正交多项式-勒让德多项式，两类切比雪夫多项式及零点，拉盖尔多项式，埃尔米特多项式

1.正交多项式

$设{\phi }_n(x)是[a,b]上首项系数a_n\ne 0的n次多项式，\rho (x)为[a,b]上的权函数.$
如果多项式序列$\{{\phi }_n(x){\}}_0^{\infty }$满足关系式
$$({\phi }_j,{\phi }_k)={\int }_a^b\rho (x){\phi }_j(x){\phi }_k(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{l}0,j\ne k,\\ A_k>0,j=k.\end{array}$$
$则称多项式序列\{{\phi }_n(x){\}}_0^{\infty }为在[a,b]上带权\rho (x)正交,称{\phi }_n(x)为[a,b]上带权\rho (x)的n次正交多项式.$

2.勒让德多项式

2.1 定义

$当区间为[-1,1],权函数\rho (x)\equiv 1时,由\{1,x,\dots ,x^n,\dots \}$$正交化得到的多项式称为\text{勒让德(Legendre)多项式}.并用P_0(x),P_1(x),\dots ,P_n(x),\dots 表示.$
递推关系$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x),n=1,2,\dots .其中,P_0(x)=1,P_1(x)=x$$

2.2 Python实现勒让德多项式

from numpy import pi
from sympy import expand, cos, Poly, solve, Eq
from sympy.abc import x
import numpy as np


# 自己原创
def legendre_polynomial(symbol_x, degree):
    """
    实现degree次勒让德(Legendre)多项式
    :param symbol_x:符号变量
    :param degree:多项式阶数
    :return:指定degree阶数的勒让德(Legendre)多项式
    """
    legendre_t_list = np.array([1, symbol_x])
    if degree in (0, 1):
        return legendre_t_list[degree]
    for n in range(1, degree + 1):
        legendre_t_list[0] = (2 * n + 1) / (n + 1) * symbol_x * legendre_t_list[1] - n / (n + 1) * legendre_t_list[0]
        # 第一种方式交换legendre_t_list
        legendre_t_list = legendre_t_list[::-1]
        # 第二种方式交换legendre_t_list
        # legendre_t_list[1], legendre_t_list[0] = legendre_t_list[0], legendre_t_list[1]
        # 第三种方式交换legendre_t_list
        # temp = legendre_t_list[1]
        # legendre_t_list[1]=legendre_t_list[0]
        # legendre_t_list[0] = temp
    return expand(legendre_t_list[0])

3.切比雪夫多项式

3.1 第一类切比雪夫多项式定义

$当权函数\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},区间为[-1,1]时,$$正交化得到的正交多项式就是$$\text{切比雪夫(Chebyshev)多项式},它可表示为$
$$T_n(x)=\cos (n\arccos x),|x|⩽1.$$
若令$x=\cos \theta ,则T_n(x)=\cos (n\theta ),0⩽\theta ⩽\pi .$
递推关系
$$\begin{array}{rl}{T}_{n+1}(x)& =2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x),n=1,2,\dots ,\\ T_0(x)& =1,T_1(x)=x.\end{array}$$

3.2 第二类切比雪夫多项式定义

$在区间[-1,1]上带权\rho (x)=\sqrt{1-x^2}的正交多项式$$称为\text{第二类切比雪夫多项式},其表达式为$
$$U_n(x)=\frac{\sin [(n+1)\arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}.$$
递推关系
$$\begin{array}{rl}{U}_0(x)& =1,U_1(x)=2x,\\ U_{n+1}(x)& =2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x),n=1,2,\dots .\end{array}$$

3.3 Python实现两类切比雪夫多项式

# 自己原创
def chebyshev_polynomial(symbol_x, degree, polynomial_kind=1):
    """
    实现degree次切比雪夫(Chebyshev)多项式
    :param polynomial_kind: 切比雪夫多项式类别，第一类或者第二类,默认第一类
    :param symbol_x:符号变量
    :param degree:多项式阶数
    :return:指定degree阶数的切比雪夫(Chebyshev)多项式
    """
    if polynomial_kind not in (1, 2):
        raise Exception("Error,chebyshev_polynomial must be the first or second kind,polynomial_kind=1 or 2.")
    chebyshev_t_list = np.array([1, polynomial_kind * symbol_x])
    if degree in (0, 1):
        return chebyshev_t_list[degree]
    for n in range(degree):
        chebyshev_t_list[0] = 2 * symbol_x * chebyshev_t_list[1] - chebyshev_t_list[0]
        # 第一种方式交换chebyshev_t_list
        chebyshev_t_list = chebyshev_t_list[::-1]
        # 第二种方式交换chebyshev_t_list
        # chebyshev_t_list[1], chebyshev_t_list[0] = chebyshev_t_list[0], chebyshev_t_list[1]
        # 第三种方式交换chebyshev_t_list
        # temp = chebyshev_t_list[1]
        # chebyshev_t_list[1]=chebyshev_t_list[0]
        # chebyshev_t_list[0] = temp
    return expand(chebyshev_t_list[0])

