(一)卡尔曼滤波器前述- α−β−(γ)滤波器

本文参考卡爾曼濾波

Kalman Filter in one dimension

一个预测的例子

        雷达跟踪系统向目标方向发射一个笔尖型射束用于追踪目标。假设发射周期为5S，因此，雷达系统会在每5秒的时间后通过向目标方向发射专用的跟踪射束来定位目标。在发射射束之后，雷达系统会估算当前目标的位置和速度。与此同时，雷达系统也会预测下一个发射束应该发送到哪一个位置。

通过牛顿运动方程，我们能很容易计算出目标在下一个发射周期的位置：

        将上述公式映射到三维空间，我们可以将牛顿运动方程作为系统的方程：

         将x,y,z,vx,vy,vz,ax,ay,az记作为系统的状态方程。通过将当前系统状态代入到系统方程中，可以得到目标的下一个系统状态。上述的方程被成为动态模型(空间状态模型)，是一种描述输入和输出关系的方法。

        我们知道当我们有了当前系统状态和掌握系统的动态模型之后，我们就能很容易地预测出目标的下一个状态？

        首先,雷达系统的测量数值不是完全可靠，它包含随机误差(或者这类型的不确定性)。这些随机错误的大小取决于很多因素，例如雷达自身的准确性，发射光束的宽度，返回信号强弱等等。这些测量误差被称为测量噪声。

        因为有很多外部因素会做成干扰，目标运动并不是完全按着运动方程。例如：风向，空气流动，驾驶策略等等。这个动态模型误差被称为处理噪声。

        在此类问题的应用上，使用卡尔曼滤波器是一个很普遍的解决方法。

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        在开始之前，我们将解释几个基本的术语，包括 variance，standard deviation， estimate(方差，标准差，正态分布，估计，准确度，精密度，均值，期望值和随机变量).

均值和期望值

均值 Mean 和 期望值 Expected Value 是两个相似但不相同的概念。

         上述的结果并不是期望值，因为系统的状态（硬币的值）是可观测的, 并且我们用所有个体（全部的5枚硬币）来计算均值。

        现在比方说一个人测量了5次体重，5次的结果分别是：79.8kg，80kg，80.1kg，79.8kg，和80.2kg。体重秤的随机测量误差导致每次的测量结果不同。我们无法知道体重的真实值，因为它是一个隐变量Hidden Variable，但我们可以通过平均多次测量值来估计体重。

        估计的结果就叫做体重的期望值，均值通常用希腊字母 μ 表示，期望值通常用 E 表示。

方差和标准差

         方差 Variance 用来衡量一组数据的离散程度。

        标准差 Standard Deviation 是方差的算数平方根。标准差用希腊字母 σ（sigma）表示，方差即为 σ2。

        方差用来衡量一组数据的离散程度，即个体数据与均值的偏差。第一步，用个体值减均值来计算个体值到均值的距离。

        假设我们想比较两所高中篮球队的身高，各队队员的身高和平均身高如下表所示。

两队平均身高相同，我们可以进一步比较两队身高的标准差。

 我们用 xx 表示身高，希腊字母 μ表示平均身高。个体值到平均值的距离为：

下表列出了每个个体值到平均值的距离。

为了去掉负值，第二步，求出离均值距离的平方：

         最后，平均各队离均值距离的平方得到方差:

        由于方差的单位是平方，因此使用标准差比较方便。标准差就是方差的算数平方根。 

        如果我们想计算所有高中全部队员身高的均值和方差，是非常困难的，我们需要收集所有高中球员的身高数据。不过，我们也可以先收集一个大数据集，通过计算这个数据集来估计所有队员身高的均值和方差。随机选取100个队员，获得的数据集足以进行准确的估计。

        注意这时计算方差的方程略有不同。除数不是 N, 而是 N−1:

这个网站有上面公式的数学证明：Why divide the sample variance by N-1? - Computer vision for dummies

正态分布

研究表明，许多自然现象都遵循正态分布 Normal Distribution。

正态分布又名高斯分布（以数学家Carl Friedrich Gauss的名字命名）, 其公式如下:

测量误差通常呈正态分布。因此，我们在设计卡尔曼滤波器的时候假设测量误差呈正态分布。

所有的测量值都是连续随机变量。

估计，准确度和精密度

        估计 Estimate用来估算系统的不可见状态。飞机的真实位置对观察者来说是不可见的。我们可以用雷达等传感器估计飞机的位置，并通过使用多个传感器和高级估计及追踪算法（如卡尔曼滤波器）来显著地提升估计的准确度。测量或计算出的的参数都是估计值。

