随机信号的功率谱、密度函数的定义（待更新）

1） 随机过程

直观上理解，因为近似的高斯白噪声在每一时刻的方差都相同，所以其对于时间积分的方差会随时间线性增长。如果把方差理解为信号的不确定性，这实际上是不确定性在随着时间线性积累：每过一点时间，积分增量都不确定，因此随着时间增长，积分信号越来越不确定。可以设想，如果 IMU 的角速度测量噪声是高斯白噪声，那么它积分得到的角度会越来越不准确，这是 IMU 角度漂移的原因。

上面应该是“Yt的积分的功率谱密度是。。”上图可知，角速度的功率谱密度是由陀螺仪来决定的。那么怎么从功率谱函数去确定Q？这里并没有对其进行描述。

最后，如果把维纳过程进一步关于时间积分（integrated Wiener process），可以想象得到的信号的不确定性随时间增长速度会更快。事实上，我们有 $\mathrm{var}\left({\int }_0^t{W}_{s}ds\right)=\frac{1}{3}{t}^3$ 。在惯性导航中，如果加速度计的测量噪声是高斯白噪声，那么积分得到的位置是维纳过程关于时间的积分，不确定性会随时间的三次方增长。如果考虑到需要用陀螺仪积分的角度把加速度变换到地球坐标系中，角速度的误差反应到位移中是维纳过程的积分的积分，其不确定性的增长速度会更快，这也是为什么我们使用的便宜的 IMU 只适用于估计角度，而无法积分得到位移。

所以可以看到加速度两次积分的随机过程更加复杂，属于二阶系统。最后的结果就是廉价的加速度计的数值基本不能直接积分单独使用。

那么到底什么是功率谱密度函数？

参考，功率谱表示如下：
$$P(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\left|F_T(\omega )\right|}^2}{2\pi T}$$

有下面的关系：
$$S(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\tilde{K}(\tau )e^{-i\omega \tau }d\tau$$
也就是说功率谱密度和协方差函数互为傅里叶变换的关系。在一个积分系统中，x作为输入，y作为输出，通过这个性质，可以不严格地得到$S_Y(\omega )=|H(\omega ){|}^2{S}_X(\omega )$ ，那么关于时间的积分的功率谱密度是 $\frac{1}{{\omega }^2}{S}_x(\omega )$。

协方差函数就是自相关函数吗？

2）功率谱密度

1. 定义

高斯白噪声

参考；

功率表示：
$${\Psi }^2=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T[x(t){]}^{2}dt$$
帕斯瓦定理：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|F_x(\omega )\right|}^{2}d\omega ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|F_x(2\pi f)\right|}^{2}df$$
我们要所的事情就是如何定量化的的去描述不确定的东西，比如随机信号。前面我们说了，平稳随机信号x(t)的幅值是呈现正太分布的，其平均值接近为零（或去除直流分量后），均方值或方差（也就是平均功率）是固定的，既然平均功率（或能量）在时域和频域是守恒的，而在时域x(t)是随机的，不可描述，那我们可以换到频域去啊。功率谱表示为：
$$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T|x(t){|}^{2}dt=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|F_x(2\pi f)\right|}^{2}df={\int }_{-\infty }^{+\infty }{S}_x(f)df$$
其中，$S_x(f)$表示信号的平均功率（或能量）在频域上的分布，即单位频带的功率随频率变化的情况，故称之为信号的自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱。

自相关函数：**自相关函数能够检测出信号内部蕴藏的周期组分，而过滤掉了周期组分的相位信息。**维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem），这个定理表明：信号的自相关函数与功率密度谱是一对傅里叶变换对：

总结一下整个逻辑：对于一个随机信号而言，时域信息是杂乱无章的，唯一的确定性信息但是在统计意义下得到的，即幅值呈正太分布，均方值也就是平均功率是固定的。根据帕斯瓦定理，信号的平均功率在时域和频域是守恒的，按道理说直接对时域信号进行傅里叶变换再取平方就可以。但不幸的事，随机信号的不满足傅里叶变换绝对值可积的条件，严格意义傅里叶变换不存在，于是发明了自相关函数的概念，将信号的蕴含的周期信号识别出来，并将相位信息去掉（相位不影响平均功率），于是就出现了我们在教材上见到的最终形式维纳-辛钦定理：一个信号的功率密度谱，就是其自相关函数的傅里叶变换。提炼一下就是：随机信号→幅值正太分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相关函数（去除相位信息）→维纳-辛钦定理（最终形式）。

2. matlab画图

参考；

clear; 
Fs=1000; %采样频率 
n=0:1/Fs:1;  
%产生含有噪声的序列 
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n)); 
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗 
nfft=1024; 
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法 
plot(f,10*log10(Pxx));