人工智能数学基础：利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值、最值和描绘函数图形

一、单调性判断定理

定理：
设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导。
(1)如果在(a，b)内f(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调增加;
(2)如果在(a，b)内f(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a，b]上单调减少。

证明思路：
利用拉格朗日中值公式，可以正得任意两点的函数值差等于某点导数与两点x值的差的乘积，因此x值的差决定了函数值的差的符号。

另外对于导数为0的点，将区间分成了2部分，每部分的单调性跟随导数的值与自变量的差的值，这表明两个区间的单调性遵循定理的要求，则两个区间叠加后也会遵循。

二、曲线凹凸性判断

1、凹凸性的判断规则

函数曲线的上升或下降反映了函数的单调性，而曲线在上升或下降过程中，还存在一个弯曲方向的问题，如图：

都是上升曲线，曲线ACB向上凸起，而ADB则向下弯曲。

曲线的凹凸性在几何图形上的描述：通过曲线上任取两点，如果连接这两点的直线（弦）总是位于这两点曲线弧的上方，则曲线是向下弯曲（凹），如果弦总是位于曲线弧的上方，则曲线是向上凸的。

曲线的凹凸性函数形式的表达：
设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1、x2恒有：

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)，如果恒有：

那么称/(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

2、曲线凹凸性判断定理

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么
(1)若在(a,b)内f”(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f”(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

证明思路：

任取区间内两点x1、x2，假设x2>x1，然后取x0=(x1+x2)/2，记h=x0-x1=x2-x0，分别对区间[x1,x0]、[x0,x2]应用柯西中值定理，得到的两个式子相减后再应用柯西中值定理，如果函数f(x)的二阶导数大于0，就可以得到：

三、极值

1、定义

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U°(x0)内的任一x，有
f(x)f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。

备注：去心邻域实际的表示不是U°，而是在U上面一个小圈，但无法用文字输入，因此老猿所有的博文都用了U°来表示，实际的符号应该是：

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值，那是就x0附近的一个局部范围来说，f(x0)是f(x)的一个最大值，如果就f(x)的整个定义域来说f(x0)不见得是最大值。关于极小值也类似。

在图3-11中，函数f(x)有两个极大值：f(x2)、f(x5)，三个极小值：f(x1)、f(x4)、f(x6)，其中极大值f(x2)比极小值f(x0)还小。就整个区间[a，b]来说，只有一个极小值f(x1)同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值。

2、定理1(必要条件)

定理：设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f’(x0)=0。

定理1就是说：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

例如，f(x)=x³的导数f’(x)=3x²，f’(0)=0，因此x=0是这可导函数的驻点，但x=0却不是这函数的极值点。

所以，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。

3、定理2(第一充分条件)

定理：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域U°(x0,δ)内可导。
(1)若x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值；
(2)若x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值；
(3)若x∈U°(x0,δ)时，f’(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值。

定理2也可简单地这样说：当x在x0的邻近渐增地经过x0时，如果f’(x)的符号由正变负，那么f(x)在x0处取得极大值；如果f(x)的符号由负变正，那么f(x)在x0处取得极小值；如果f’(x)的符号并不改变，那么f(x)在x0处没有极值。

根据上面的两个定理，如果函数f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按下列步骤来求f(x)在该区间内的极值点和相应的极值：
(1)求出导数f’(x);
(2)求出f(x)的全部驻点与不可导点;
(3)考察f’(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
(4)求出各极值点的函数值，就得函数(x)的全部极值。

4、定理3(第二充分条件)

定理：设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f"(x0)≠0，则
(1)当f"(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值;
(2)当f”(x)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值。

证明思路：
根据导数的定义有：

而f’(x0)=0，可以得到x在x0的足够小的去心邻域时，上式右边不带极限符号的表达式的运算结果的符号取决于f"(x0)的符号，也可以得出f’(x)的符号与x-x0的符号的关系，再结合定理2就可以证明上述结论。

定理3表明：

如果函数f(x)在驻点x0处的一阶导数f’(x0)=0、二阶导数f”(x0)≠0，那么该驻点x0一定是极值点，并且可以按二阶导数f”(x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值。

但如果f"(x)=0，那么定理3就不能应用。事实上，当f’(x0)=0，f"(x)=0时(x)在x处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值。

例如，f(x)=-x⁴,f2(x)=x⁴,f3(x)=x³这三个函数在x=0处就分别属于这三种情况。

因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定；如果函数在驻点处有f"(x0)=…=f^(n-l)(x0)=0，f⁽ⁿ⁾(x0)≠0，那么也可利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来讨论判定)。

四、求最值的方法

假定函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。在上述条件下，我们来讨论f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的求法。

首先，由闭区间上连续函数的性质可知，f(x)在[a，b]上的最大值和最小值一定存在。

其次，如果最大值(或最小值)f(x0)在开区间(a，b)内的点x0处取得，那么，按f(x)在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知f(x0)一定也是f(x)的极大值(或极小值)，从而x0一定是f(x)的驻点或不可导点。又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。

因此，可用如下方法求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值：
(1)求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点;
(2)计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a)、f(b);
(3)比较(2)中诸值的大小，其中最大的便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是f(x)在[a，b]上的最小值。

在求函数的最大值(或最小值)时，特别值得指出的是下述情形：f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值(图3-15(a))；当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值(图3-15(b))，在应用问题中往往遇到这样的情形。

五、借助导数描绘函数图形

借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个区间上下降；

借助于二阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点。

知道了函数图形的升降、凹凸以及拐点后，也就可以掌握函数的形态，并把函数的图形画得比较准确。

利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：

1. 第一步 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函数的一阶导数f’(x)和二阶导数f"(x)；
2. 第二步 求出一阶导数’(x)和二阶导数f”(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点及f’(x)和f”(x)不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；
3. 第三步 确定在这些部分区间内f’(x)和f“(x)的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；
4. 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
5. 第五步 算出f’(x)和f”(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；
6. 为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y=f(x)的图形。

现在，随着现代计算机技术的发展，借助于计算机和许多数学软件，可以方便地画出各种函数的图形。但是，如何识别机器作图中的误差，如何掌握图形上的关键点，如何选择作图的范围等，从而进行人工干预，仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识。

六、小结

本文介绍了利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值相关的概念和定理，通过本文的介绍，可以熟悉通过导数判断函数单调性、凹凸性、极值以及求最值的原理和方法。最后，通过一阶导数和二阶导数确定了函数的单调性、凹凸性、极值点之后，就可以描绘出函数的几何图形。

说明：

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