        准确度 Accuracy表示测量值与真实值的接近程度。

        精密度 Precision表示测量结果的再现性。估计需要考虑系统的准确性与精密性。

        随机测量误差会导致方差，高精密度系统的方差较小（不确定度低），而低精密度系统的方差较大（不确定度高）。

        低精度系统被称为有偏 biased系统，因为其测量值都存在一个固有的系统性误差（偏差）。

        对测量值进行平均或平滑处理可以显著降低方差的影响。例如，如果我们使用带有随机测量误差的温度计来测量温度，随机的误差将导致一些测量值高于真实值，一些低于真实值。我们可以进行多次测量并对其求平均值，这个估计值会接近真实值，测量次数越多，估计值就越接近。

        测量值的均值和真实值的差名为偏差 bias 或 系统误差 systematic measurement error，用来表明测量精度 measurements accuracy。

        分布的离散程度就是测量值的精密度 precision，又名测量噪声 measurement noise或随机测量误差 random measurement error或测量不确定性 measurement uncertainty。

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 在这个例子中，我们要估计静态系统的状态。静态系统是指在相当一段时间内不改变状态的系统。

 例子1 – 金条重量

        在本例中，我们将估计金条的重量。我们将使用一个无偏秤，也就是说，它没有系统误差，但有随机噪声。

         系统是金条，系统的状态就是金条的重量。假设金条的重量在短时间内不发生变化，即系统的动态模型是恒定的。 为了估计系统的状态(金条的重量)，可以进行多次测量并求平均值。

 经过n次测量，估计值x^n,n是所有测量值的平均值:

 本例中的动态模型是定值，所以

        想要估计第n次的值 ，我们需要记住所有历史测量数据。假设我们没有笔和纸来记录，也不能凭的记忆记下所有的历史测量数据。但我们可以仅用上一次的估计值和一点小小的调整(在现实生活的应用中，我们想节省计算机内存)，以及一个数学小技巧来做到这一点: 

 上述方程是卡尔曼滤波五个方程之一，名为状态更新 State Update Equation。其含义为：

         系数  对于这个例子是特定的。稍后我们将讨论这个系数的重要作用，在卡尔曼滤波中，这个系数叫做 卡尔曼增益 Kalman Gain，记作 Kn ，脚标 n 表示卡尔曼增益随每次迭代而变化。

        在我们深入学习卡尔曼滤波器前，会使用希腊字母 来代替.因此状态更新方程为：

称为观测残差，叫做更新innovation。

        本例中， 随着 N的增加而减少。这意味着刚开始时权重值没有足够的信息，因此估计基于        测量结果。随着迭代的继续，一直减小，每一次的测量值在估算中的权重越来越小。迭代足够多后，新的测量值对估计值的影响可以忽略不记。

        让我们继续看这个例子，在进行第一次测量前，可以通过金条上的图章来猜测(或粗略估计)金条的重量。这个初始猜测 Initial Guess也就是第一个估计值。后面会讲到，卡尔曼滤波器需要预设一个初始猜测值，这个值不用很精准。

估计算法

 数值案例：

第0次迭代：初始化

        我们对金条重量的初步估计是1000克。滤波器初始化操作仅需一次，不会用在下一次迭代中。

预测：

 金条的重量是不变的，因此系统的动态模型是静态的，状态的下一个估计值(预测值)等于初始值：

 

第一次迭代:

步骤1

第一次秤重：  

步骤2

计算增益，在本例中,

，用状态更新方程计算当前估计值：

步骤3

 系统的动态模型是静态的，因此金条的重量不会改变，状态的下一个估计值(预测值)等于当前的估计值:

 如图所示，估计算法对测量值有平滑效果，估计值会趋近真实值。

例子2 – 在一维空间中追踪匀速飞行器

在这个例子中，我们用α-β 滤波器在一维空间中追踪匀速飞行的飞行器。

假设在一个一维空间，有一架飞行器正在向远离雷达(或朝向雷达)的方向飞行。在一维空间中，雷达的角度不变，飞行器的高度不变，如下图所示。

代表飞行器在n时刻的位置，

雷达以恒定频率向目标方向发射追踪波束,周期为.

