图傅里叶变换、图信号处理和图卷积中的图信号(Graph Signal)理解

前言

图信号(Graph Signal)在 图傅里叶变换、图信号处理、谱图理论 和图卷积中的出现频次较高，在图傅里叶变换的维基百科中，只是简单地说明了图信号是个函数，它将顶点映射为实数：

图信号(graph signal) $f:V\to \mathbb{R}$是定义在图$G$顶点上的函数, $f$将每一个顶点(vertex) $\{v_i{\}}_{i=1,\dots ,N}$ 映射为一个实数$f(i)$。

图信号理解

例如，假设一个有8个城市的省，我们需要表示每个城市的卡车数量，可以使用如下的图形信号来表示这些信息：

每个浅绿色的顶点代表一个城市及其在该省的位置。连接城市的蓝色的边代表两个连接城市之间的道路。红色的垂直线代表卡车的数量，这是一个标量值。红线越高，那个城市的卡车数量就越高。

假设每个顶点$i$都有一个信号$f(i)$，给定图中的一个顶点，这个顶点信号将给出一个实数作为输出，即
$$f:V\to \mathbb{R}$$

比如第1个城市有100量卡车，则$f(1)=100$。
由于有N个顶点，因此$f(i)$中的$i$将有N个不同的值。图信号可以定义为N个单独信号的集合，如下所示。
$$f=[f(1),f(2),...f(N){]}^T$$

结语

上面我们看到的是一个简单的平面图，然而，我们可以用更高维度的图来表示复杂的模型，例如，人体可以表示为3D点云图，传感器网络甚至图像都可以表示为图形，这如下图所示。

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