LMS自适应波束形成算法（MATLAB）

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前言

记录阵列信号处理的学习过程。

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一、自适应波束形成的最佳权矢量

一般来说，并不希望直接求解方程，其理由如下:①由于移动用户环境是时变的，所以权向量的解必须能及时更新;②由于估计最佳解需要的数据是含噪声的，所以希望使用一种更新技术，可利用已求出的权向量求平滑最佳响应的估计，以减小噪声的影响。因此，希望使用自适应算法周期更新权向量。
实际上就是自适应滤波的工程，使得输出不断向期望信号收敛。这里以MMSE（最小均方误差）为例，说明如何把他变成一种自适应算法。
1.MMSE方法
MMSE准则就是使误差$y(k)-d(k)$的均方值最小化，即代价函数取$$J(w_q)=E[|w_q^{H}x(k)-d_q(k){|}^2]$$实际上就是数学中的问题，给了y，要去求使得y取得最小最小值的x，在一维中我们直接求导数就可以，在二维和高维中，我们利用雅可比行列式，实际上是和一元差不多。在一元函数中，我们寻找最优点往往就是先给定初始$x$，然后以一个步长往梯度的反方向步进，在这里也是一样。
我们将上式子展开
$$J(w_q)=w^{H}E[x(k)x^H(k)]w_q-E[d_q(k)x^H(k)]w_q-w_q^{H}E[x(k)d_q^{\ast }(k)]+E[d_q(k)d_q^{\ast }(k)]$$对上式子对$w_q$求导数（矩阵求导，下次抽空了写一下），求得
$$\frac{\partial }{\partial w_q}J(w_q)=2E[x(k)x^H(k)]w_q-2E[x(k)d_q^{\ast }(k)]=2R_x{w}_q-r_{xd}$$
只要求出了梯度，我们就可以迭代，一步一步沿着梯度的方向去步进。

2.LMS算法
MMSE方法可以用LMS算法实现。
考虑随机梯度算法，其更新权矢量的一般公式为
$$w_q(k+1)=w_q(k)-\frac{1}{2}u\nabla$$
式中$\nabla =\frac{\partial }{\partial w_q(k)}J(w_q(k))$，$u$是收敛因子，实际上就是步长，这个步长，选长了，容易收敛不了，就一直在最优点旁边左右移动，选短了，需要的迭代次数增加。
上面已经求出
$$\nabla =2(E[x(k)x^H(k)]w_q(k)-E[x(k)d_q^{\ast }(k)])$$
但是$E[]$这个东西是个什么呢？在实际运算中，我们如何求$E$呢？实际上$E$是一个总体的特征，当样本足够多时，我们可以去估计它，但是我们现在要求实时更新，也就是采一次样，那么就利用LMS算法去更新一次，现在有$E$是不可以的，LMS算法的基本思路是把数学期望用各自的瞬时值代替，即得到$k$时刻的梯度估计值如下
$$\tilde{\nabla }(k)=2x(k)[x^H(k)w_q(k)-d_q^{\ast }(k)]=-2x(k)f(k)$$实际上
$$E[\tilde{\nabla }]=\nabla$$，即$\tilde{\nabla }$是$\nabla$的一个无偏估计，在某些情况下，我们是可以替代的。
我们将梯度值代回权矢量的更新公式，得到了LMS算法为
$$w(k+1)=w(k+1)+ux(k)f(k)$$

算法	初始化	更新公式
LMS	$w_0=0$	$$\begin{gathered} y(k)=w^H(k)x(k) \\ f(k)=d(k)-y(k) \\ w(k+1)=w(k)+ux(k)f^{\ast }(k) \end{gathered}$$

二、MATLAB实现

1.代码逻辑

实际上LMS实现比较简单。
1.$k$时刻计算$y(k)=w^H(k)x(k)$
2.计算$f(k)=d(k)-y(k)$
3.更新权矢量$w(k+1)=w(k)+ux(k)f^{\ast }(k)$
4.进行第$k+1$次迭代

2.代码实现

clear;
clc;
M = 16;
thetas = [0 30 60];
lambda = 10;
d = lambda /2;

N = 1000;
n = 0:N-1;
f0 = 2000;
s = [1*sin(2*pi*f0 *n/(8*f0));...
    2*sin(2*pi*2*f0 *n/(8*f0));...
    3*sin(2*pi*3*f0 *n/(8*f0))
    ];
% 生成方向矢量
A = exp(-1i * 2 * pi * d * (0:M-1)' * sind(thetas) / lambda);
St = A*s + randn(M,N);
% LMS 算法 开始 进行自适应滤波
di = s(1,:);  % 第一行为期望信号
u = 0.0005;
w = zeros(M,1);  % 初始化权重向量

for k = 1:N
    y(k) = w'*St(:,k);
    e(k) = di(k) - y(k);
    w = w + u * St(:,k) * conj(e(k));
end
scan_theta = [-89:90];
beam = zeros(1,length(scan_theta));
for i = 1 :length(scan_theta)
    % 构造该方向的方向向量
    v = exp(-1i * 2 * pi *d* (0:M-1)'.*sind(scan_theta(i))/lambda);
    beam(i) = abs(w'*v);
end
figure;
plot(scan_theta,20*log10(beam/max(beam)))
title('方向图')
figure;
for k = 1:N
    en(k) = (abs(e(k)))^2;
end
semilogy(en); hold on;
xlabel('迭代次数')
ylabel('MSE')
title('MSE')

3.实验结果

当以0度入射的信号为期望信号时

当以30度信号为期望信号时。

可见权值都收敛到了正确的方向图方向。

主要参考：张小飞.阵列信号处理及MATLAB实现[M].电子工业出版社