到，其时间复杂度是$O(N^2)$的，在长时序预测任务中，平方复杂度是非常不理想的，因此本文主要考虑解决该问题。

稀疏性分析

本文首先抽取出self-attention中的两张特征图，并对softmax的分数进行统计及可视化，如图2，可以发现self-attention层中的点积对呈现非常明显的长尾分布，即少数的点积对得到非常大的softmax值，在SA中起重要作用，而大部分点积对可以直接被忽视，并不影响SA的计算。

图2：self-attention特征图中的softmax分数呈现稀疏性，横坐标是点积对的数量，纵坐标是该点积对算出来的softmax值

由此可以想到我们只需要计算贡献度大的那部分点积对，能够大大减少计算的次数，加快计算的效率，那么如何在计算SA之前区分哪些点积对贡献度比较高，而哪些点积对没有贡献呢，这就需要引入一个稀疏性度量方法。

稀疏性度量（Query Sparsity Measurement）

上述公式中，$p(k_j|q_i)$用概率形式表示第i个查询（query）和每个键（key）的相似度；从概率角度来看，$p(k_j|q_i)$表示针对特定的$q_i$，$k_j$能获得更高attention值的概率，其本质是通过softmax计算k和q的相似度。

我们希望一个优秀的attention模型应该能找到序列中较为相似的部分，当出现类同项时，$p(k_j|q_i)$应该远远大于其他$\{key,query\}$对；从概率分布角度来看，$p(k_j|q_i)$应该要远离均匀分布，因为如果$p(k_j|q_i)$接近均匀分布$q(k_j|q_i)=\frac{1}{L_K}$时，self-attention就变成了对value的算数平均，无意义。

衡量两个分布的差异性，最容易想到的就是采用KL散度，：
$$KL(p||q)=\sum _{i=1}^{N}p(x_i)(logp(x_i)-logq(x_i))$$
其中p和q分别为两个分布的概率密度函数。接下来要衡量SA模型中$p(k_j|q_i)$和均匀分布$q(k_j|q_i)$的概率分布差异性，为了计算方便，把q分布放在前面，计算过程如下：

由于上式括号内第一项和第三项时常量，故括号前的${\sum }_{j=1}^{L_K}\frac{1}{L_K}$可以抵消掉，得到如下结果：
$$KL(q||p)=ln\sum _{l=1}^{L_K}exp(q_i{k_l}^T/\sqrt{d})-\frac{1}{L_K}\sum _{j=1}^{L_K}{q}_i{k_j}^T/\sqrt{d}-ln{L}_K$$
去掉第三个常量后，可以得到一个衡量第i个query的稀疏性度量函数$M$：
$$M(q_i,K)=ln\sum _{j=1}^{L_K}{e}^{\frac{q_i{k_j}^T}{\sqrt{d}}}-\frac{1}{L_K}\sum _{j=1}^{L_K}\frac{q_i{k_j}^T}{\sqrt{d}}$$
$M$越大，代表query i和每个key做attention的概率更具有差异性，并有更大概率包含有效的点积对。通过论文附录的进一步证明（证明过程这里不展开了，有兴趣的可以去阅读论文），得到简化后的稀疏性度量函数：
$$\overline{M}(q_i,K)=ma{x}_j\{\frac{q_i{k_j}^T}{\sqrt{d}}\}-\frac{1}{L_K}\sum _{j=1}^{L_K}\frac{q_i{k_j}^T}{\sqrt{d}}$$
在长尾分布下，我们只需要随机采样$U=L_{K}ln{L}_Q$个点积对来计算$\overline{M}$；然后选取$\overline{M}$值最大的Top-u个点积对中的query构造$\overline{Q}$，在具体实践中，通常把query和key的长度设为相等，即$L_Q=L_k=L$，所以该模型的时空复杂度降为$O(LlnL)$。

编码器

相对于上一节的内容，编解码器的结构就相对简单，编码器的框架如图3。

图3:编码器框架

从左到右分别是

1. 输入序列的编码，包含元素表征编码和时序信息编码；

2. Embedding嵌入过程，通过一维卷积进行嵌入；

3. 黄色部分就是multi-head的attention层，称之为attention block，这里的attention采用上一节提出的ProbSparse Self-attention方法，图3中有3个attention block堆叠起来，每一块的特征图尺寸都是上一层的一半（下面maxpool的步长为2），模块个数为超参，可以根据需要调节；

4. 紧跟在attention block后面的蓝色模块称为自注意力蒸馏操作（Self-attention Distilling），蒸馏过程如下：
   $$X_{j+1}^t=MaxPool(ELU(Conv1d([X_j^t{]}_{AB})))$$
   其中一维卷积模块对时间维度进行卷积操作，卷积核大小为3，可以看出，蒸馏操作就是对attention后的特征图进行了最大池化（maxpool），步长为2，在抽取并保留特征图中较大的值的同时减半输入的时间维度。这样做的好处是在堆叠模型的同时保证内存使用率仍较低，通过这个操作，空间复杂度变为$O((2-ϵ)LlogL)$，其中$ϵ$是一个很小的数值。

解码器

解码器结构可以见图1的右半部分，其中的attention结构和上面介绍的ProbSparse Self-attention Mechanism一致，mask操作也和Transformer一致，值得一提的是，解码器采用生成的方式预测输出序列。

1. 输入阶段：将原始输入序列编码$X_{token}^t$和零向量$X_0^t$拼接到一起，得到解码器的输入$X_{de}^t$：
   $$X_{de}^t=Concat(X_{token}^t,X_0^t)\in {\mathbb{R}}^{(L_{token}+L_y)\times d_{model}}$$
   其中$X_{token}^t\in {\mathbb{R}}^{L_{token}\times d_{model}}$是原始输入序列的编码，和encoder的输入一致，其序列长度$L_{token}$是一个超参，$X_0^t$是占位符，除了元素内容是零向量之外，$X_0^t$还包含时序信息的编码。

2. 输出阶段：在attention模块后面接一个全连接网络，一步前馈就能够生成对应的预测序列。

也就是说解码器根据已有序列元素$X_{token}$，对后面占位符对应的元素预测。文章中有个简单的例子，已知前五天的数据，要预测接下来两天的数据，则$X_{de}=\{X_{5d},X_0\}$，$X_0$包含了需要预测的那两天的时间信息。

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参考文献

[1] Vaswani A, Shazeer N, Parmar N, et al. Attention is all you need[C]//Advances in neural information processing systems. 2017: 5998-6008.

[2] Tsai Y H H, Bai S, Yamada M, et al. Transformer Dissection: A Unified Understanding of Transformer’s Attention via the Lens of Kernel[J]. arXiv preprint arXiv:1908.11775, 2019.