假设飞行器速度恒定，系统的动态模型可以用两个运动方程来描述：

 滤波器

        若雷达的跟踪周期为5秒，假设在n-1时，无人机的估计位置为30000米，估计速度为40m/s

使用状态外推方程：可以预测在n时的位置为：

速度为匀速

        但在n时刻，雷达的测量位置为：30110m，并不是预测的30200m。预期(预测)航程和测量航程之间有90m的偏差，造成这种偏差的可能原因有两个：

• 雷达测量不精确
• 飞行器速度改变了。新速度为：

速度的状态更新方程：

系数 β 的值取决于雷达的精确程度。假设1的精度为20m，更有可能是飞行器速度的变化导致预测距离和测量距离之间的90米的偏差。在这种情况下，我们将系数β 调高，将β 设为0.9，则估计的速度为

假设1的精度为150m,则倾向于雷达的测量误差造成了90米的偏差。在这种情况下，将系数β 调低，将β 设为0.1，则估计的速度为

 

飞行器位置的状态更新方程与上一个例子中推导的方程类似：

        与上一个例子不同的是，上一个例子中每次迭代需要重新计算系数 α，而在这个例子中系数 α是常数。

α的大小取决于雷达测量精度。对于高精度雷达，我们将选择高 α ，这将给测量带来很高的权重，如果 α=1,则估计位置等于测量位置。α=0，则测量没有意义。

        我们得到了雷达追踪器的状态更新方程组，它们也被称为α-β轨迹更新方程α−β track update equations，或者称为α-β轨迹滤波方程α−β track filtering equations。

 使用α=0.2，β =0.1,如下图所示

估计值具有平滑的作用

使用高的α=0.8，β =0.5

        估计值非常接近测量值，预测的误差比较大。

        总结：α，β 的值应当取决于测量的精度，如果使用高精度设备，如激光radar，我们更相信测量值，选择高的α，β。在本例中，滤波器将会快速的响应目标速度的变化。另一方面，若测量的精度很低，则选择更小的α，β，在这种情况下，滤波器平滑测量中的不确定(误差)，但是滤波器对目标速度的反映并不快。

例子3 – 在一维空间中追踪加速飞行器

现在来看一架战斗机，它先以50m/s的恒定速度飞行15秒，然后以8m/s2的加速度匀加速飞行35秒。下图显示了目标航程、速度、加速度随时间的变化。

        从这张图中可以看出，前15秒内飞行器的速度是不变的，在15秒之后呈线性增长。前15秒内距离的增长是线性的，随后呈平方增长。用的α-β滤波来追踪这个飞行器。

α−βα−β 滤波器的参数分别是：

• α=0.2
• β=0.1

雷达追踪周期为5秒。

第0次迭代:初始化

n=1,

 

         可以看到真实值或测量值与估计值之间存在一个固定的差值，这个差值被称为滞后误差lag error。滞后误差的其他常见名称有：

• 系统误差 Systematic error
• 动态误差 Dynamic error
• 偏移误差 Bias error
• 截断误差 Truncation error

恒定加速度会导致滞后误差。

包含加速度动态模型的 α−β−γ滤波器可以追踪匀加速运动的目标，并且消除滞后误差。

α−β−(γ)滤波器总结

α−β−(γ) 滤波器有许多类型，它们基于相同的原理：

• 当前状态估计基于状态更新方程;
• 状态的下一个估计值（预测值）基于动态模型方程;

        这些滤波器之间的主要区别在于加权系数 α−β−(γ)的选择。有些滤波器使用恒定的加权系数，有些则需要在每次迭代（循环）时计算加权系数。

最常用的 α−β−(γ)α−β−(γ) 滤波器有：

• Wiener Filter 维纳滤波
• Bayes Filter 贝叶斯滤波
• Fading-memory polynomial Filter
• Expanding-memory (or growing-memory) polynomial Filter
• Least-squares Filter 最小二乘法滤波
• Benedict–Bordner Filter
• Lumped Filter
• Discounted least-squares α−βα−β Filter
• Critically damped α−βα−β Filter
• Growing-memory Filter
• Kalman Filter 卡尔曼滤波
• Extended Kalman Filter 扩展卡尔曼滤波
• Unscented Kalman Filter 无迹卡尔曼滤波
• Particle Filter 粒子滤波器