3.4 一般区间的切比雪夫多项式零点

第一类切比雪夫多项式$T_n(x)$在区间$[-1,1]上有n个零点$
$$x_k=\cos \frac{2k-1}{2n}\pi ,k=1,2,\dots ,n$$
第二类切比雪夫多项式$U_n(x)$在区间$[-1,1]上有n个零点$
$$x_k=\cos \frac{k\pi }{n+1},k=1,2,\dots ,n$$
由于切比雪夫多项式是在区间$[-1,1]$上定义的，对于一般的区间$[a,b]$，要通过变量替换变换到$[-1,1]，可令$
$$x=\frac{1}{2}[(b-a)t+a+b],$$
则可将$x\in [a,b]变换到t\in [-1,1].$

3.5 Python实现一般区间的实现切比雪夫多项式零点

# 自己原创
def chebyshev_null_points(degree, a=-1, b=1, polynomial_kind=1):
    """
    利用区间变换和切比雪夫零点求一般区间[a,b]上的插值节点
    :param polynomial_kind: 切比雪夫多项式类别，第一类或者第二类，默认第一类
    :param degree: 切比雪夫多项式次数
    :param a: 区间左端点
    :param b: 区间右端点
    :return:指定区间上的切比雪夫插值节点
    """
    if polynomial_kind == 1:
        return [((b - a) / 2) * cos(((2 * k + 1) / (2 * degree)) * pi) + (b + a) / 2 for k in range(degree)]
    elif polynomial_kind == 2:
        return [((b - a) / 2) * cos((k * pi) / (degree + 1)) + (b + a) / 2 for k in range(1, degree + 1)]
    else:
        raise Exception("Error,chebyshev_polynomial must be the first or second kind,polynomial_kind=1 or 2.")

4.拉盖尔多项式

4.1 定义

$在区间[0,+\infty ]上带权e^{-x}的正交多项式称为\text{拉盖尔(Laguerre)多项式},其表达式为$
$$L_n(x)=e^x\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^n{e}^{-x}).$$
递推关系
$$\begin{array}{rl}{L}_0(x)& =1,L_1(x)=1-x,\\ L_{n+1}(x)& =(1+2n-x)L_n(x)-n^2{L}_{n-1}(x),n=1,2,\dots .\end{array}$$

4.2 Python实现拉盖尔多项式

# 自己原创
def laguerre_polynomial(symbol_x, degree):
    """
    实现degree次拉盖尔(laguerre)多项式
    :param symbol_x:符号变量
    :param degree:多项式阶数
    :return:指定degree阶数的拉盖尔(laguerre)多项式
    """
    laguerre_l_list = np.array([1, 1 - symbol_x])
    if degree in (0, 1):
        return laguerre_l_list[degree]
    for n in range(1, degree + 1):
        laguerre_l_list[0] = (1 + 2 * n - symbol_x) * laguerre_l_list[1] - n * n * laguerre_l_list[0]
        # 第一种方式交换legendre_t_list
        laguerre_l_list = laguerre_l_list[::-1]
        # 第二种方式交换legendre_t_list
        # laguerre_l_list[1], laguerre_l_list[0] = laguerre_l_list[0], laguerre_l_list[1]
        # 第三种方式交换legendre_t_list
        # temp = laguerre_l_list[1]
        # laguerre_l_list[1]=laguerre_l_list[0]
        # laguerre_l_list[0] = temp
    return expand(laguerre_l_list[0])

5.埃尔米特多项式

5.1 定义

$在区间[-\infty ,+\infty ]上带权e^{-x^2}的正交多项式称为\text{埃尔米特(Hermite)多项式},其表达式为$
$$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(e^{-x^2}),$$
递推关系
$$\begin{array}{rl}{H}_0(x)& =1,H_1(x)=2x,\\ H_{n+1}(x)& =2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x),n=1,2,\dots .\end{array}$$

5.2 Python实现埃尔米特多项式

# 自己原创
def hermite_polynomial(symbol_x, degree):
    """
    实现degree次埃尔米特(hermite)多项式
    :param symbol_x:符号变量
    :param degree:多项式阶数
    :return:指定degree阶数的埃尔米特(hermite)多项式
    """
    hermite_l_list = np.array([1, 2 * symbol_x])
    if degree in (0, 1):
        return hermite_l_list[degree]
    for n in range(1, degree + 1):
        hermite_l_list[0] = 2 * symbol_x * hermite_l_list[1] - 2 * n * hermite_l_list[0]
        # 第一种方式交换hermite_t_list
        hermite_l_list = hermite_l_list[::-1]
        # 第二种方式交换hermite_t_list
        # hermite_l_list[1], hermite_l_list[0] = hermite_l_list[0], hermite_l_list[1]
        # 第三种方式交换hermite_t_list
        # temp = hermite_l_list[1]
        # hermite_l_list[1]=hermite_l_list[0]
        # hermite_l_list[0] = temp
    return expand(hermite_l_list[0])